Mittelsenkrechte bestimmen |
| 05.03.2005, 22:54 | omnivorously | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Mittelsenkrechte bestimmen a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Mittelsenkrechten von AB ( ) und eine Gleichung der Mittelsenkrechten von BC ( ). Also ich habe angefangen die Punkte auszurechnen, durch die diese Mittelsenkrechten gehen. Bei ist es der Punkt D = (0,5/2) Bei ist es der Punkt E = (6/3) Und viel weiter bin ich leider auch nicht gekommen. Zwar habe ich noch versucht mit dem Skalarprodukt und einem LGS einen Richtungsvektor für die Gerade auszurechnen, aber dabei ist irgendwas falsch gelaufen und ich bin mir auch nicht sicher, ob das überhaupt richtig ist. Danke für jede Hilfe! LG, omni |
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| 05.03.2005, 23:23 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Mittelsenkrechte bestimmen hallo omni, ich bin ein mann! du beginnst immer super, und dann... mittelpunkte sind nun kein problem mehr, die werte stimmen, und der normalvektor in der ebene (!) für mc, die mitte liegt auf AB: die gerade aufzustellen ist wohl klar?!?1 werner |
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| 05.03.2005, 23:34 | omnivorously | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm, sorry, aber ich verstehe deine antwort leider nicht wirklich. normalvektor hat doch bestimmt was mit dieser normalenform zu tun, oder? die hatten wir aber leider nicht durchgenommen. Wie kann ich die Aufgabe, denn ohne diese lösen? |
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| 05.03.2005, 23:42 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry, aber du musst dich irren. Du kannst deine Mittelsenkrechte nicht aufstellen, wenn du keinen Normalvektor kennst und nicht weißt, wie du ihn bildest. Ich kenne keine Schule, an der Vektoren in R³ unterrichtet werden, die nicht zuvor zuerst einmal Vektoren in R² macht. Und sobald man aber Vektoren in R² macht, macht man auch den Normalvektor und die Normalvektorform der Gerade. Wenn du meinst, ihr habt diese nie durchgenommen, dann wird es dir unmöglich sein, die Mittelsenkrechte aufzustellen. Wer aber hat dir das Beispiel gegeben? Dein Lehrer? Dann setzt er aber voraus, dass du sehr wohl weißt, wie man einen Normalvektor bildet, bzw. wie die Normalenform der Gerade lautet. lg kiki edit: das heißt, du hast noch nie eine Geradengleichung so gesehen?: 2x + 3y = 4 ???? |
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| 06.03.2005, 00:08 | omnivorously | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, wir haben das Thema nicht durchgenommen, ich habe meinen Lehrer extra nochmal gefragt, weil ich mir so unsicher war, da alle davon sprechen. Aber wir haben dieses Thema nicht behandelt,... Das war eine Aufgabe von einer Hausaufgabenüberprüfung, die wir letztes Jahr geschrieben haben, aber leider habe ich keine Verbesserung mitgeschrieben und ich kann auch keine ähnliche Aufgabe finden. Mein Lehrer meinte, ich könne diese Aufgabe mit dem Skalarprodukt lösen, aber vielleicht hat er sich geirrt, da es eine Frage so zwischen Tür und Angel war... Lg, omni |
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| 06.03.2005, 11:10 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, er hat schon Recht. Diese Aufgabe kannst du mit Skalarprodukt lösen, aber ehrlich gesagt hab ich es noch nie erlebt, dass ein Lehrer ausschließlich die Parameterform durchmacht und alles andere unter den Tisch fallen lässt. Dadurch ist es dir nämlich unmöglich, gewisse Beispiele zu lösen. Vor allem in R³. Denn da hilft dir kein Skalarprodukt, um einen Normalvektor zu finden, wenn er unbedingt notwendig ist. Das ist, wie wenn ich jemandem das Kochen beibringen soll und nur die Suppenzubereitung durchnehme. Den Rest lass ich unter den Tisch fallen. Da ist es dir dann auch unmöglich, ein Menü zu kochen. Nun zu deinem Beispiel: Zwei Vektoren stehen im rechten Winkel aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Vektora * Vektorb = 0 >> Vektora steht im rechten Winkel auf Vektorb. z.b. gegeben ist der Vektor a = ( 3 / 4) gesucht sei sein Normalvektor ( also ein Vektor, der auf Vektora im rechten Winkel steht): Von diesem Vektor kannst du eine beliebige x-Koordinate wählen, das ganze in ein Gleichungssystem bringen, und dir so die dazugehörige y-Koordinate berechnen, sodass beide Vektoren im rechten Winkel stehen: Normalvektor = ( 2 / y) Nun muss gelten: Nun heißt der Normalvektor: ( 2 / -3/2) Da es für die Bestimmung der Geradengleichung völlig unwichtig ist, wie lang der Vektor ist - Hauptsache, er gibt die Richtung der Gerade bekannt und die wird nicht verändert - kann man nun den Vektor mit 2 mulitplizieren, damit der Bruch verschwindet und man schöne Zahlen hat. Das bedeutet lediglich, dass der Vektor nun doppelt so lang ist, aber noch immer die gleiche Richtung hat. Normalvektor = ( 4 / -3) lg kiki |
