Sinus und Kosinusableitungen

09.09.2007, 20:07

joeehhii

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Sinus und Kosinusableitungen

Hallo.

Ich versuche gerade zur Übung ein paar Ableitungen, scheiter aber leider an den Sinus- bzw Kosinusableitungen.

Eigentlich ist es doch wie folgt:
f(x)= sin x
f'(x) = cos x
f''(x) = -sin x
f'''(x) = -cos x

Hier ein Beispiel:
f(x)= 4cos(3x)

Meine Lösung
f(x) = 4cos(3x) = 12 cos x
f'(x) = -12 sin x
f''(x) = -12 cos x
f'''(x) = keine ahnung...

Stimmt das oder fällt das x weg? Ich möchte das wirklich gerne können und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
MfG

09.09.2007, 20:10

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RE: Sinus und Kosinusableitungen

Zitat:

Original von joeehhii
Meine Lösung
f(x) = 4cos(3x) = 12 cos x

Stimmt das oder fällt das x weg? Ich möchte das wirklich gerne können und hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
MfG

Wer treibt dich zu dieser Umformung? Woher kommt das? Wenn schon:

$\begin{eqnarray*} \cos(3x)=4\cdot\cos^3 x-3\cdot \cos x \end{eqnarray*}$

09.09.2007, 20:12

joeehhii

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Es war/ist meine Idee ohne zu wissen ob es stimmt.

Welche Formel hast du für die Umformung angewand?

09.09.2007, 20:15

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Steht im Tafelwerk Hammer

Hammer

Nein, man kanns auch beweisen.

Wenn du aber lediglich den Ausdruck oben ableiten willst, brauchst du das nicht so umformen. Egal wie du es machst, du kommst ja um die Kettenregel eh nicht drum herum.

Also leite doch oben einfach den Ausdruck ab, bitte...

09.09.2007, 20:18

joeehhii

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4cos(3x) = 4 * cos³x - 3*cos x

f'(x) = 12cos²x - 3cos x

Ich hab nicht wirklich die Ahnung, ob es stimmt (wohl eher nicht).
Ich schaue mir jetzt die Kettenregel kurz an

09.09.2007, 20:21

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1) Du hast den Faktor 4 vergessen beim Einsetzen in diese Beziehung.

2) Du hast den hinteren Teil der Funktion nicht abgeleitet sondern einfach nur übernommen.

3) Leite doch die Ursprungsfunktion ab, das geht viel schneller als über diese Beziehung. Ich wollte dir damit nur aufzeigen, dass deine Beziehung nicht stimmt, sondern eine mögliche andere darstellen.

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09.09.2007, 20:24

joeehhii

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$\begin{eqnarray*} 4cos(3x) \end{eqnarray*}$

f'(x) = 4cos(3)

?

Die meisten Schwierigkeiten machen mir hier Kosinus und die Klammer...

09.09.2007, 20:28

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OK - gehen wir schrittweise vor:

Wir haben

$\begin{eqnarray*} f(x)=4\cdot \cos (3x) \end{eqnarray*}$

Machen wir das über die Produktregel? OK - dann ist

$\begin{eqnarray*} u=4~\Rightarrow~u'=\ldots,~v=\cos(3x)~\Rightarrow~v'(x)=\ldots \end{eqnarray*}$

Ich habe dir jetzt u und v hingeschrieben. Das musst du jetzt bitte noch ableiten. Also suchen wir u' und v'.

Wie können wir v ableiten? Richtig: mit der Kettenregel. Was ist das Innere und was ist das Äußere? Kennst du die Merkregel bei der Kettenregel:

Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion?

09.09.2007, 20:33

joeehhii

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u=4
dann fällt 4 ja in der 1. Ableitung weg, also:
u'= 4

v= cos(3x)

Das Äußere ist cos und das Innere 3x.

$\begin{eqnarray*} v' = -sin*(3) * -sin*(x) \end{eqnarray*}$

09.09.2007, 20:36

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Hey, du hast es doch richtig hingeschrieben und schreibst dann alles falsch.

Es ist doch $\begin{eqnarray*} u'=0 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Die andere Ableitung ist leider falsch.

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} 3x \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ . Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ hast du oben schon mal richtig aufgeschrieben. Also:

Ableitung der inneren Funktion ist 3 multipliziert mit der Ableitung der äußeren Funktion...

