Stammfunktion von sin(x)*cos(x)

06.03.2005, 15:56

Firestorm

Stammfunktion von sin(x)*cos(x)

Hallo
Ich habe ein Problem, uns zwar muss ich das Integral "sin(x)*cos(x) dx" mit Hilfe von Substitution berechnen. Ich weiss nicht wie ich das angehen muss. Es muss auf jeden Fall mit Substitution gemacht werden und nicht mit partieller Integration...Danke für eure Hilfe!

edit: Titel geändert, bitte wähle einen aussagekräftigen Titel! (MSS)

06.03.2005, 16:14

iammrvip

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Hallo

Hilft dir das

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\sin x\cdot \cos x = \sin(2x) \end{eqnarray*}$

Sorry... Hammer

2 vergessen.

oder auch

$\begin{eqnarray*} (\sin x)' = \cos x \end{eqnarray*}$

06.03.2005, 16:21

grybl

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muss ein kleines Veto einlegen

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \sin x\cdot \cos x = \sin(2x) \end{eqnarray*}$

06.03.2005, 16:25

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@Firestorm

Substitution macht dann vor allem Sinn,wenn irgendwo im Integral die Ableitung von dem steht was du substituieren willst.

Und siehe da,cos(x) ist die Ableitung von sin(x).Also bringt dich die Substitution z=sin(x) zum Erfolg.

Probiere es mal.

08.03.2005, 16:17

Firestorm

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Danke @ n!
bin zum richtigen Ergebnis gekommen, war ja doch viel einfacher als ich dachte *ich blind*
@ grybl und iammrvip:
Seid ihr sicher, dass das so stimmt? Denn wenn ich was einsetze, dann fängt das spätestens nach 10 Nachkommastellen an sich zu unterscheiden. Also wäre das mathematisch nicht mehr korrekt, aber ich muss 100%ig korrekt rechnen.
Außerdem musste ich substituieren und das wäre dann nicht mehr nötig.

08.03.2005, 16:27

iammrvip

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Das stimmt, brauchst du keine Angst haben. Das hat was mit den Berechnungen des TRs zu tun Augenzwinkern

.

Dein TR ist nicht mathematisch korrekt, das ist das Problem.

08.03.2005, 16:35

Firestorm

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OMG der TR (TI Voyage 200) kostet um die 250€, kann alle möglichen algebraischen Umformungen, außerdem die komplette analysis, kann jede Art von Grafen zeichnen, kann die komplette Stochastik, sogar Matrizen und was einem noch so einfällt und er kann das nicht mal vernünftig rechnen....ich bin enttäuscht...

08.03.2005, 19:00

iammrvip

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Zitat:

Original von Firestorm
OMG der TR (TI Voyage 200) kostet um die 250€,

Wo kauft ihr den denn geschockt

Das hat was mit der numerischen Berechnung jedes Taschenrechners zu tun...auch wenn es der wirklich ausgezeichnetste GTR ist den es für Mathematikstudenten gibt.

08.03.2005, 19:25

Firestorm

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Ich bin Mathe LKler.
Den TR gibt es an unserer Schule kostenlos zum ausleihen, aber nur für Mathe LKler. Freude

08.03.2005, 19:58

iammrvip

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Aso, denn eigentlich kriegt man den unter 200 €.

09.03.2005, 13:45

aRo

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Zitat:

Original von iammrvip

$\begin{eqnarray*} 2\cdot\sin x\cdot \cos x = \sin(2x) \end{eqnarray*}$

verstehe diese Regel nicht ... ist das schwierig herzuleiten?

09.03.2005, 13:51

Deakandy

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Zum kotzen, dass gerade nur die MAthe Lkler die Rechner ausgeliehen bekommen.
Gerade diese Typen sollten es nicht nötig haben oder?

09.03.2005, 13:54

aRo

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bei uns ist es so arm, dass niemand so einen Rechner ausgeliehen bekommt - noch schlimmer

09.03.2005, 15:48

Mathespezialschüler

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@aRo
Kennst du die Additionstheoreme?

$\begin{eqnarray*} \sin(x+y)=\sin x\cdot \cos y+\cos x\cdot \sin y \end{eqnarray*}$

Wenn nicht, müsste man diese erstmal herleiten.

