Bedeutung des Skalaprodukts auf Funktionenräumen

Neue Frage »

Hansen Auf diesen Beitrag antworten »
Bedeutung des Skalaprodukts auf Funktionenräumen
Hallo,
ich wusste nicht, in welchen Bereich ich diesen Post stecken sollte, also stell ich ihn mal hier rein:
Es geht um das Skalarprodukt der Form . Also mir ist klar, das es axiomatisch gesehen ein Skalaprodukt ist, verstehe aber nicht, wieso ausgerechnet dieses Integral als Skalarprodukt seine "Funktion" so gut erfüllt.
Also anders ausgedrückt: Neben der axiomatischen Legitimität dieses Skalaprodukts muss es doch noch einen anderen (eher problemorientierten) Hintergrund geben, warum ausgerechnet dieses Integral z.B. in der linearen Algebra /Fourierreihen... genau die gewünschten Ergebnisse liefert. Irgendeine (geometrisch/anschauliche) Bedeutung muss doch die reelle Zahl, die dabei herauskommt, für die beteiligten Funktionen haben?! Vielleicht versteht mein Problem jemand und kann mir helfen Big Laugh
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedeutung des Skalaprodukts auf Funktionenräumen
Zitat:
Original von Hansen
das es axiomatisch gesehen ein Skalaprodukt ist


Das hat nichts mit Axiomen zu tun. Besser wäre: "dass es definitionsgemäß ein Skalarprodukt ist."
 
 
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bedeutung des Skalaprodukts auf Funktionenräumen
Zitat:
Original von HansenIrgendeine (geometrisch/anschauliche) Bedeutung muss doch die reelle Zahl, die dabei herauskommt, für die beteiligten Funktionen haben?!


Wenn Du selbst schon Fourieranalyse als Beispiel bringst, hast Du doch schon eine praktische Bedeutung für die auftretenden Zahlenwerte.
Hansen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn Du selbst schon Fourieranalyse als Beispiel bringst, hast Du doch schon eine praktische Bedeutung für die auftretenden Zahlenwerte.

Ja, ich habe ein Beispiel für eine praktische Bedeutung, aber warum es gerade so "perfekt passt"(z.B. bez. der Fourierkoeffizienten) ist damit auch nicht beantwortet. Was ich wissen will, ist der Grund für die Definition dieses Skalarprodukt. Niemand wird zufällig genau dieses Skalarprodukt ausprobiert haben, um dann festzustellen, dass er damit perfekte Ergebnisse erzielt. Ich könnte auch ein anderes "Integralskalarprodukt" wählen, und würde wahrscheinlich nicht die gleichen "guten" Ergebnisse erzielen. Also irgendeine Motivation für den Einsatz dieses dieses Integrals muss es doch geben?!
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte es auch als eine Art "natürliche Erweiterung" des gewöhnlichen (euklidischen) Skalarproduktes im ansehen.
Hansen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Man könnte es auch als eine Art "natürliche Erweiterung" des gewöhnlichen (euklidischen) Skalarproduktes im ansehen.

Ja, daran habe ich auch schon gedacht, wenn ich das Integral jetzt mal als unendliche Reihe betrachte. Aber ich finde diese Erklärung "legitimiert" noch nicht so recht den Einsatz für das Skalarprodukt. Also ich hab mich mal selbst daran gesetzt, irgendwie eine "Erklärung" bzw. Legitimierung für das Integral zu finden. Dazu habe ich das Fehlerintegral zweier Funktionen betrachtet:
. Angenommen (was ja genau der Fall ist, wenn die Funktionen "orthogonal zueinander sind) dann reduziert sich der obere Ausruck ja zu .
Und nun die Frage:Kann man jetzt irgendwie zeigen, dass das Integral nur dann ein Minimum annimt, wenn f(x) = g(x) = 0 ist(also Analog zur Vektorrechnung im IR^3)?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau dann, wenn (das Skalarprodukt ist positiv definit). Ist , so folgt . Wegen der positiven Definitheit des Skalarproduktes ist .


Gruß, therisen
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vollständigkeit halber: nur f. ü.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Soliton
Der Vollständigkeit halber: nur f. ü.


Kommt drauf an, woher die Funktionen stammen.
Tomtomtomtom Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir ganz und gar nicht sicher, und das was ich hier schreibe ist sehr vorsichtig zu genießen. Aber ich meine, mal gelesen zu haben, daß unter allen Skalarprodukten dieses noch eine Minimalitätseigenschaft erfüllt, die es vor allen anderen auszeichnet. Für solche Eigenschaften gibt es dann oft physikalische Interpretationen, da die Natur iz.B. oft bestrebt ist, einen möglichst minimalen energetischen Zustand anzunehmen.

Aber ich kann mich beim besten willen nicht mehr erinnern, wo ich das herhabe.
Soliton Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von Soliton
Der Vollständigkeit halber: nur f. ü.


Kommt drauf an, woher die Funktionen stammen.


Wenn wir uns nicht gerade auf stetige Funktionen beschränken, ist die Ergänzung aber notwendig.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »