Verflixte Doppelsumme

03.09.2007, 22:07

cleany

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Verflixte Doppelsumme

Hallo,

ich habe ein kleines Problem mit einer Aufgabe, in der eine Doppelsumme vorkommt!
Hier mal die Aufganestellung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6~ \sum_{n=0}^{39}~(m \cdot n - 2 \cdot n - 4) \end{eqnarray*}$

soweit so gut ...
Also ich habe das nun soweit aufgelöst:
$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6~m \cdot \sum_{n=0}^{39}~n - \sum_{m=2}^6~ \sum_{n=0}^{39}~ 2m -\sum_{m=2}^6~ \sum_{n=0}^{39}~4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 20 \cdot 780 - 1600 - \sum_{m=2}^6~ \sum_{n=0}^{39}~4 \end{eqnarray*}$

So, und nun bin ich ja auch fast schon fertig! Bis auf die "Kleinigkeit" mit den beiden Summen aus der 4!
Da kommt laut Maple 800 raus. Nur wie rechne ich das, da das ja keine Abhängigkeit mehr von m oder n hat? Kann mir einer einen deteilierten Weg dazu zeigen ?
Kennt jemand eine Webseite oder ein Script, indem Aufgaben auf solchem Niveau mit Lösungen sind?
Danke schonmal!

03.09.2007, 22:14

pseudo-nym

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Wenn der Ausdruck auf den die Summe angewendet wird konstant bleibt, hängst du einfach immer die selben Summanden aneinander. z.B:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n a=\overbrace {a+a+a+...}^{n-mal}=n a \end{eqnarray*}$

Edits: Schreibfehler verbessert und Beispiel verschönert.

03.09.2007, 22:31

cleany

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Tja, manchmal sinds die kleinen Dinge Augenzwinkern

Augenzwinkern

Freude

Ich danke Dir ! Jetzt kann ich heute Nacht beruhigt schlafen ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.09.2007, 11:40

cleany

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Ich habe da aber immer noch ein kleines Problem.
Der Hinweis in dieser Aufgabe ist folgender:
$\begin{eqnarray*} \sum_{m=1}^M~m = \frac{M(M+1)}{2} \end{eqnarray*}$
Kann ich das auf jede Summe anwenden?
Wie ist das, wenn ein anderer Anfangswert gegeben ist wie zum Beispiel hier in dem Fall einmal die 2 und einmal die 0.
Wenn ich diese Formel nun auf $\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6~m \end{eqnarray*}$ anwende kommt ja 21 raus und nicht die gewünschte 20!
Es funktioniert ja auch nicht, wenn ich den Start -und Endwert anpasse: $\begin{eqnarray*} \sum_{m=1}^5~m = 15 \end{eqnarray*}$

ABER wenn ich das auf $\begin{eqnarray*} \sum_{m=0}^{39}~n \end{eqnarray*}$ anwende kommt die gesuchte 780 raus, obwohl hier der Anfangswert auch nicht die 1 wie in dem Hinweis ist.
Wie habe ich den Hinweis denn nun zu "verwenden",

04.09.2007, 11:48

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^n~i = 0+1+2+3+4+...+n=1+2+3+4+5+6+...+n=\sum_{i=1}^n \end{eqnarray*}$

Das ist mal das erste.

Das zweite ist:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=2}^n~i=2+3+4+...+n=1+2+3+4+...+n - 1 = \sum_{i=1}^n~i -1 \end{eqnarray*}$

Denk doch bitte daran, wofür diese Summenschreibweise steht, dann isses schnell einsichtig!

04.09.2007, 12:05

cleany

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Ja, das ist schon klar, aber es geht ja um diese Formel:
$\begin{eqnarray*} \sum_{m=1}^M~m = \frac{M(M+1)}{2} \end{eqnarray*}$
Wie setze ich das da ein?

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04.09.2007, 12:13

Lazarus

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$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{10}~i=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{10}~i=\frac{10\cdot \left(10+1\right)}{2}=\frac{10\cdot 11}{2}=55 \end{eqnarray*}$

04.09.2007, 12:22

cleany

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Jaja, das ist alles klaro,
nur es geht um die Anfangswerte !
Nach dieser Formel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=1}^M~m = \frac{M(M+1)}{2} \end{eqnarray*}$

folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6~m \end{eqnarray*}$ hier kommt nicht das richtige raus.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{39}~n \end{eqnarray*}$ hier kommt das richtige raus.

Also nochmal ausführlich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^6~m = \frac{6(6+1)}{2} = 21 \end{eqnarray*}$ und nicht 20, wie wir brauchen.

JEDOCH:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{39}~n = \frac{39(39+1)}{2} = 780 \end{eqnarray*}$ , hier kommt das richtige Ergebnis raus

Tja und ich denke, dass das etwas mit den Anfangswerten zu tun hat.

04.09.2007, 12:31

Airblader

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Wenn du über eine Variable summierst ist der Startwert 1 oder 0 darum egal, da beim Startwert 0 eben nur eine 0 mehr summiert wird - und das hat keine Auswirkung.

Ein Startwert von 2 hat natürlich eine Auswirkung! Und zwar welche? Das kannst du dir doch leicht überlegen!