09.03.2005, 18:49

aRo

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nein, noch nie gesehen/gehört. unglücklich

11.03.2005, 17:01

Mathespezialschüler

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Guck mal hier

13.01.2009, 23:33

dompteur

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habe ein ähnliche aufgabe. soll die stammfkt vom folgenden bilden:

$\begin{eqnarray*} sin²(x)*cos³(x) \end{eqnarray*}$

ebenfalls mit Substitution zu lösen

14.01.2009, 11:24

Nubler

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$\begin{eqnarray*} (cos^3(x))'=? \end{eqnarray*}$

14.01.2009, 17:46

dompteur

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gute Frage verwirrt

hm, also $\begin{eqnarray*} cos³(x) \end{eqnarray*}$ ist ja gleich $\begin{eqnarray*} cos(x)*cos(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$

und das dann mit der Produktregel aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} -sin(x)*cos(x)*cos(x)+(-sin(x))*cos(x)*cos(x)+(-sin(x))*cos(x)*cos(x) \end{eqnarray*}$

zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} (-3)*sin(x)*cos²(x) \end{eqnarray*}$

ist das so richtig?

14.01.2009, 18:51

iammrvip

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Die Lösung ist richtig, aber viel zu aufwendig Augenzwinkern

.

Denk an die Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} \cos^3x = (\cos x)^3 \end{eqnarray*}$

14.01.2009, 22:09

dompteur

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gut, dann käm ich ja aufs selbe. aber was bringt mir denn jetzt diese Ableitung, schließlich kann ich diese ja nicht in der oberen zusätzlich finden, oder doch? verwirrt

15.01.2009, 10:29

outSchool

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Nur mit Substitution zu integrieren ist etwas trickreich.
Angenommen, du hättest das Ergebnis und würdest es wieder ableiten,
dann ginge das nur mit der Kettenregel.
Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = sin^n(x) \Rightarrow f'(x) = n \cdot sin^{n-1}(x)\cdot cos(x) \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt

$\begin{eqnarray*} cos^2(x)=1-sin^2(x) \end{eqnarray*}$

ersetzt, dann müsstest du weiterkommen.

15.01.2009, 20:38

dompteur

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irgendwie gerade voll die denkblockade, liegt wohl daran, dass es mit substitution gelöst werden soll und ich ständig daran denke, keine ahnung.

$\begin{eqnarray*} sin^2*cos*(1-sin^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(sin^2-sin^4)*cos \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =sin^2*cos - sin^4*cos \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =sin^2*cos - sin^2*cos*sin^2 \end{eqnarray*}$

unglücklich

16.01.2009, 07:49

outSchool

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Hallo,

bis zur vorletzten Zeile sieht das gut aus, also

$\begin{eqnarray*} \int\sin^2(x)\cdot \cos^3(x)~dx = \int\sin^2(x)\cdot \cos(x)~dx - \int\sin^4(x)\cdot \cos(x)~dx \end{eqnarray*}$

Jetzt die Substitution

$\begin{eqnarray*} u(x) = \sin(x) \Rightarrow u'(x) =\frac{du}{dx} = \cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{Jetzt kannst du } \sin^2(x) \text{ ersetzen durch } u^2 \text{, } \sin^4(x) \text{ durch } u^4 \text{ und } \cos(x)dx \text{ durch } du \end{eqnarray*}$

17.01.2009, 15:26

dompteur

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danke für die hilfe. haben es gestern dann glücklicherweise in der schule gemacht, hatte wohl echt eine denkblockade

22.12.2009, 18:23

master2891

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Beweis
$\begin{eqnarray*} 2\cdot\sin x\cdot \cos x = \sin(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin x= \frac{1}{2j}(e^{jx}-e^{-jx}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos x= \frac{1}{2}(e^{jx}+e^{-jx}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\cdot\sin x\cdot \cos x =\frac{1}{2j}(e^{jx}+e^{-jx})(e^{jx}-e^{-jx}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\cdot\sin x\cdot \cos x =\frac{1}{2j}(e^{jx+jx}-e^{jx-jx}+e^{jx-jx}-e^{-jx-jx}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{jx-jx}=e^0=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2\cdot\sin x\cdot \cos x =\frac{1}{2j}(e^{j2x}-e^{-j2x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2j}(e^{j2x}-e^{-j2x})=\frac{1}{2j}(cos (2x) + j sin (2x) - (cos (2x) - j sin (2x))) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2j}(e^{j2x}-e^{-j2x})=\frac{1}{2j}(j sin (2x) +j sin (2x))=\frac{1}{2j}(2 j sin (2x)) \end{eqnarray*}$

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