09.09.2007, 20:39

joeehhii

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$\begin{eqnarray*} u'=0 \end{eqnarray*}$
Da hatte ich mich vertan Wink

Wink

Gut, dann ist die Ableitung der Klammer wie gesagt $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$
Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} cosx \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -sinx \end{eqnarray*}$

Also ist die 1. Ableitung das Produkt aus:
$\begin{eqnarray*} 3 * - sin x \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} -3sin x \end{eqnarray*}$

09.09.2007, 20:44

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Nun, jetzt haben wir es fast. Nochmal zur Erinnerung:

Kettenregel: $\begin{eqnarray*} (f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x) \end{eqnarray*}$

g(x) ist die innere Funktion und f(x) die äußere Funktion.

Schau mal was auf der rechten Seite steht außer der richtigen Ableitung von dir mit 3.

f' an der Stelle g(x) und das ist bei dir???

09.09.2007, 20:50

joeehhii

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Jetzt habe ich aber hart zu kämpfen...^^

Ist es dann:

$\begin{eqnarray*} f'(x)= -sin x * 3x \end{eqnarray*}$

Edit:
Nein das war falsch. Da Sinus ja nur "einmal" abgeleitet wird.

Dann:

f'(x) = 3cos x * - sin x

09.09.2007, 20:54

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OK. Ich schreibe dir jetzt die Lösung hin. Aber bitte auch wirklich anschauen und verstehen versuchen, okay.

Wir haben

$\begin{eqnarray*} v=\cos(3x) \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} g(x)=3x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g'(x)=3 \end{eqnarray*}$ .

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \cos(g(x)) \end{eqnarray*}$ ist doch im allgemeinen $\begin{eqnarray*} g'(x)\cdot (-\sin (g(x)) \end{eqnarray*}$ . Nach obiger Kettenregel.

Also ist insgesamt

$\begin{eqnarray*} v'=-3\cdot \sin (3x) \end{eqnarray*}$

Also zusammen

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4\cdot (-3\sin(3x)) \end{eqnarray*}$ .

09.09.2007, 21:01

joeehhii

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Die Ableitung von v = cos(3x) verstehe ich.
Also dass das x in diesem Falle wegfällt.
Damit ist das v ja "abgehakt".

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} cos \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -sin \end{eqnarray*}$ .
Das verstehe ich auch.

U ist zuvor ja 4 gewesen. Daher ist u' = 0.

Ich verstehe nun folgendes nicht.
Du hast geschrieben: $\begin{eqnarray*} f'(x) = 4* (-3sin(3x)) \end{eqnarray*}$

Zwei Fragen:
4 war doch 0. Wieso steht es jetzt wieder in der Ableitung?
X war doch weggefallen, wieso ist es jetzt ebenso wieder in der Ableitung?
Bleibt der Inhalt der Klammer, in diesem Falle die 3x dann unverändert? Also mach ich diesen Schritt, dass das x wegfällt (im Kopf) nur, damit ich cos ableiten kann?

09.09.2007, 21:06

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Kennst du nicht die Produktregel? Schau dir bitte nochmal in Ruhe die Kettenregel an von oben!!! Lehrer

Lehrer

09.09.2007, 21:15

joeehhii

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Produktregel geht doch wie folgt:
y = uv
y' = u'v + uv'

Die Kettenregel so:

f(x) = u(v(x))
f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)

Zur Erinnerung (schreibe mir das so auf, damit ich es besser verstehe):
u=4
v=cos(3x)

Das mit dem x habe ich bereits verstanden. Macht auch Sinn und kann man der Kettenregel entnehmen.
Nur bei der 1. Ableitung der Kettenregel ist doch nur u' aufgeführt, was 0 ist...das leuchtet mir im diesem Falle nicht ein.

09.09.2007, 21:20

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Ausführlich aufgeschrieben würde da stehen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0\cdot \cos(3x) + 4\cdot (-3\sin (3x)) \end{eqnarray*}$

Der vordere Ausdruck, da Null multipliziert mit irgendwas immer Null ist - also wegfällt. Uns interessiert nur noch der hintere Teil, der mittels Kettenregel abgeleitet wurde.

Die 3x bleiben beim sin... stehen, da es auch in der Kettenregel oben so vereinbart ist. Schau da nochmal genau hin - die Ableitung an der Stelle g(x).

09.09.2007, 21:28

joeehhii

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Das mit der Null am Anfang hat mir schon einmal sehr geholfen und ist mir jetzt auch klar geworden.

Dass die 4 im hinteren Teil stehen bleibt auch, da ja u'v + uv'.

Was genau meinst du jedoch mit der Ableitung an der Stelle g(x)?

Das ist doch g'(x) * (-sin(g(x).
Der Teil in der Klammer mit dem Sinus bleibt unverändert, daher bleibt das 3x auch stehen, oder nicht?