$\begin{eqnarray*} \text{(1) }\sum_{k=1}^n k = 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Du brauchst jedoch:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n = 2 + 3 + \ldots + n = \text{?} \end{eqnarray*}$

Überlege doch mal, was du auf beiden Seiten in (1) machen kannst, um dein störendes "1 +" wegzubekommen. smile

smile

air

04.09.2007, 12:43

cleany

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Ahh! den Bruch -1 Wink

Wink

Ist eigentlich total logisch ...

$\begin{eqnarray*} \sum_{m=2}^M~m = \frac{M(M+1)}{2} - 1 \end{eqnarray*}$

Hammer

Hammer

04.09.2007, 12:57

Airblader

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Genau

Freude

Für sowas reicht es - wie Lazarus schon gesagt hat - sich das Summenzeichen einfach mal wegzudenken und es mit der Pünktchenschreibweise zu sehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Etwas allgemeiner wäre dann sogar

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=p}^n k = \frac{n(n+1)}{2} - \sum_{k=1}^{p-1} k \end{eqnarray*}$

denn

$\begin{eqnarray*} p + (p+1) + (p+2) + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} - (1 + 2 + \cdots + (p-1)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \underbrace{1 + 2 + \cdots + (p-1) + p + \cdots + n}_{= 1 + 2 + \cdots + n = \sum_{k=1}^n k} = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

air

04.09.2007, 13:54

Lazarus

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wenn du meinen ersten Beitrag genau gelesen hättest, wärst du zu diesem Ergebniss auch gekommen. Schade unglücklich

unglücklich

04.09.2007, 13:59

WebFritzi

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Zitat:

Original von Lazarus
wenn du meinen ersten Beitrag genau gelesen hättest, wärst du zu diesem Ergebniss auch gekommen. Schade unglücklich

unglücklich

Da hast du natürlich recht. Es ist schon traurig, wenn der Fragesteller die Beiträge, die für ihn allein geschrieben werden, einfach nur überfliegt. unglücklich

unglücklich

"Erkenntnis" wird übrigens auch nur mit einem 's' geschrieben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.09.2007, 14:01

Lazarus

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Ja, das meinte ich.

PS: Hast du heute deinen Rechtschreib-Tag ? Oder seit gestern einen Orthographiekurs belegt ? [siehe den Primzahlenthread ^^]

lg

04.09.2007, 14:03

AD

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Off-topic:

Wir haben uns das aufgeteilt: Ich übernehme die Standartabweichung, und WebFritzi alles andere... Big Laugh

Big Laugh

04.09.2007, 14:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von Lazarus
PS: Hast du heute deinen Rechtschreib-Tag ?

Ja.

Tanzen

04.09.2007, 14:27

cleany

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Zitat:

"Erkenntnis" wird übrigens auch nur mit einem 's' geschrieben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es ist schon traurig um hier jemanden zu zitieren, wenn man die Beiträge nur überfliegt und nicht liest, was Lazarus schreibt. Zunge

Zunge

Manchmal kommt man halt nicht direkt zum Ergebnis, dafür sind solche Foren da. Wink

Wink

04.09.2007, 14:30

WebFritzi

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Zitat:

Original von cleany

Zitat:

"Erkenntnis" wird übrigens auch nur mit einem 's' geschrieben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es ist schon traurig um hier jemanden zu zitieren, wenn man die Beiträge nur überfliegt und nicht liest, was Lazarus schreibt. Zunge

Zunge

Wenn du richtiges Deutsch schreiben würdest, würde man deine Retourkutsche auch verstehen. Zunge

Zunge

Zunge

04.09.2007, 14:34

cleany

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Wieder nur überflogen ?

Kleiner Tipp: les doch nochmal genau, was Lazarus geschrieben hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht kommst Du dann zu dem Ergebnis, dass da nichts von Erkenntis(s) steht..... Zunge

Zunge

04.09.2007, 14:39

WebFritzi

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Zitat:

Original von cleany
les doch nochmal genau, was Lazarus geschrieben hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielleicht kommst Du dann zu dem Ergebnis, dass da nichts von Erkenntis(s) steht..... Zunge

Zunge

Es heißt "lies"!!!

Reicht dein Verstand dazu aus, ein "auch" richtig zu interpretieren? Lies (!) noch einmal genau, was ICH geschrieben habe. Zunge

Zunge

04.09.2007, 14:41

Lazarus

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Ach kommt, Jungs!
Das ist nun wirklich nicht produktiv zum Thema.

Wer will der Klügere sein und nachgeben ?

Sonst muss ich nochmal das Leopold-Zitat anbringen...

lg

04.09.2007, 14:47

WebFritzi

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Zitat:

Original von Lazarus
Ach kommt, Jungs!
Das ist nun wirklich nicht produktiv zum Thema.

Wir sind durch mit dem Thema, da cleany es jetzt verstanden hat. Lass uns doch unseren Spaß. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.09.2007, 14:56

cleany

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WebFritzi zu Dir passt schon arroganter Sack ....

04.09.2007, 14:57

WebFritzi

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Big Laugh

Ich weiß.

Augenzwinkern

04.09.2007, 15:01

Dual Space

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Das wissen hier alle. Big Laugh

Big Laugh

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