Reihenentwicklung Konvergenz

09.09.2007, 15:03

FabianG

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Reihenentwicklung Konvergenz

Habe folgende Aufgabe:

Bestimme alle $\begin{eqnarray*} X\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ für die die

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty (x^{2}-4x)^{k} \end{eqnarray*}$

konvergiert.

Denke mal das ist eine Potenzreihe, finde jedoch nicht den Ansatz. Der Klammerteil muss kleiner 1 sein damit die Reihe konvergiert. Bin für jede Hilfe dankbar.

09.09.2007, 15:06

Dual Space

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RE: Reihenentwicklung Konvergenz
Substituiere y=x^2-4x.

09.09.2007, 15:16

therisen

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$\begin{eqnarray*} |x||x-4|=|x^2-4x|\stackrel{!}{<}1 \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

09.09.2007, 15:30

FabianG

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty (u)^{k} \end{eqnarray*}$

Und dann ? Wie bekomme ich damit alle Reellen X mit denen die Reihe konvergiert?

@therisen

Ahh du hast den Konvergenzradius jetzt Grafisch bestimmt. OK Wie führe ich das jetzt in eriner Rechnung aus? Was kann ich anwenden. Suche so etwas wie einen Satz, ein Rechnenschema ....eine Limesbetrachtung irgendwie sowas.

09.09.2007, 15:42

vektorraum

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Sagen dir Konvergenzkriterien etwas???

Erstes Kriterium sollte sein:

Konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_n \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}~a_n=0 \end{eqnarray*}$ .

Dann weitere Konvergenzkriterien zu Grunde legen...

09.09.2007, 15:43

WebFritzi

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Zitat:

Original von FabianG
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty (u)^{k} \end{eqnarray*}$

Und dann ? Wie bekomme ich damit alle Reellen X mit denen die Reihe konvergiert?

Du kennst die geometrische Reihe und weißt, wann sie konvergiert?

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09.09.2007, 15:43

therisen

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Hallo,

der Tipp von DualSpace bringt dich nicht weiter, da du schon weißt, worauf er hinaus will (nämlich meine Ungleichung).

@Vektorraum) Auch dein Beitrag ist unpassend.

@FabianG) Du musst jetzt Fallunterscheidungen vornehmen. Einmal für alle x, für die $\begin{eqnarray*} x^2-4x\geq0 \end{eqnarray*}$ und einmal für die x, für die $\begin{eqnarray*} x^2-4x<0 \end{eqnarray*}$ . Stichwort Betragsungleichungen (8. Klasse).

Gruß, therisen

09.09.2007, 15:45

WebFritzi

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Zitat:

Original von therisen
Einmal für alle x, für die $\begin{eqnarray*} x^2-4x\geq0 \end{eqnarray*}$ und einmal für die x, für die $\begin{eqnarray*} x^2-4x<0 \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht setzen wir erstmal bei meinem Beitrag an? Bisher ist noch nicht klar, ob er überhaupt weiß, für welche u die Reihe konvergiert.

09.09.2007, 15:47

therisen

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RE: Reihenentwicklung Konvergenz
Wozu?

Zitat:

Original von FabianG
Der Klammerteil muss kleiner 1 sein damit die Reihe konvergiert.

Ich interpretiere das so, dass er damit $\begin{eqnarray*} |x^2-4x|<1 \end{eqnarray*}$ meint. Das sollte FabianG mal klären.

09.09.2007, 15:48

vektorraum

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Zitat:

Original von therisen
@Vektorraum: Auch dein Beitrag ist unpassend.

Unpassend? Wenn du meinst. Ziel meines Beitrages war wahrscheinlich das Gleiche wie bei WebFritz...

Na dann mach mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit:

Zitat:

Der Klammerteil muss kleiner 1 sein damit die Reihe konvergiert.

Finger1

Zu schnell gelesen.

P.S. Tolle neue Smileys. Da kann man die gleich mal anwenden.

09.09.2007, 15:49

WebFritzi

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RE: Reihenentwicklung Konvergenz

Zitat:

Original von FabianG
Der Klammerteil muss kleiner 1 sein damit die Reihe konvergiert.

Oh, das hatte ich überlesen.

