Eigenwerte Eigenvektoren |
| 31.01.2004, 20:46 | Malcolm | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Eigenwerte Eigenvektoren Mal angenommen ich hab irgendeine symmetrische Matrix deren Orthonormalbasis zu den dazugehörigen Eigenvektoren bestimmt werden soll. Dann muss ich doch zunächst mit den entsprechenden Formeln die Eigenwerte und anschließend die Eigenvektoren bestimmen. Diese Eigenvektoren müssen dann orthagonal gestellt werden und anschließend normalisiert werden. Alles schön und gut. Mein Problem ist nur ich kann mir nicht so richtig vorstellen was Eigenwerte bzw. Eigenvektoren überhaupt sind. Kann mir das vielleicht einer von euch kurz erklären oder mir eine Seite nennen wo nicht nur Formeln stehen sondern wo auch erklärt wird wie ich mir das vorstellen kann. Im vorraus schonmal danke |
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| 31.01.2004, 20:50 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » |
a heisst Eigenwert EW zum Eigenvektor EV x!=0 der Matrix A genau dann wenn A*x = a*x <-> (A-a*E)x = 0. Dieses Gleichungssystem ist mit x!=0 lösbar <-> det(A-a*E) = 0. Die EW sind also die Nullstellen des Polynoms det(A-a*E). Wenn man nun einen EW a1 bestimmt hat kann man die zugehörigen EV als Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems (A-a1*E)x = 0 bestimmen. |
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| 31.01.2004, 20:56 | Malcolm | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Eigenvektoren Hallo Also die Formeln sind schon klar ich bekomme auch meistens die richtigen Ergebnisse. Du hast ja auch kurz versucht zu erklären was Eigenwerte bzw. Eigenvekoren sind. Hab's aber leider immer noch nicht verstanden. Wäre nett wenn Du es etwas ausführlicher und möglichst wenig mathematisch erklären könntest. Wenn ich z.B. von einer Matrix A die in der ersten Spalte ne 0 1 und in der zweiten Spalte ne 1 0 hat die Orthonormalbasis von Eigenvektoren bestimmen soll ist das kein Problem. Wenn dann allerdings gefragt wird welche geometrische Operation die Funktion f(x) = A * x durchführt dann weiss ich nicht wie ich darauf kommen soll. Kann mir einer vielleicht sagen welche geometrische Operation diese Funktion durchführt? Danke |
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| 31.01.2004, 23:08 | epikur | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eine Abbildung der Form f(x) = A*x ist immer linear. Geometrisch handelt es sich dabei immer um eine Kombination von Drehungen,Streckungen und Spiegelungen des Raumes. Um welche es sich dabei handelt, bzw welche Kombination voliegt bekommt man aber weniger durch die EW und EV heraus. Wenn man aber z.B. weiss das es sich um eine reine Drehung handelt, kann man die Frage nach der Drehachse stellen. Dies sind alle Vektoren die fest bleiben, also Ax = x erfüllen, also EV zum EW 1 sind. Allgemeiner kann man die Frage nach Fixpunkten (der Punkt bleibt fest), Fixgeraden (die Gerade bleibt fest, aber Punkte können in der Gerade verschoben werden) und Fixpunktgeraden (jeder Punkt in der Geraden bleibt fest), etc stellen, aber wirklich lustig wird das erst mit Abbildungen der Form f(x) = Ax+b, die also zusätzlich eine Verschiebung beinhalten. Das ist mir jetzt aber, genauso wie obige Klassifikation linearer Abbuildungen ein wenig zu umfangreich. Stell doch besser etwas konkretere Fragen oder schau einfach mal intensiver in dein Script. |
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| 01.02.2004, 00:04 | Malcolm | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Eigenvektoren Hallo Ok hast mir sehr geholfen. Also dann bis zur nächsten Frage ;-) |
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