Allgemeiner Zentraler Grenzwertsatz

06.03.2005, 19:26	Hamilton	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeiner Zentraler Grenzwertsatz Hallo zusammen, habe eine Verständnisfrage. Mein Professor hat Folgendes zum Zentr. Grenzwertsatz definiert: Wir betrachten ein Dreiecksschema (Xni) ( ni soll als Index an das X angehängt werden) 1<=i<=n<unendlich von reellwertigen Zufallsvariablen: X11 X21 X22 X31 X32 X33 X41.... ( Die Zahlen sollen auch Indizes sein) Annahme: Für jedes n sind die Zufallsvariablen Xn1,......,Xnn stochastisch unabhängig. Setze Sn:= Xn1+.....+Xnn und Tn:= Xn1 I{l Xn1l <=1}+..... ....+Xnn I{lXnnl <=1}. Beachte: lTnl <=n daraus folgt ETn, Var Tn< unendlich Jetzt folgt der allgemeine zentrale Grenzwertsatz: Sei (Xni) ein spaltenweise unabhängiges Dreiecksschema reellwertiger Zufallsvariablen. Gilt 1) lim ETn=0 und limVar Tn=1 ( ngegen unendlich) 2) lim $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~ Ws(\mid Xni \mid >epsilon)=0 \end{eqnarray}$ dann ist Sn asymptotisch-standard normal-verteilt. Wenn das jemand versteht und mir sagen kann was mit diesem Satz gezeigt wird wäre ich sehr dankbar. Vor allem verstehe ich die Menge Tn nicht. Diese I{ lXnl <=1} sind wohl indikatorvariablen. Was aber die Menge mir sagt verstehe ich nicht. Und was soll dieses Dreiecksschema? Bitte um Meldungen. Danke schön
06.03.2005, 21:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeiner Zentraler Grenzwertsatz Nach Definition $\begin{eqnarray} T_n := X_{n1} I\left\{\left\|X_{n1}\right\|\leq 1\right\}+\ldots+X_{nn} I\left\{\left\|X_{nn}\right\|\leq 1\right\} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} T_n \end{eqnarray}$ keine Menge, sondern auch eine Zufallsgröße - es ist inhaltlich die Zeilensumme der betragsmäßig bei 1 "abgeschnittenen" Zufallsgrößen. Gerade wegen dieses Abschneidens folgt unmittelbar $\begin{eqnarray} \left\|\mathbb{E}~T_n\right\|\leq n \end{eqnarray}$ .
07.03.2005, 09:38	Fehler	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeiner Zentraler Grenzwertsatz ( Mit meiner Anmeldung stimmt was nicht, deswegen bin ich grad mal Gast- Hamilton) Vielen Dank schon mal. Und was sagt mir die zweite Bedingung: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten geht gegen Null. Wie geht das? Gruß Hamilton
07.03.2005, 12:46	Hamilton	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeiner Zentraler Grenzwertsatz So jetzt gehts wieder.
07.03.2005, 13:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Als Summand steht dort $\begin{eqnarray} Ws\left(\left\|X_{ni}\right\|>\varepsilon\right) \end{eqnarray}$ , das ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X_{ni} \end{eqnarray}$ betragsmäßig größere Werte als $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ annimmt. Und wenn diese Wahrscheinlichkeit (also sogar in der Summe) gegen Null gehen soll, heißt das, dass für große n das $\begin{eqnarray} X_{ni} \end{eqnarray}$ fast nur noch Werte kleiner gleich $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ annehmen darf. Mit anderen Worten - es ist eine "besondere" Art und Weise, wie die Zufallsgrößen $\begin{eqnarray} X_{ni} \end{eqnarray}$ gegen Null konvergieren. Stell dir als Beispiel die Folge $\begin{eqnarray} X_{ni}\sim\mathcal{N}\left(0,\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray}$ vor, also innerhalb der Zeile alle unabhängig, identisch normalverteilt mit Mittelwert Null und Standardabweichung $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{n}} \end{eqnarray}$ . Dann sind alle Voraussetzungen erfüllt, die Satzaussage ist hier aber trivialerweise erfüllt, da bereits für alle n die Eigenschaft $\begin{eqnarray} S_n\sim\mathcal{N}\left(0,1\right) \end{eqnarray}$ gilt.

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