Induktion

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arzoo Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen

Zeigen Sie durch Induktion, daß folgende Gleichung für die Summe der Quadrate ungerader Zahlen gilt:

1^2+3^2+5^2+...+(2*n-1)^2=n(4*n^2-1)/3
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion
Nun dazu musst du folgendes zeigen:
erstens die Aussage stimmt für den ersten Wert, in diesem Fall also
für 1 =(2n-1) wobei n=1 ist

(2n-1)² = 1² =? 1*(4*1² -1)/3 =1*3/3=1
stimmt

zweitens musst du nun zeigen, dass unter der Annahme die Formel
sei zutreffend für n (Summen bis zum Summand (2n-1)²)
sie ebenfalls für n+1 (Summen bis zum Summand (2(n+1)-1)²=(2n+1)²)
zutreffend ist: (ist ein Glied mehr !)

oder anders formuliert:

Summe bis Glied(n) + Glied(n+1) =? Summe bis Glied(n+1)

[n(4*n^2-1)/3] °°° + (2n+1)^2 =? [(n+1)(4*(n+1)^2-1)/3]

... rechte Seite oben: (n+1) für (n) in Summenformel eingesetzt !!

wenn du das alles explizit auflöst rechte Seite als auch die linke Seite,
so wirst du sehen dass beide Seiten gleich sind.

Damit ist dann gezeigt, dass die Aussage auch für den Fall (n+1) richtig
ist sofern sie denn für den vorherigen stimmt.

Der Beweis nach dem Beweis-Prinzip der vollständige Induktion ist
damit vollzogen ...
Deakandy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion
Das ist ein alter eintrag von mir, der analog zu deiner Aufgabe geht.
Du musst halt das gleiche Prinzip anwenden


NANA wer wird denn da gleich weinen.
Also um es mal in meine einfachen Worte zu fassen beschäftigt sich die vollständige induktion damit, von einem auf alle zu schließen.

Ein ganz einfaches Beispiel ist eines, welches ein berühmter MAthematiker Gauß erstellte.

ER grübelte wie man die Zahlen von 1,2,3,...,100 in der Summe schnell berechnen konnte. Durch überlegungen behauptete er, das man alle Natürlichen Zahlen in der Form n(n+1)/2 berechnen kann.
Nun zur vollständigen Induktion

Man behauptet etwas:
hier:
n
S k = n(n+1)/2
1
In Worten
Die SUmme aller natürlichen Zahlen von 1bis n lassen sich in der Form von n(n+1)/2 darstellen
Nun der erste Schritt der vollständigen Induktion.
Man beweise , dass die Behauptung für n=1 gilt.[Die vollständige Induktion gilt nur für die natürlichen Zahlen]
dann hat man auf der einen Seite
die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 1 =1
auf der andere 1*(1+1)/2 =1
Das heißt die Behauptung gilt:
Daraus gilt die Induktionsvoraussetzung (IV)
Es sei n €|N und es gelte für ein n
Nun kommt der Induktionsschritt (IS)
Man beweise, das es auch für die nächste Zahl gilt
n-->n+1
DAs heißt, wenn man zeigen kann, dass diese Behauptung gilt, hat man gezeigt das für jedes beliebige n auch die nachfolgende ziffer gilt.

Man setzt an und setzt überall für n=n+1

Das heißt man hat zu zeigen,

Die Summe von (1 bis n+1 aller natürlichen Zahlen) darzustellen ist als
(n+1)(n+1+1)/2
Nun wendet man bei fast allen Aufgaben einen Trick an.

Man formt die SUmme so um, dass die Vorraussetzung einsetzbar ist.
Aus der Summe kann man nun das letzte Glied rausholen und man erhält
(n+1) +Summe(1bisn)k
nun gilt ja nach der Vorraussetung, dass genau diese Summe gleich dem Bruch ist.
DAs heißt man setzt für die Summe diesen Bruch ein und erhält demnach

n+1 +n(n+1)/2
<=>2(n+1)/2 + n(n+1)/2
<=>(n+1)(2+n)/2
Nun siehst du, dass dies genau mit dem übereinstimmt was du angehommen hast.

Demnach folgt die Behauptung per vollständiger Induktion

Probiere es mal aus indem du die Summe von 1-100 ausrechnest.
Ich hoffe ich habe nicht allzuviele Formulierungsfehler gemacht und entschuldige mich für die unzureichende Kenntnis des Einfügns von Grafiken
Demnach sehen die Summen nicht so toll aus.
Ich hoffe es hilft dir trotzdem
Gruß Andreas
(P.S.) Die Aussage , dass sich die vollständige Induktion nur auf natürliche Zahlen bezieht sich keinsteswegs auf das Ergebnis sondern darauf, das man nur natürliche zahlen einsetzt.)
Außerdem ist das keine Höhere Mathematik. Das ist normaler Abiturstoff...
Thomas Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verschiebs dann mal Augenzwinkern

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