@therisen: Ja, du hast wahrscheinlich recht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.09.2007, 00:46

FabianG

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Ja also Ich habe die Reihe mal ausgeführt

$\begin{eqnarray*} sn= 1 + x*(x-4) + (x*(x-4))^{2} + (x*(x-4))^{3} + (x*(x-4))^{4} ... \end{eqnarray*}$
so, daran habe ich erkannt wir haben eine geometrische Reihe mit
$\begin{eqnarray*} q= x*(x-4) \end{eqnarray*}$
mithilfe der Summenformel
$\begin{eqnarray*} s=\frac{a1}{1-q} \end{eqnarray*}$
habe ich dann
$\begin{eqnarray*} s=\frac{1}{-x^{2}-4*x+1} \end{eqnarray*}$

So nun nur noch die abschliessende intelligente Aussage

für $\begin{eqnarray*} \mid q \mid < 1 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} - x*(x+4)< 1 \end{eqnarray*}$

Aha siht so aus als müsste ich nun das x bestimmen damit ich dann für die Lösungsmenge schreiben kann $\begin{eqnarray*} 0 < x < ? \end{eqnarray*}$

13.09.2007, 01:17

WebFritzi

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Ich kann dir nicht ganz folgen. Du weißt, dass die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty q^k \end{eqnarray*}$

genau dann konvergiert, wenn |q| < 1. Du hast hier

$\begin{eqnarray*} q = x^2 - 4x. \end{eqnarray*}$

Also musst du die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} |x^2 - 4x| < 1 \end{eqnarray*}$

für x lösen.

13.09.2007, 09:46

Dual Space

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RE: Reihenentwicklung Konvergenz

Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von FabianG
Der Klammerteil muss kleiner 1 sein damit die Reihe konvergiert.

Ich interpretiere das so, dass er damit $\begin{eqnarray*} |x^2-4x|<1 \end{eqnarray*}$ meint. Das sollte FabianG mal klären.

Ich hab das nicht so großzügig ausgelegt und FabianGs letzter Post gibt mir recht. Zunge

Zunge

Ich wollte ihn mit meiner Substitution eben explizit auf die geom. Reihe schubsen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.09.2007, 10:57

FabianG

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OK Fassen wir zusammen, ich bin war wohl nicht in der Lage eine Ungleichung zu lösen unglücklich

unglücklich

So habe folgende Lösung erarbeitet

da wir eine Geometrische reihe haben konvergiert diese ja nur bei q < 1.
Also stelle ich mal die Theorie auf

$\begin{eqnarray*} x^{2}-4*x < 1 \end{eqnarray*}$

so rechne nun minus 1

$\begin{eqnarray*} x^{2}-4*x - 1 < 0 \end{eqnarray*}$

So nun einmal die PQ Formel durchgejagt und wir haben

$\begin{eqnarray*} x1 \leq 2 + \sqrt{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2 \geq 2 - \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

So und nun schreibe ich einfach das die Summe x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
zwischen x1 und x2 konvergiert

13.09.2007, 11:00

Dual Space

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Zitat:

Original von FabianG
$\begin{eqnarray*} x^{2}-4*x < 1 \end{eqnarray*}$

Die Lösung dieser Ungleichung ist nur die halbe Wahrheit. Lies dir doch bitte die Posts nocheinmal duch, dann siehst du, dass es um diese Ungleichung geht:

$\begin{eqnarray*} |x^2-4x|<1 \end{eqnarray*}$

Ist dir klar, warum man hier den Betrag braucht? Also auf ein neues.

13.09.2007, 11:03

therisen

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Und schau dir mal meine Skizze an, dann siehst du sofort, dass dein Ergebnis nicht stimmen kann.

13.09.2007, 11:05

FabianG

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nunja das ganze nochmal für

$\begin{eqnarray*} x^{2} + 4x < 1 \end{eqnarray*}$

rechnen?

13.09.2007, 11:08

Dual Space

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Mach doch mal eine saubere Fallunterscheidung zur Auflösung der besagten Betragsungleichung. Davon abgesehen, hat dich therisen eben drauf hingewiesen, dass dein Ergebnis (für die Ungleichung ohne Betrag) falsch ist.

13.09.2007, 11:08

therisen

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Nicht raten. Ich habe dir schon mal gesagt, du musst erst prüfen, wann $\begin{eqnarray*} x^4-4x\geq0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^4-4x<0 \end{eqnarray*}$ . Mach das zuerst.

13.09.2007, 12:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von therisen
Nicht raten. Ich habe dir schon mal gesagt, du musst erst prüfen, wann $\begin{eqnarray*} x^4-4x\geq0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^4-4x<0 \end{eqnarray*}$ . Mach das zuerst.

therisen meint $\begin{eqnarray*} x^2 - 4x. \end{eqnarray*}$

13.09.2007, 12:37

FabianG

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Zitat:

Original von therisen
Nicht raten. Ich habe dir schon mal gesagt, du musst erst prüfen, wann $\begin{eqnarray*} x^4-4x\geq0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^4-4x<0 \end{eqnarray*}$ . Mach das zuerst.

