lineare abhängigkeit mit parameter

10.03.2005, 14:27

aRo

lineare abhängigkeit mit parameter

Hallo!

$\begin{eqnarray*} x\begin{pmatrix} a \\-3 \\ 5 \end{pmatrix} +y\begin{pmatrix} 1 \\ -a \\ 2 \end{pmatrix}+z\begin{pmatrix} -2 \\ -2 \\ 2a \end{pmatrix} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

bestimme a so, dass sie l.a. ergibt.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ -3 & -a & -2 \\ 5 & 2 & 2a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich subtrahiere die ersen beiden.
im nächsten schritt mutli. ich die 1. mit a und addiere sie zur dritten.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ a+3 & a+1 & 0 \\ a^2+5 & a+2 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so, nun ein wichtiger schritt: ich multipliziere die 2. mit $\begin{eqnarray*} a+2 \end{eqnarray*}$ und die dritte mit $\begin{eqnarray*} a+1 \end{eqnarray*}$ . Nun eine Frage: Schließt dass die Lösungen $\begin{eqnarray*} a=-1,-2 \end{eqnarray*}$ aus?!!

anschließend subtrahiere ich 2. und 3. gleichung.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ a^2+5a+6 & a^2+3a+2 & 0 \\ -a^3+1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

daraus folgt, wenn $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ , dann Vektoren l.a.

Wie fährt man nun fort?
Muss ich nun doch x gleich null setzen um eventuell noch andere Lösungen für a zu finden?

Erstmal bis hierhin!

Danke euch!
aRo

10.03.2005, 14:36

JochenX

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wenn du eine zeile mit (a+1) multiplizierst, dann musst du den fall a=-1 ausschließen!
den musst du dann extra betrachten am ende!

edit: ja, wenn das bis dahin stimmt...
l.a. für a=1, ansonsten a<>1 dann x=0, oben einsetzen und weiterguggen

10.03.2005, 20:03

aRo

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hmmm..

wenn $\begin{eqnarray*} a=-1,-2 \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen werden, ich aber dann im weiteren Verlauf a=-1 rausbekomme, darf ich das Ergebnis erst einmal nicht nehmen?

Am Ende extra untersuchen: Meinst du damit ich muss vor dem entsprechenden ausschließenden Schritt a die entsprechenden Werte geben und dann nocheinmal alles neu rechnen?

dieses x=0 setzen...hmm...wo denn?
In allen Gleichungen?
Und dann alle Gleichungen durchgucken, wo noch eine Lösung für a drin sein könnte?

edit:
Also ich habe nochmal obige Gleichung durchgerechnet.
ich bekomme bei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ raus $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ bekomme ich die beiden "strittigen" Lösungen $\begin{eqnarray*} a=-1,-2 \end{eqnarray*}$ . Habe das dann extra noch mal eingesetzt und gesehen, dass die Vektoren für die Werte nicht l.a. sind.

bei $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ erhalte ich $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ .

Ich glaube das sind auch alle Lösungen. Hatten wir auch so im Unterricht.
Aber ist mein Verfahren denn jetzt so korrekt und auch möglichst zeitsparend? Augenzwinkern

gruß,
aRo

10.03.2005, 22:04

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Zitat:

Original von aRo
und auch möglichst zeitsparend?

Sicher nicht:

$\begin{eqnarray*} \det\begin{pmatrix} a & 1 & -2 \\ -3 & -a & -2 \\ 5 & 2 & 2a \end{pmatrix} \stackrel{!}{=} 0 \end{eqnarray*}$

bezüglich a lösen geht m.E. schneller.

10.03.2005, 22:15

aRo

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determinanten kennen wir leider nicht, und können sie somit auch nicht benutzen

edit:
sagt mal, kann es sein, dass wenn ich durch einen parameter teile, oder mal einem para. nehme, dass dann alle Lösungen für die dieser Ausdruck null wäre keine mehr sind?

Bis jetzt wars immer so.

10.03.2005, 23:36

JochenX

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Zitat:

Am Ende extra untersuchen: Meinst du damit ich muss vor dem entsprechenden ausschließenden Schritt a die entsprechenden Werte geben und dann nocheinmal alles neu rechnen?

naja, eventuell ist es auch einfacher, direkt von anfang an statt a -1 in deine matrix einzusetzen und von anfang an umzuformen...

Zitat:

sagt mal, kann es sein, dass wenn ich durch einen parameter teile, oder mal einem para. nehme, dass dann alle Lösungen für die dieser Ausdruck null wäre keine mehr sind?

diese aussage verstehe ich jetzt nicht!?

12.03.2005, 13:46

aRo

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ist wurscht.
hat sich erledigt. die lösungen die ich dann erhalte müsste ich auf jeden fall nochmal extra überprüfen, wohl leider unglücklich

dachte dass sie viell immer keine sind, weils bis jetzt so war bei meinen aufgaben.

ich probier jetzt mal ein Verfahren zu beschreiben, k?

1. ich Löse nach einer Variable auf. Dabei schließe ich eventuelle Werte für Parameter aus, für die ich durch 0 teilen würde oder mit 0 multiplizieren würde.

2. Der Faktor vor der alleinstehenden Variable muss null werden. Ich bestimme den nötigen Parameter.
Sollte dieser "nötige Parameter" ausgerechnet eine Lösung sein, die ich vorher ausgeschlossen habe, ist es erst einmal keine Lösung (muss überprüft werden).

3. Nun darf ich die betreffende Variable (die ich nun schon "ausgerechnet" habe) überall null setzen. Erhalte ich dadurch wieder eine alleinstehende Variable, bestimme ich wieder so den Faktor wie vorher.
Erhalte ich hier wieder einen Wert der ausgeschlossen wurde, so gilt dasselbe wie oben, es sei denn, dass die Gleichung vor der "ausschließenden" Multiplikation steht.

