Beweis von Aussagen bei Körpern

10.09.2007, 00:45

sundy

Beweis von Aussagen bei Körpern

Habe mal wieder versucht eine Aufgabe zu lösen:

Beweisen Sie die folgenden Aussagen in einem beliebigen Körper.

a) Es gilt -0=0
-0=0 umformen zu 0+0=0
Aus dem Axiom der Addition haben wir x+y=0 -> y=(-x)
Deshalb folgt aus der Gleichung oben 0=-0

b) Für y!=0 gilt ax/y = a(x/y)

ax/y = a(x+0)/y = a(x+(x(-x)))/y

=(ax + ax + a(-x))y^(-1)=(a + a +(-a))(xy^(-1))

= a(xy^(-1))=a(x/y)

Habe die Axiome der Reellen Zahlen genutzt, z.B. x+(-x)=0 und (-x)y=-xy= x(-y)

c) (x/y)/(w/z) = xy/yw

( xy^(-1))(w^(-1)(z^(-1))^(-1)) = xz/yw

Habe wieder eine Folgerung eines Axiomes genutzt: (x^(-1))^(-1) = x

10.09.2007, 02:37

WebFritzi

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RE: Beweis von Aussagen bei Körpern

Zitat:

Original von sundy
-0=0 umformen zu 0+0=0
Aus dem Axiom der Addition haben wir x+y=0 -> y=(-x)
Deshalb folgt aus der Gleichung oben 0=-0

Das sieht mir eher wie ein Zirkelschluss aus...

EDIT: Ich würde diesen Thread eher in der Algebra ansiedeln.

10.09.2007, 10:46

therisen

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Verschoben

Ich stimme WebFritzi zu. i) folgt direkt aus $\begin{eqnarray*} 0+0=0 \end{eqnarray*}$ . ii) und iii) sehen mir zu chaotisch aus, benutze doch bitte den Formeleditor.

Gruß, therisen

10.09.2007, 14:16

sundy

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RE: Beweis von Aussagen bei Körpern
Ok, danke. Habe aber die Formeln im Formeleditor nicht hinbekommen. Hab es eingegeben, es kommt aber nicht die Zeichen
heraus ( wie ihr sehen könnt). Schicke es trotzdem nochmal los.
Evtl. könnt Ihr sehen, wo mein Fehler liegt.

Hier meine Lösungen für b) und c):

b) Für $\begin{eqnarray*} y \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \frac{ax}{y}=a \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$

Habe folgendes:
$\begin{eqnarray*} \frac{ax}{y} = \frac{a(x+0)}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{a(x+(x+(-x)))}{y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (ax+ax+a(-x))y^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (a+a+(-a))(xy^{-1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a(xy^{-1}) = a\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

Habe Axiome der Addition benutzt, also
$\begin{eqnarray*} x+0=x x+(-x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-x)y=-xy \end{eqnarray*}$

LG

edit(Abakus): du brauchst die Formeln nur noch mit Latex-Klammern umgeben, dann erscheinen sie richtig: *latex* hier deine Formeln */latex* (statt der Sterne musst du eckige Klammern nehmen).

PS: wenn du dich anmeldest, kannst du deine Beiträge selbst editieren

PS 2: WebFritzi war schneller

10.09.2007, 14:56

WebFritzi

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RE: Beweis von Aussagen bei Körpern

Zitat:

Original von sundy
Evtl. könnt Ihr sehen, wo mein Fehler liegt.

\frac{ax}{y} = \frac{a(x+0)}{y}
= \frac{a(x+(x+(-x)))}{y}
= (ax+ax+a(-x))y^(-1)
= (a+a+(-a))(xy^(-1)
= a(xy^(-1) = a\frac{y}{x}

Dein Fehler liegt darin, dass du keine LaTeX-Klammern setzt. Augenzwinkern

Das geht so

code:
1:	[latex]hier der latex-code[/latex]

Und aussehen tut es dann so:

$\begin{eqnarray*} \frac{ax}{y} = \frac{a(x+0)}{y} = \frac{a(x+(x+(-x)))}{y} = (ax+ax+a(-x))y^{-1} = (a+a+(-a))(xy^{-1})= a(xy^{-1}) = a\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

Eine hochgestellte -1 kriegst du so hin: y^{-1}.

10.09.2007, 15:03

therisen

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Auch bei dieser Aufgabe wundere ich mich etwas. Es ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{ax}y:=(ax)y^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\frac xy:=a(xy^{-1}) \end{eqnarray*}$ , oder wie habt ihr das definiert? Das Assoziativgesetz gilt schließlich in jedem Körper.

Gruß, therisen

10.09.2007, 16:10

sundy

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Ja, bin inzwischen auch darauf gekommen. Hab mir das wohl viel
komplizierter vorgestellt.

Vielen Dank.

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