Du meinst wohl

$\begin{eqnarray*} x^{2} - 4 * x \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \geq 0 \Rightarrow x\leq 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x \geq 4 \end{eqnarray*}$

und für

$\begin{eqnarray*} <0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 < x < 4 \end{eqnarray*}$

13.09.2007, 12:41

WebFritzi

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Gut. Löse jetzt erstmal im Fall $\begin{eqnarray*} x^2 - 4x \ge 0 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |x^2 - 4x| < 1. \end{eqnarray*}$

13.09.2007, 13:01

FabianG

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$\begin{eqnarray*} x1 \leq 2 + \sqrt{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2 \geq 2 - \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

habe ich ja schon ermittelt.Mein Taschenrechner sagt das ausserdem

$\begin{eqnarray*} x3 \leq 2 + \sqrt{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x4 \geq 2 - \sqrt{3} \end{eqnarray*}$

auch lösung ist.

das hätte ich wenn das q in der pq formel +1 wäre ...Bekomme das nicht auf die reihe.

13.09.2007, 13:04

Dual Space

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Du erhältst also 4 Lösungen für eine quadratische (Un-)Gleichung?

Dein Gefühl sollte dir jetzt sagen, dass da irgendwas nicht stimmen kann. Mach doch mal die Probe.

13.09.2007, 13:08

FabianG

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naja eigetlich heisst es

$\begin{eqnarray*} -(\sqrt{5}-2) < x < - (\sqrt{3}-2) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}+2 < x < \sqrt{5}+2 \end{eqnarray*}$

bin mittlerweile gefühlstod

das sagt mein Taschenrechner, diese wurzel 3 sache kann ich nicht nachvollzihen

13.09.2007, 13:25

Dual Space

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Vergleiche mal den Plot mit deinen Ergebinssen. Zur Erinnerung, die Aufgabe war $\begin{eqnarray*} 0\leq x^2-4x<1 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Oder hast du die Fallbedingung $\begin{eqnarray*} x^2-4x\geq 0 \end{eqnarray*}$ schon mit verarbeitet? Das würde die 2 Lösungsintervalle erklären. Das Ergebnis wäre aber dennoch falsch.

Pass auf ich rechne dir den ersten Fall mal vor.

Also gegeben ist $\begin{eqnarray*} |x^2-4x|<1 \end{eqnarray*}$ .

Erster Fall: $\begin{eqnarray*} x^2-4x\geq 0 \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} |x^2-4x|=x^2-4x \end{eqnarray*}$ und zu lösen ist die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^2-4x<1 \end{eqnarray*}$ .

Das macht man so

$\begin{eqnarray*} x^2-4x<1\Longleftrightarrow x^2-4x-1<0 \end{eqnarray*}$

und die pq-Formel liefert zusammen mit dem Wissen, dass die Parabel nach oben geöffnet ist

$\begin{eqnarray*} 2-\sqrt{5}<x<2+\sqrt{5}. \end{eqnarray*}$

Nun noch die Bedingung $\begin{eqnarray*} x^2-4x\geq 0 \end{eqnarray*}$ verarbeiten. Wieder pq-Formel liefert

$\begin{eqnarray*} x>2-\sqrt{4}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x>2+\sqrt{4}=4. \end{eqnarray*}$

Fazit: Lösungsmenge für den ertsen Fall ist

$\begin{eqnarray*} L_1=(2-\sqrt{5},0]\cup[4,2+\sqrt{5}). \end{eqnarray*}$

Verstanden?

13.09.2007, 14:11

WebFritzi

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Zitat:

Original von FabianG
naja eigetlich heisst es

$\begin{eqnarray*} -(\sqrt{5}-2) < x < - (\sqrt{3}-2) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3}+2 < x < \sqrt{5}+2 \end{eqnarray*}$

bin mittlerweile gefühlstod

das sagt mein Taschenrechner, diese wurzel 3 sache kann ich nicht nachvollzihen

Das ist richtig. Es wäre allerdings schön, wenn du das auch ohne Taschenrechner rauskriegen würdest.

13.09.2007, 14:13

Dual Space

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Zitat:

Original von WebFritzi
Das ist richtig.

Auf welche Aufgabe passt denn die Lösung?

13.09.2007, 14:21

WebFritzi

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Zitat:

Original von Dual Space

Zitat:

Original von WebFritzi
Das ist richtig.

Auf welche Aufgabe passt denn die Lösung?

Du stellst Fragen... Na, auf $\begin{eqnarray*} |x^2 - 4x| < 1 \end{eqnarray*}$ natürlich. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.09.2007, 14:22

Dual Space

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Herjeee.... konnte ja keiner ahnen, dass FabianG unsere Posts derart ignoriert. unglücklich

unglücklich

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