4. Ich setze die 2.Variable analog null und gucke so wie oben.

Stimmt das so? Bitte genau lesen und bei Fragen fragen!
Vor allem diesr Teil hier:
Erhalte ich hier wieder einen Wert der ausgeschlossen wurde, so gilt dasselbe wie oben, es sei denn, dass die Gleichung für der "ausschließenden" Multiplikation steht.

danke!
aRo

achja, habe gerade eine Beispielaufgabe aus LS Leistungkurs Seite 53 nr 4 i) gerechnet.
lautet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ a \\ 3 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3a \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

meine Ergebnis für l.a. $\begin{eqnarray*} a=0,-0.5 \end{eqnarray*}$

12.03.2005, 13:55

JochenX

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Zitat:

Erhalte ich hier wieder einen Wert der ausgeschlossen wurde, so gilt dasselbe wie oben, es sei denn, dass die Gleichung für der "ausschließenden" Multiplikation steht.

was soll das mit der gleichung bedeuten?!

und beachte noch was.....
wenn du dann (f(a))*x=b bekommst in einer zeile, so ist das nur für f(a)=0 unlösbar, wenn gleichzeitig b<>0 ist!!
ist b=0, so kannst du hier nichts draus gewinnen....

12.03.2005, 14:11

aRo

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die Gleichung vor der "ausschließenden" Multiplikation steht.

sorry, verschrieben. so klarer?

Zitat:

wenn du dann (f(a))*x=b bekommst in einer zeile, so ist das nur für f(a)=0 unlösbar, wenn gleichzeitig b<>0 ist!!

kannst du das mal an einem Beispiel machen?
Versteh da irgendwie den Zusammenhang nicht.

12.03.2005, 14:35

JochenX

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ja, hatte jetzt vergessen, dass du ja ein homogenes LGS löst, sorry.
trotzdem noch mal das, was ich meinte.... (für allgemeine LGS wichtig)

gesucht: für welche parameter ist ein lgs mehrfach lösbar (unlösbar)....
bla bla umformen, wie gehabt, gauss etc...

ergibt (die blubbs stehen für irgendwelche zahlen wegen mir auch mit parameter)

blubb x + blubb y + blubb z = blubb
blubb x + blubb y + blubb z = blubb

und die entscheidennde letzte zeile:
f(a)*x + 0y +0 z = "irgendwas"

dass das dann unendlich oft lösbar ist, wenn f(a)=0 ist, ist nur dann der fall, wenn "irgendwas" selbst 0 ist... (das hast du natürlich hier immer gegeben)
es ist dann unlösbar, wenn f(a)=0 und "irgendwas" selbst <> 0.

klar was ich meinte?

12.03.2005, 14:40

aRo

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jo, das habe ich kapiert smile

12.03.2005, 14:47

JochenX

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und noch mal zu deinem werte ausschließproblem:

du bringst das mit gaussalgorithmus also auf so eine blubb-blubb-f(a)-form....
wenn du irgendwann mal durch 0 teilen oder *0 nehmen könntest, sagst du in dem moment a<>...... und prüfst das später explizit noch mal durch einsetzen des entsprechende a-wertes nach.

so einfach, mehr ist da eigentlich nicht zu beachten in der hinsicht.....

und wenn du dann z.b. als letzte 2 zeilen sowas behältst:
blubb*x+g(a)*y=0
f(a)*x =0

dann hast du: f(a)=0 (mehrere lösungen) oder falls f(a)<>0, dann muss x=0 sein, das eine zeile weiter oben einsetzen und du erhältst noch g(a)=0 für unendlich viele lösungen.....
der teil auch klar?

schwieriger wird das, wenn dein LGS nicht genauso vile unbekannten wie gleichungen hat....
so sind z.b. 4 vektoren im IR³ imemr linear abhängig, das homogene LGS mit 3 gleichungen und 4 unbekannten immer mehrdeutig lösbar!

wenn jetzt noch konkrete fragen sind: stellen!

13.03.2005, 16:37

aRo

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jo, ich denke es ist jetzt klar.

Wobei:

Zitat:

dann hast du: f(a)=0 (mehrere lösungen) oder falls f(a)<>0, dann muss x=0 sein, das eine zeile weiter oben einsetzen und du erhältst noch g(a)=0 für unendlich viele lösungen.....

es reicht ja nicht unbedingt die betreffenden Variablen nur eine Zeile vorher 0 zu setzen.
Sondern ich sollte sie überall null setzen um alle Lösungen zu bestimmen, stimmts?

Und noch eine Frage:

Wie zwinge ich ein LGS dazu unendlich viele Lösungen zu haben?
Also was muss ich dann mit dem Parameter anstellen?
Ich muss es doch irgendwie schaffen, dass bei einer Gleichung 0=0 rauskommt und ich somit eine Variable zum Parameter machen kann, ne?

ALso zB ein Fall:
Wenn ich erzwingen will, dass eine Gerade in einer Ebene liegt.

gruß,
aRo

13.03.2005, 22:45

JochenX

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ja natürlich, wenn du x=0 bekommst, dann setzt du das in alle gleichungen ein...

vorsicht: meistens gilt, dass ein lgs mit n gleichungen und n unbekannten eindeutig lösbar ist.
für sowas 1=0 isses unlösbar, falls du mit 0=0 die bedingungen (gleichungen) reduzieren kannst, bekommst du nur dann unednlich viele lösungen, wenn es lösbar ist! 0=0 und 1=0 führt weiterhin zu unlösbarkeit!

anders ist das für unterschiedliche gleichungen/variablenzahl.....
im IR² liegt z.b eine gerade automatisch in einer ebene....

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