Bluttest beim Bund

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09.03.2005, 18:40	Avatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Bluttest beim Bund hier mal eine sehr interesante aufgabe, die ich jedoch nicht lösen kann (leider noch nichteinmal einen Ansatz finde :-( ) Vor einem Auslandseinsatz wird bei den dafür vergeseheen Soldaten der Bundeswehr ein Bluttest durchgeführt, um auszuschließen, dass sie mit einer bestimmten Krankheit infiziert sind. Aufgrund statisitsch abgesicherter Blutuntersuchungen ist bekannt, dass 0,1% der Gesamtbevölkerung diese Krankheit haben. Man kann verschiedene Untersuchungsmethoden anwenden: 1. Einzeltest: Das Blut jedes einzlenen Soldaten wird getestet 2. Gruppentest: Das blut von jeweils n soldaten wird vermischt und untersucht. Wenn keiner die Krankheit hat, benötigt man nur einen Test für die Gruppe. Zeigt der Test der Gruppe die Krankheit an, muss allerdings jeder in der Gruppe noch einzeln untersucht werden. Wie groß sollten bein Gruppentest die Gruppen sein, wenn die Anzahl der Tests minimiert werden soll?
09.03.2005, 19:00	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 2. wäre es nicht sinnvoller die Gruppe dann einfach in 2 Teile aufzuteilen und wieder einen Gruppentest zu machen. Damit kommt man auch weniger Tests. Natürlich wird es dadurch schwieriger. Ansonsten musst du dir einfach die Anzahl der durchschnittlichen Test in Abhängigkeit von der Gruppenanzahl anschauen. Also wie wahrscheinlich ist es, dass unter n Personen mindestens eine an der Krankheit leidet. Dann musst du diesen Wert mit n multiplizieren und 1 addieren (Gruppentest) und das gesamte durch n dievidieren. Und jetzt musst du das Minimum in Abhängigkeit von n bestimmen
09.03.2005, 19:18	Avatan	Auf diesen Beitrag antworten »
also: die wahrscheinlichkeit beträgt ja 0,1. demnach müsste deine "Formel" lauten: $\begin{eqnarray} (0,1n+1)/n \end{eqnarray*}$ aber wieso dies? und wiesso +1? Außerdem, wenn ich dies als Graph zeichnen würde, käme da eine asymptote raus, oder nicht?
09.03.2005, 19:26	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Gruppentest zählt auch als ein Test mit. Also auf jeden Fall 1 Test und dann mit einer Wahrscheinlichkeit noch n weitere. Und das mit n0,1% stimmt nicht, da wenn ich 2000 für n einsetzte ist die wahrscheinlichkeit weit über 100% was darauf hindeutet, dass es falsch ist. Die richtige Lösung wäre $\begin{eqnarray} 1-(1-0,001)^n \end{eqnarray*}$ Da auch wenn krank sind der Test positiv ist. Edit:Latex kann keine Prozentzeichen leiden
09.03.2005, 20:50	jovi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, schöne Aufgabe. Nur die zu optimierende Fkt. ist das noch nicht. Die ist auch nicht gerade trivial. Ich muss gestehen, dass ich hier zu Hause ohne Formelsammlung auch etwas hilflos davorstehe, obwohl es mir irgendwie bekannt vorkommt. Hab aber jetzt keine Lust meine Differential und Optimierungskenntnisse aus fast vergessenen Gehirnwinkeln rauszukramen - ich spiel mal mit Exel rum, da sehe ich bei 32 ein Optimum.
10.03.2005, 15:43	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Also vielleicht mal die Funktion die zu minimieren ist $\begin{eqnarray} y=\frac{((1-0,999^n)n+1)}{n} \end{eqnarray*}$ Ich hatte noch nie etwas mit Optimierung gelernt, also viel Spass.
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10.03.2005, 16:39	jovi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups, sieht das kompliziert aus, ist wohl aber richtig. Also , die zu minimierende Funktion ist vermute ich mal: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{x} - (0.999)^x \qquad .\qquad \end{eqnarray}$ (unnötiges Zeugs mal weggelassen) Interessanterweise ist das Ergebniss wohl tatsächlich von der Anzahl der zu testenden Soldaten unabhängig. Gute Gelegenheit mal den Funktionsplotter hier auszuprobieren und gleich nochmal, um die interessante Stelle genauer zui sehen ... so, das wars. Jetzt fehlt nur noch ne ordentliche analytische Lösung.
10.03.2005, 17:26	Sciencefreak	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Vereinfachung ist falsch. Versuch mal bei meiner Gleichung 1 einzusetzen und bei deiner Gleichung. Bei meiner kommt dann etwas in den Größenordnung von 1,001 raus und bei dir 0,001. Du hast bei dir vorne einfach das +1 weggelassen. Und bei deinen Ergebnissen ,üsste es dir sofort auffallen, denn -0,8 Tests pro Person sehen schon komisch aus. Edit:Es ändert sich zwar nichts bei dem Minimum, aber es ist eine andere Gleichung.
10.03.2005, 18:48	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist nichts mit analytisch lösen, man kann höchstens abschätzen, in welchem Bereich die Minimalstelle liegt! Die Probiervariante zum Finden des Minimums ist schon ganz Ok. Was man dann aber noch machen sollte, ist das ganze "ordentlich" abschließen: Sei $\begin{eqnarray} f(x)=1+\frac{1}{x}-0.999^x \end{eqnarray}$ unsere mittlere Anzahl, dann ist $\begin{eqnarray} f(32)\approx 0.06276 \end{eqnarray}$ . Da nun $\begin{eqnarray} f(x)>1-0.999^x\geq 1-0.999^{65}\approx 0.6296 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\geq 65 \end{eqnarray}$ gilt, ist es auch mathematisch "sauber", nur $\begin{eqnarray} x=1,2,\ldots,64 \end{eqnarray}$ zu probieren.
10.03.2005, 19:02	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
kann man da nicht nach einer nullstelle der ableitung suchen?
10.03.2005, 19:09	jovi	Auf diesen Beitrag antworten »
@sciencefreak: das war ja der Sinn der Vereinfachung: Das Minimum zu finden und deshalb (unnötige) konstante Ausdrücke wegzulassen.

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