Gruppenhomomorphismus und Isomorphismus

09.09.2007, 08:54	isa	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenhomomorphismus und Isomorphismus huhu ich habe noch eine frage die aufgabe lautet zeigen sie, dass für alle primzahlen p die abbildung $\begin{eqnarray} \alpha : \mathbb F _{p}^ -->\mathbb F _{p}^<br /> a-->a^{3} \end{eqnarray}$ ein gruppenhomomorphismus ist das geht ja so a,a' $\begin{eqnarray} \in \mathbb F _{p}^ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ (a) $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ (a')= $\begin{eqnarray} a^{3} a'^{3} = (aa')^{3} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \alpha (aa') \end{eqnarray*}$ das reicht doch, oder? jetzt ist gefragt ob es für p = 17 bijektiv ist durch ausprobieren ist die antwort da ja geben sie alle primzahlen an für die es ein Isomorphismus ist habe das mal für ein paar zahlen geprüft also ja für 2,3,4,11,17 nein für 7 und 13 leider sehe ich da keine regelmäßigkeit von der ich auf alles schließen könnte kann mir jemand helfen?
09.09.2007, 15:09	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo isa, $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist für $\begin{eqnarray} p\geq5 \end{eqnarray}$ genau dann ein Isomorphismus, wenn $\begin{eqnarray} p\equiv5\pmod6 \end{eqnarray}$ . Bekanntlich gilt für $\begin{eqnarray} p\geq5 \end{eqnarray}$ entweder $\begin{eqnarray} p\equiv1\pmod6 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} p\equiv5\pmod6 \end{eqnarray}$ . Im Fall $\begin{eqnarray} p\equiv1\pmod6 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \frac{\varphi(p)}{\mathrm{ggT}(3,\varphi(p))}\equiv0\pmod2 \end{eqnarray}$ , d.h. die Gleichung $\begin{eqnarray} x^3=1\pmod p \end{eqnarray}$ besitzt genau 3 Lösungen. Insbesondere ist $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ nicht injektiv. Im Fall $\begin{eqnarray} p\equiv5\pmod6 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} a^{\frac{\varphi(p)}{\mathrm{ggT}(3,\varphi(p))}} \equiv a^{p-1} \equiv 1\pmod p \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(a,p)=1 \end{eqnarray}$ (kleiner fermatscher Satz). Für diese $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ist die Gleichung $\begin{eqnarray} x^3\equiv a\pmod p \end{eqnarray}$ also eindeutig lösbar, d.h. $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ist bijektiv. Gruß, therisen PS: Ich hatte vorhin schon einen Beitrag geschrieben, den ich aber gelöscht habe, damit du meine zahlreichen nachträglichen Änderungen mitbekommst.
09.09.2007, 15:49	isa	Auf diesen Beitrag antworten »
hey vielen dank ich würde gerne mal wissen wie man das in einer klausur lösen soll für die ganze aufgabe sind 15 min gedacht und taschenrechner sind nicht erlaubt naja durch dich weiß ich ja jetzt wies geht hoffe dann mal das sowas wieder dran kommt also vielen vielen dank

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