schnittpunkt ellipse gerade/tangente, a+b berechnen

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katzi Auf diesen Beitrag antworten »
schnittpunkt ellipse gerade/tangente, a+b berechnen
hallo

also, ich möchte mir den schnittpunkt einer ellipse mit einer geraden ausrechnen. dafür habe ich mir die berührbedingung hergeleitet.
ich habe in die ellipsengleichung das y von meiner gerade eingesetzt und bin danna uf eine quadratische gleichung gestossen und habe die diskriminante null gesetzt.

es kommt bei mir >0 raus, d.h. doch, dass sich ellipse und gerade berühren. ich verstehe nicht ganz, was ich mit dieser formel a²k² + b² = d² anfangen soll.
weiters weiss ich jetzt nicht, wie ich auf meinen schnittpunkt komme? soll ich die quadratische lösung, also das x, ausrechnen und dann in die ellipsengeradengelichung einsetzten um mein y zu erhalten?

weiters weiss ich nicht, wie ich aus der allgemeinen form b²x² + a²y² = a²b² das "a" und das "b" ausrechnen kann.

irgendwie schau ich da gerade nicht ganz durch. bitte um hilfeee!
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

An und für sich sollte beim Einsetzen einer Geradengleichung in eine Ellipsengleichung eine quadratische Gleichung in x oder y entstehen die man wie üblich löst. Den zugehörigen x bzw y Wert zu den beiden Schnittpunkten erhält man dann wieder durch einsetzen der Lösungen der Quadratischen Gleichung in die Geradengleichung.
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich würde ja gerne helfen, weiß aber nicht, wo ich anfangen kann.

Schreib mal die Gleichung der Ellipse sowie der Geraden auf, deren Schnittpunkte du berechnen willst.

Dann schreibst du etwas von Berührbedingung, was eigentlich darauf schließen lässt, dass die Gerade eine Tangente an die Ellipse sein soll.

Dann willst du a und b aus der Ellipsengleichung berechnen. Ist das nicht gegeben?

Also: Gleichung von Ellipse und Gerade ...
katzi Auf diesen Beitrag antworten »

also es sind eigentlich 2 beispiele:

ich muss zuerst die ableitung der berührbedingung herleiten, den schnittpunkt herleiten und dann das folgende beispiel lösen.
bis zur ableitung der berührbedingung bin ich gekommen aber wie ich den schnittpunkt ausrechnen, bzw. herleiten soll weiss ich nicht. letzter stand:
ell: b²x² + a²y² = a²b²
g: y = kx + d

g ) ell:

b²x² + a²(kx + d)² = a²b²

b²x² + a²(kx² + 2kxd + d²) = a²b²

b²x² + a²k²x² + 2a²kxd + a²d² = a²b²

b²x² + a²k²x² + 2a²kxd + a²d² - a²b² = 0

x²(a²k² + b²) + x(2a²kd) + (a²d² - a²b²) = 0


Diskriminante 0 setzten (ansonsten Doppellösung bei Berührung!):

(2a²kd)² - 4(a²k² + b²) (a²d² - a²b²) = 0

4 a4 k² d² - 4 a4 k² d² + 4 a4 k² b² - 4 a² b² d² + 4 a² b4 = 0 /:4
a4 k² d² - a4 k² d² + a4 k² b² - a² b² d² + a² b4 = 0
a4 k² b² - a² b² d² + a² b4 = 0 /:a²b²
a²k² - d² + b² = 0
a² k² + b² = d²

wie komm ich jetzt auf meinen schnittpunkt? muss ich bei der oberen gleichung das x ausrechnen und dann einfach einsetzen um mein y zu bekommen?

dann das beispiel das ich ausrechnen muss:

1.) legen sie die tangente t an die ellipse E, die parallel zur gegebenen geraden g liegt!
ellipse: 2x² + 9y² = 36
gerade: y= 4/3 x + 7


und dann würd ich gerne noch wissen, wie ich mir zum beispiel aus dieser gleichung x² + 4y² = 3721 das a und das b ausrechnen kann

smile
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: schnittpunkt ellipse gerade/tangente, a+b berechnen
dein schnitt(berühr)punkt steht eh schon da


und bei deiner aufgabe berechnest du das d aus der berührbedingung, fertig
(d = +- 6
y = 4/3x +/- 6
(hoffentlich)

werner
katzi Auf diesen Beitrag antworten »

ooops! ich hab was vergessen! also vor dem Diskriminante gleich 0 setzen, habe ich die quadratische x-gleichung mit der kleinen lösungsformel ausgerechnet... also x 1,2 = - b +- wurzel aus b² - 4.a.c und das ganze dann durch 2.a
und das was unter der wurzel steht, also das b2 - 4.a.c ist dann (2a²kd)² - 4(a²k² + b²) (a²d² - a²b²)

ich hoffe das kann man verstehen
 
 
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