Koordinatenform -> Parameterform

02.09.2007, 21:56

Lockenkopf

Koordinatenform -> Parameterform

hallo liebe community,

die allgemeine umrechnung von einer koordinatenform in die parameterform hier ein kleines beispiel:

(leider kann ich kein latex, das €-zeichen soll ein "element von" sein.)
x1 + x2 + x3 = 2

seien s, t € IR
x2 = s
x3 = t
daraus folgt:
x1 = 2 - s - t

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -1\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

seien die letzten beiden richtungsvektoren (spannvektoren) u und v.

nun eine möglichkeit, wie man u und v auf anderem wege ausrechnen könnte:

nochmal die koordinatenform:
x1 + x2 + x3 = 2

für den Stützvektor wählen wir nun x1 = x2 = 0
für x3 erhalten wir: 2
für u wählen wir u1 = 0, u2 = 1
für u3 erhalten wir: u3 = 1
für v wählen wir v1 = 1, v2 = 0
für v3 erhalten wir: v3 = 1
(wichtig ist, dass hier u ungleich v ist, also unterschiedliche werte gewählt werden.)

also würde jetzt die parameterform z.B. so aussehen:

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} x1\\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1\\0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was haltet ihr davon? ist das eine legitime möglichkeit um die parameterform so auszurechnen?

02.09.2007, 22:08

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Koordinatenform -> Parameterform
Also das ganze ist immer noch sehr unübersichtlich aber ich versuche mal das was ich mitbekommen habe zu kommentieren.

Also die Art und Weise wie du deinen Stützvektor berechnet hast ist völlig legitim.

Nun zu deinen Spannvektoren:
Das gute an der Koordinatenform ist, dass man den Normalenvektor direkt ablesen kann.

Wenn deine Koordinatenform: $\begin{eqnarray*} ax_1+bx_2+cx_3=d \end{eqnarray*}$ lautet, dann ist der Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Eigenschaft der beiden Spannvektoren sind:

$\begin{eqnarray*} \vec{u} \cdot \vec{n} =0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \vec{v} \cdot \vec{n} =0 \end{eqnarray*}$ , wobei u und v linear unabhängig voneinander sein müssen.

Da liegt meiner Meinung nach dein Fehler. Spicke den Normalenvektor aus deiner Koordinatenform heraus und multipliziere ihn skalar mit einem Spannvektor welches du =0 setzt.
Nun kannst du u_1 und u_2 beliebig wählen und nach u_3 auflösen.

02.09.2007, 22:24

Lockenkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank für die schnelle antwort smile

ich hoffe ich habe dir kein augenkrebs durch das schlechte layout gemacht.

okay, also der Stützvektor ist korrekt, das ist schonmal gut.
nun zu den Spannvektoren:

ist das jetzt richtig, dass man $\begin{eqnarray*} u_1 \cdot 1 + u_2 \cdot 1 + u_3 \cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$ benutzt, $\begin{eqnarray*} u_1 und u_2 \end{eqnarray*}$ wählt und $\begin{eqnarray*} u_3 \end{eqnarray*}$ bekommt.

was ist mit dem Spannvektor v?

wenn $\begin{eqnarray*} u = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt, können dann zwei koordinaten von v (ungleich den koordinaten von u) gewählt werden und ergibt das dann eine korrekte umrechnung?

hier einmal durchprobiert:

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das so korrekt?

02.09.2007, 22:27

Musti

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Darstellung der Ebene ist richtig Freude

02.09.2007, 22:28

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

nun eine möglichkeit, wie man u und v auf anderem wege ausrechnen könnte:

nochmal die koordinatenform:
x1 + x2 + x3 = 2

für den Stützvektor wählen wir nun x1 = x2 = 0
für x3 erhalten wir: 2
für u wählen wir u1 = 0, u2 = 1
für u3 erhalten wir: u3 = 1
für v wählen wir v1 = 1, v2 = 0
für v3 erhalten wir: v3 = 1
(wichtig ist, dass hier u ungleich v ist, also unterschiedliche werte gewählt werden.)

also würde jetzt die parameterform z.B. so aussehen:

$\begin{eqnarray*} x = \begin{pmatrix} x1\\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1\\0 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was haltet ihr davon? ist das eine legitime möglichkeit um die parameterform so auszurechnen?

Das geht nur wenn es sich um eine Ursprungsebene handelt, weil du nur dann wirklich den selbst kreierten Vektor als Spannvektor nehmen kannst.
Denn was du eigentlich machst, ist, dass du dir PUNKTE ausdenkst und keine VEKTOREN. Nur wenn der Punkt (0/0/0) ein Punkt der Ebene ist lassen sich deine gefundenen Punkte auch als Verbindungsvektor zum Ursprung als Spannvektoren nehmen.