09.09.2007, 21:30

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Ja, ich denke du meinst jetzt das richtige!

09.09.2007, 21:32

joeehhii

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Gut. Das denke ich nämlich auch smile

smile

1 Aufgabe noch zur Probe bzw. Vergewisserung:

$\begin{eqnarray*} f(x)=3sinx \end{eqnarray*}$

u'v + uv'

$\begin{eqnarray*} 0 * sin x + 3 * cos x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 3cos x \end{eqnarray*}$

? - Hoffentlich kein Denkfehler drin, Prinzip meine ich verstanden zu haben

Und ich wollte noch fragen, wie du das Malzeichen machst Freude

Freude

09.09.2007, 21:35

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Richtig! Willst du noch eine Aufgabe zur Vergewisserung???

Pass auf: Das Malzeichen $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ mit

code:
1:	\cdot

Noch ein Tipp: Schreibe statt $\begin{eqnarray*} cos \end{eqnarray*}$ doch einfach $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ . Das machst du mit

code:
1:	\cos

.

Genauso bei Sinus. Sieht echt schick aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.09.2007, 21:41

joeehhii

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Super! Danke!

Ich mach lieber noch eine. Mathe macht schließlich Spaß smile

smile

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(2x) \end{eqnarray*}$

f'(x) = 2* cos(2x)

Edit: Habe sofort noch eine Frage.

09.09.2007, 21:47

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Zitat:

Ich mach lieber noch eine. Mathe macht schließlich Spaß smile

smile

Respekt

Super, das machst du gut. Hoffe, dass du das jetzt verstanden hast. Aber ich denke schon. Übe das an ein paar weiteren Aufgaben und steigere den Schwierigkeitsgrad. Dann wirst du zum "Ableitemeister" Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schöner Kommentar - hoffe du meinst das ernst.

09.09.2007, 21:51

joeehhii

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Ja, meine ich. Zwar wird es oft gehasst, aber man sollte sich lieber vernünftig hinter die Aufgaben klemmen. Man lernt schließlich für sich und fürs Leben.

So hier noch meine Frage:

$\begin{eqnarray*} f(x) = -1/2 cos x \end{eqnarray*}$

f'(x) = -1/2 sin x
?

Bin mir da nicht so sicher. Und zwar: Bezieht sich das Minus auf auch Kosinus? Weil dann wäre die Ableitung ja 'sin'.
Und dort stünde f'(x) = 1/2 sin x

09.09.2007, 21:54

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Super Einstellung!

Das Minus bezieht sich schon auf den ganzen Ausdruck, aber du musst dich beim Ableiten entscheiden. Entweder

$\begin{eqnarray*} u=-1/2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=\cos x \end{eqnarray*}$

ODER

$\begin{eqnarray*} u=1/2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=-\cos x \end{eqnarray*}$

Jetzt überprüfe deine Ableitung nochmal.

09.09.2007, 21:57

joeehhii

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v = -1/2
u = cos x

f'(x) = 1/2 * (-sin x)

09.09.2007, 22:03

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Warum denn das Minus?

$\begin{eqnarray*} u=-\cfrac{1}{2}~\Rightarrow~u'=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=\cos x~\Rightarrow ~v'=-\sin(x) \end{eqnarray*}$

Da hebt sich doch das - dann weg, wenn du das multiplizierst.

09.09.2007, 22:05

joeehhii

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Sry, mein ich ja Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.09.2007, 22:06

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Zitat:

Original von joeehhii
Sry, mein ich ja Augenzwinkern

Augenzwinkern

Na dann ist ja gut Freude

Freude

Weitere Fragen? Oder noch mehr Aufgaben Lesen1

Lesen1

09.09.2007, 22:08

joeehhii

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Ich hab hier noch einen Zettel mit ca. 80 Ableitungen zum Üben (teils mit Sinus bzw Kosinus teils ohne).
Die anderen kann ich. Mich interessieren nur die mit sin und cos.

Die mache ich jetzt erstmal weiter und melde mich bei Fragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen, vielen Dank für die Hilfe und dafür, dass du dir so viel Zeit und Geduld genommen hast Freude

Freude

09.09.2007, 22:10

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Huy, da hast du ja erstmal zu tun - ich habe hier auch noch so etwa 200 und mehr liegen Prost

Prost

Wenn du wieder Unklarheiten hast, kannst du dich sehr gerne hier im Board melden.

Schön, wenn ich dir helfen konnte.

Gute Nacht Schläfer

Schläfer

Edit: Achso - poste nächste mal in die Analysis. Vielleicht verschiebts ja einer dorthin, wenn man das sieht. Also nicht wundern.

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