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| 06.03.2005, 11:27 | Eisloeffel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber nur mit einem Normalenvektor ist es nicht getan, dass ist schon klar oder habe ich hier was überlesen? Sorry der blöden Frage, oder steht der Normalenvektor automatisch mittig der Strecke? Eigentlich nicht oder doch? |
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| 06.03.2005, 12:15 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Lies mal bitte genau, was ich jetzt schreibe: Ein Vektor IST NICHT FIXIERT IM KOORDINATENSYSTEM. DU KANNST IHN DORTHIN TUN, WOHIN DUUUUUU WILLST. Aber wenn du ihn wo hinsetzt, dann musst du ihn genau mit seiner Richtung dorthin setzen. Ein Vektor ist ein Pfeil. Und du kannst diesen Pfeil in die Hand nehmen und in den Punkt hineinsetzen, in den DU willst. Wenn du ihn also mittig der Strecke haben willst, dann brauchst du mittig einen Punkt, in den du diesen Vektor hinein versetzen kannst. Und somit hast du dann eine Geradengleichung. Denn die Geradengleichung lautet: X = Punkt + t * Richtungsvektor Das heißt ins Deutsche übersetzt: Zu einem beliebigen Punkt X(x/y) der Gerade komme ich, wenn ich einen anderen Punkt der Gerade kenne und von dort soundsooft mal (t-mal) den Richtungsvektor der Gerade auftrage. Wann kann jemand in Amerika meine Gerade, die ich auf einem Zettel hinzeichne, nachzeichnen? Wenn ich ihm einen Punkt sage, durch den die Gerade geht und wenn ich ihm den Pfeil sage, der ihm sagt, in welche Richtung die Gerade geht. Dann zeichnet er den Punkt ins Koordinatensystem ein, zeichnet von dort den Vektor ein und hat somit die gleiche Gerade gezeichnet, die ich hier auf mein Blatt gezeichnet habe. Also reicht es aus, einen Vektor in einen Punkt zu versetzen, damit man eine Geradengleichung hat. Und die Geradengleichung ist bloß dazu da, dass du dir jeden beliebigen Punkt X(x/y) berechnen kannst, der auf der Gerade oben liegt. Deswegen ist ja in dieser Gleichung X drin. Denn das X steht für irgendeinen beliebigen Punkt, der auf der Gerade oben ist. X = (1 / 2 ) + t * (3 / 4) für die x-Koordinate des Punktes X gilt: x = 1 + 3t für die y-Koordinate des PUnktes X gilt: y = 2 + 4t Und nun kann ich zum Beispiel für t = 4 einsetzen, dann berechne ich mir den Punkt, der vom Punkt (1/2) 4 mal der Richtungsvektor entfernt ist. Das heißt, man trägt vom Punkt (1 / 2) 4 mal den Richtungsvektor auf ( ich zeichne also 4 Richtungspfeile hintereinander vom Punkt P weg) und lande dann in dem Punkt, den ich berechnen wollte. x = 1 + 3 * 4 y = 2 + 4 * 4 der PUnkt lautet nun: (13 / 18) und dieser Punkt liegt auf der Gerade oben. Du willst nun die Mittelsenkrechte haben. Die ist eine Gerade, also brauchst du die Geradengleichung. Und was musst du von dieser Gerade kennen, damit du sie aufstellen kannst? Einen PUnkt, der auf der Gerade drauf ist und den Richtungsvektor ( denn der gibt dir bekannt, in welche Richtung die Gerade läuft). Was weiß man nun über eine Mittelsenkrechte? Man weiß, dass sie durch den Mittelpunkt einer Strecke AB geht und im rechten Winkel auf die Strecke AB steht. Daher ist nun der Vektor AB der Normalvektor der Mittelsenkrechten. Mit dem im obigen Post gezeigten Verfahren findest du nun den Richtungsvektor der Mittelsenkrechten. Einen PUnkt der Mittelsenkrechten kannst du auch berechnen, denn ein Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke AB. Und wenn du diese beiden Sachen hast, dann kannst du in die Geradengleichung einsetzen: X = Punkt + t * Richtungsvektor lg kiki |
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| 06.03.2005, 13:42 | omnivorously | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist so toll, wenn man eine Aufgabe, an der man ewig rumgesessen hat, endlich richtig ausgerechnet hat! Habe nämlich eben den Umkreismittelpunkt gesucht und meine Geraden dann gleichgesetzt, und kam genau auf die Koordinaten des Punktes, die ich auch aus meiner Skizze ablesen konnte!! 
