Geraden und Ebenen

03.09.2007, 19:03

giuli

Geraden und Ebenen

Hallo!
wollte eine abi-aufgabe von 2003 lösen habe aber bei 2 aufgaben probleme. vielleicht könnt ihr mir ja helfen. Also:
Geg. :Ebene H:x+y+z=8 und Ga: $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} a^2 \\ 0 \\ -a^2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3a \\ -3a \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1.Welche der Geraden schneidet H unter dem größtem Winkel? Berechnen Sie zudem den Winkel.

Hierbei hab ich schon den allg. Winkel berechnet zwischen H und Ga bestimmt. Weiß nun aber nicht weiter. wie muss ich vorgehen um auf den maximalen winkel zu kommen?

2.Zeigen sie, dass der punkt S(-2/6/4) derjenige punkt der schar ist der die geringste entfernung vom ursprung hat.
Zunächst habe ich die Entfernung berechnet weiß aber nicht wie ich nachweisen soll das dies der nächste ist

ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen

Modedit: Titel^^

03.09.2007, 21:30

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Mich würde interessieren, was du für den allgemeinen Winkel herausbekommen hast! Dieser muss ja von einer Variablen (nämlich von a) abhängen, es wird sich also eine Funktion in a ergeben, die dann hinsichtlich a zu maximieren ist.

Schreib mal dein Zwischenergebnis, ich/wir helfen dann gerne weiter.

2. Diese Aufgabe wird m. E. ähnlich zu lösen sein, also zunächst den fraglichen Punkt und damit den Abstand allgemein bestimmen und diesen dann minimieren.

mY+

03.09.2007, 21:46

giuli

Auf diesen Beitrag antworten »

1.hier mein Ergebnis für den Schnittwinkel:

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) = \frac{8}{\sqrt{6a^2+64x}* \sqrt{3}} \end{eqnarray*}$
Hab aber immer noch keine Idee wie ich den größten Winkel herausfinde

2. Für den Abstand des Punktes hab ich $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{14} \end{eqnarray*}$
Muss ich, um beweisen zu können, dass dieser Punkt am nächsten liegt den Abstand auch allgemein bestimmen?

03.09.2007, 21:59

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst zu 1.:

Was tut das x bei 64? Dort gehört NUR 64! Und die 6 verstehe ich auch nicht, sondern dort muss 18 stehen, nicht? Big Laugh

Ansonsten würde es sinngemäß stimmen! (Erst ergibt sich der COS des Schnittwinkels mit der Normalen, da der gesuchte Winkel zu diesem komplementär ist, daraus der SIN. Wenn du es so gedacht hast, dann bravo!)

So, wenn nun der Winkel maximal sein muss, dann auch dessen Sinus (SIN ist zwischen 0 und 90° monoton steigend), du kannst also einfach den für den Sinus erhaltenen Ausdruck in a als Funktion f(a) maximieren. Geht das?

mY+

04.09.2007, 10:25

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

ekg 04

zu 1)
da ein bruch (bei konstantem zähler) seinen maximalen wert für das minimum des nenners hat,
gilt auch

$\begin{eqnarray*} f(a) = 18a²+64 \to MIN \end{eqnarray*}$

woraus man unmittelbar und ohne weiteres plagen unglücklich

sieht

$\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$

daher $\begin{eqnarray*} sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}$

zu 2)
das kann SO nicht sein, denn die gerade der schar mit $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ geht durch den ursprung, womit $\begin{eqnarray*} O(0/0/0) \end{eqnarray*}$ der gesuchte punkt ist.

die aufgabe wird also heißen:
zeige, dass S(-2/6/4) derjenige punkt der schar ist, der den geringsten abstand zu O hat UND in H liegt!

damit bekommt man durch einsetzen von g in H als bedingung dafür, dass ein geradenpunkt in H liegt:

$\begin{eqnarray*} \lambda = 1 \end{eqnarray*}$

distanzformel und differenzieren liefern damit:

$\begin{eqnarray*} f(a)=2a^{4}+6a³+2a²+64\to a_3 = -2 \end{eqnarray*}$

und mit $\begin{eqnarray*} a_3=-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda=1 \end{eqnarray*}$ ergibt sich durch "rückeinsetzen" in g der ersehnte punkt $\begin{eqnarray*} S(-2/6/4) \end{eqnarray*}$ .

eine schöne aufgabe verwirrt

04.09.2007, 14:33

giuli

Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mal ein Danke an euch für die Hilfe, ich versuch das jetzt umzusetzen und hoffe ,das ich alles verstanden hab.(wenn nicht meld ich mich nochmal smile

)

DANKE Freude

04.09.2007, 19:55

giuli

Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh immer noch nicht so recht wie das mit dem beweisen des größten winkels funktionieren
also nochmal ich habe:
$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) = \frac{8}{\sqrt{18a^2+64}* \sqrt{3}} \end{eqnarray*}$
der sinus kann max. 90° sein, dass ist logisch und, dass ein bruch die max. größe für den kleinsten nenner annimmt ist auch logisch. aber wie soll das mit f(a) funktionieren. das ist mir noch nicht so wirklich klar geworden verwirrt

04.09.2007, 20:10

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von giuli
ich versteh immer noch nicht so recht wie das mit dem beweisen des größten winkels funktionieren
also nochmal ich habe:
$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) = \frac{8}{\sqrt{18a^2+64}* \sqrt{3}} \end{eqnarray*}$
der sinus kann max. 90° sein, dass ist logisch und, dass ein bruch die max. größe für den kleinsten nenner annimmt ist auch logisch. aber wie soll das mit f(a) funktionieren. das ist mir noch nicht so wirklich klar geworden verwirrt

im nenner steht doch:

$\begin{eqnarray*} g(a)=\sqrt{18a^2+64} \end{eqnarray*}$

alles andere im (zähler und) nenner ist konstant

und weiters gilt: wo g(a) ein extremum hat, hat auch (g(a))² ein solches.

daher brauchst du nur das minimum von

$\begin{eqnarray*} f(a) = g(a)² = 18a² +64 \end{eqnarray*}$

zu suchen, das offensichtlich bei $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ liegt, da
$\begin{eqnarray*} a² \geq 0 \quad{ }\forall a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

es bleibt dir natürlich unbenommen, die funktion

$\begin{eqnarray*} kompliziert(a)=sin\alpha=\frac{8}{\sqrt{3(18a²+64)}} \end{eqnarray*}$

(zur kontrolle) zu maximieren unglücklich

04.09.2007, 20:47

giuli

Auf diesen Beitrag antworten »

ok das hab ich jetzt glaub ich wirklich verstanden! Nochmal danke.

Neue Frage »

Antworten »

Geraden und Ebenen

Verwandte Themen