Gruß Björn

02.09.2007, 22:28

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Klarstellung: Der 2. Weg von Lockenkopf wäre auch "legal"*! Aber bei beiden Spannvektoren ist ein Rechenfehler* passiert, sodass sie falsch sind.

mY+

EDIT:

Natürlich bezieht sich der Fehler auf die Rechnung beim Nullsetzen des Skalarproduktes. Falls er den Vektor in die Ebenengleichung eingesetzt hat, dann ist's auch sinngemäß falsch, wie von Björn erörtert.

----------------
für u wählen wir u1 = 0, u2 = 1
für u3 erhalten wir: u3 = 1
----------------
in Wirklichkeit muss u1*1 + u2*1 + u3*1 = 0 sein,
also 0*1 + 1*1 + 1*u3 = 0,
daraus u3 = -1

02.09.2007, 22:42

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Oder aber denke dir halt 3 Punkte A,B und C aus, die deine Ebenengleichung erfüllen und bilde eine Parameterform der Ebene wie immer:

$\begin{eqnarray*} E:\vec{x} =\vec{OA}+r \cdot \vec{AB}+s \cdot \vec{AC} \end{eqnarray*}$

02.09.2007, 22:49

Lockenkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

boah, ihr seid echt klasse smile

vielen dank für die schnelle antwort, jetzt hab ich es verstanden!

@ bjoern: okay, also könnte man auch einfach drei punkte über die koordinatengleichung geschickt ausrechnen und dann einen punkt als stützvektor und zwei (linear unabhängige) vektoren durch die differenz (spitze minus anfang) berechnen?

@mythos: danke, um einen vektor auszurechnen macht es also überhaupt keinen sinn etwas in die koordinatenform einzusetzen. für die beiden spannvektoren muss das skalarprodukt gleich null sein.
ich habe nun ein paar möglichkeiten ausprobiert einen zweiten spannvektor zu wählen.
ergebnis: ein vektor, der zu dem ersten spannvektor lin. unabh. ist, ergibt im kreuzprodukt wieder den ursprünglichen normalenvektor. (musti hat ja beschrieben, wie man den aus der koordinatengleichung ablesen kann.)

ich denke das sollte jetzt so passen, danke smile

02.09.2007, 23:05

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Lockenkopf
...
für die beiden spannvektoren muss das skalarprodukt gleich null sein.
...

Da fehlt was Wichtiges: Das Skalarprodukt (des jeweiligen Spannvektors) mit dem Normalvektor! Ich hoffe, du hast mitgekriegt, dass jeder Spannvektor auch normal zum Normalvektor der Ebene stehen muss!

mY+

03.09.2007, 13:31

Lockenkopf

Auf diesen Beitrag antworten »

au ja! danke mYthos, habe ganz vergessen, dass ich die koordinatenform ja einfacherweise als x1 + x2 + x3 = 2 vorgegeben habe.
war etwas hektisch, da ich über die schnelle hilfe so begeistert war.

gut, also nochmal schnell zusammengefasst:

koordinatenform:

$\begin{eqnarray*} a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 = d \end{eqnarray*}$

wähle stützvektor w durch einsetzen in koordinatenform.
z.b. $\begin{eqnarray*} w_1 = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_2 = 0 \end{eqnarray*}$ in koordinatenform eingesetzt ergeben für $\begin{eqnarray*} w_3 = \frac{d}{c} \end{eqnarray*}$

die skalarprodukte müssen gelten: (wobei $\begin{eqnarray*} n = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} u \cdot n = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v \cdot n = 0 \end{eqnarray*}$

für u z.B. : $\begin{eqnarray*} u_1 \cdot a + u_2 \cdot b + u_3 \cdot c = 0 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} u_1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 = 0 \end{eqnarray*}$

so folgt: $\begin{eqnarray*} u_3 = - \frac{u_1 \cdot a}{c} \end{eqnarray*}$

für v könnte z.b. gelten:
$\begin{eqnarray*} v_1 = 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} v_2 = 1 \end{eqnarray*}$

also: $\begin{eqnarray*} v_3 = - \frac{v_2 \cdot b}{c} \end{eqnarray*}$

kann man das jetzt so stehen lassen?
---------
Edit: entschuldige mythos. die bezeichner sind irgendwie bei der latexeingabe bei mir untergegngen, hab es jetzt verändert.
auch die minuszeichen sind ergänzt. stimmt das jetz so?

03.09.2007, 13:38

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

erst schreibst du a, b, c für die Koordinaten des Normalvektors, danach n1, n2, n3 ... na ja, Bezeichnungen solltest du während der Rechnung beibehalten. Das andere stimmt soweit, nur beim Ergebnis für u3 bzw. v3 hast du jeweils das Minus vergessen!

mY+

EDIT (16:19 h)
@Lockenkopf: Jetzt passt's.

Neue Frage »

Antworten »

Koordinatenform -> Parameterform

Verwandte Themen