Vielen lieben Dank, Kikira, hoffe ich bek. das dann bei einer ähnlichen Aufgabe auch selbst hin. Auch deine zuletzt gepostete Erklärung war noch mal sehr sinnvoll für mich, war mir gar nicht so klar, dass t einfach nur den Richtungsvektor verlängert. Ich meine, ich habs zwar immer so gerechnet, aber mir da keine Gedanken gemacht, was das für logische, praktische Folgen hat... Eine kleine Frage ist mir aber noch geblieben.
Hat das dann auch damit zu tun, dass ich diesen Richtungsvektor immer verlängern kann? Und nochmal was ganz kurzes zum Begrifflichen, also du hast geschrieben, dass der Vektor, der senkrecht zu einem Anderen steht "Normalvektor" bezeichnet wird. Außerdem habe ich irgendwann glaub ich mal was von einem "Lotfußpunkt" gehört, was war das nochmal genau und gibt es auch einen "Lotvektor" oder so was? (du siehst ich hab voll den durchblick bei linearer geometrie 
)Vielen lieben Dank, omni |
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| 06.03.2005, 14:49 | kikira | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst deswegen beliebig eine x-Koordinate wählen, weil du durch die Gleichung: Vektora * Vektorb = 0 >> und das gilt nur, wenn 2 Vektoren im rechten Winkel aufeinander stehen... weil du dadurch die y-Koordinate so hinzwingen kannst, dass der neue Vektor im rechten Winkel auf den anderen steht. Und wenn dann eben für die y-Koordinate ein Bruch rauskommt, kannst du den ganzen Vektor mit dem Nenner multiplizieren, denn es ist völlig egal, wie lang der Vektor ist, Hauptsache er hat die Richtung der Geraden, die du aufstellen willst. Denn wenn ich einen PUnkt kenne und in diesen einen Vektor mit einer bestimmten Richtung hineinsetze, so hab ich meine Gerade, die man sowieso unendlich durchzeichnen muss. Also ist es völlig egal, wie lang der Vektor ist, den ich in den Punkt reinsetze, weil ich den sowieso in alle Unendlichkeit verlängern muss für eine Gerade. DESWEGEN kannst du dann den Vektor so anheben, dass er keinen Bruch mehr hat. z.b. Vektora = ( -1/2 // -5/2) Zeichne den mal: Geh zu irgendeinem Punkt im Koordinatensystem und dann fährst du -1/2 cm nach links und dann -5/2 cm senkrecht nach unten. Dann verbinde Anfangspunkt und Endpunkt und zeichne die Pfeilspitze in den Endpunkt hinein. und nun beginne im selben Anfangspunkt den Vektor = ( -1 / -5) zu zeichnen und du siehst, dass er in die absolut gleiche Richtung zeigt, nur eben doppelt so lang ist wie der Vektora. Und nun nimm diesen Vektora in die Hand ohne die Richtung zu verändern und setze ihn z.b. in den Punkt ( 3 / -1). Und jetzt hast du eine Gerade im Raum fixiert. Und die Gerade musst natürlich unendlich lang zeichnen. Dann mach dasselbe mit dem Vektor (- 1 / -5) und du siehst, dass es nun die gleiche Gerade beschreibt und dass du wiederum die Gerade unendlich lang zeichnen musst, weil ja eine Gerade keine Begrenzungspunkte hat. Der Lotfußpunkt ist folgendes: Du kennst einen Punkt im Koordinatensystem und du hast eine Gerade gegeben. Der Punkt liegt NICHT auf der Geraden. Der Lotfußpunkt ist nun der Punkt, den du bekommst, wenn du von deinem gegebenen Punkt im rechten Winkel auf die Gerade zufährst. Dort, wo du auf die Gerade triffst, das ist dein Lotfußpunkt. Das funktioniert natürlich auch mit einer Ebene. Du fährst von einem PUnkt im rechten Winkel auf die Ebene zu. Dort, wo du auftriffst, das ist dein Lotfußpunkt. Wenn du einen Vektor berechnest, der im rechten Winkel auf einen anderen steht, so sagt man, dass der neue nun der Normalvektor auf den gegebenen Vektor ist. Etwas steht normal auf etwas anderes heißt, dass die beiden einen rechten Winkel einschließen. In einem rechtwinkligen Dreieck stehen die Katheten normal aufeinander. Wenn du einen Vektor hast und du drehst ihn um 90°, dann entsteht ein neuer Vektor und den nennt man dann Normalvektor, weil er eben normal auf den anderen Vektor steht. Wenn du den Vektor AB deiner STrecke AB machst, dann ist das der Normalvektor deiner Mittelsenkrechten, denn der Vektor AB steht im rechten Winkel auf die Mittelsenkrechte. Wenn du den Vektor berechnest, der im 90° Winkel auf den Normalvektor steht, dann ist das genau die Richtung deiner Mittelsenkrechten. lg kiki |
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