abstand der mittelpunkte von umkreis und inkreis im dreieck

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Alexandra87 Auf diesen Beitrag antworten »
abstand der mittelpunkte von umkreis und inkreis im dreieck
Hallo,

kann mir jemand beim lösen dieser aufgabe helfen?

Es ist ein gleichschenkliges Dreieck gegeben. Sein Umkreis habe den Radius R, sein Inkreis den Radius r. Zeige, dass der Abstand d der Mittelpunkte beider Kreise erfüllt.

(IMO 1962)

Wie kann ich bei diesem Beweis ansetzen?
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Ich geb mal paar Links:
Hydra
Kalva
MathLinks.ro
Alexandra87 Auf diesen Beitrag antworten »

der 2. link könnte mir evtl weiterhelfen.

ich versuch mal, das ganze zu verstehen und dann (auf deutsch ;-) zu formulieren.

danke!!
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Je nach deinem Wissensstand kannst du auch erstmal die math4u.de-Seite durchstöbern und dich ein bisschen einlesen. Da finden sich die meisten wichtigen Formeln und so mancher hilfreicher Lösungsansatz bei dieser Art Aufgaben.
Alexandra87 Auf diesen Beitrag antworten »

darauf zielte wohl auch dieser link hin: hydra

das sollte / muss wohl ein ein beweis sein, nur leider verstehe ich diesen nicht.
allerdings habe ich selbst verschiedenste ansätze ausprobiert (mit sin/cos, über die Höhe, und andere formeln, die man evtl. hätte einsetzen und umformen können), die leider zu keinem ergebnis geführt haben.

vielleicht kann mir jemand den beweis aus dem oben genannten link erklären?!
Lazarus Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du daran erklärt haben ? Die verwendeten Sätze [stehen ja dabei], wieso manche Umformungen gelten oder "wie man denn darauf kommt" ?
 
 
Alexandra87 Auf diesen Beitrag antworten »

zunächst habe ich das problem, dass laut aufgabenstellung das dreieck ja gleichseitig sein soll.
somit liegen der umkreismittelpunkt und der inkreismitelpunkt jeweils auf der höhe der hypotenuse.

in der skizze handelt es sich aber um ein beliebiges dreieck.
gilt der satz denn für alle dreiecke (und damit gleichseitige eingeschlossen)?

ich versuche den beweis mal nachzuvollziehen:

es scheitert aber schon an der ersten umformung
warum ist das so??

der nächste schritt ist dann klar.

das schraffierte dreieck scheint gleichseitig zu sein, folglich ist und somit auch

der nächste schritt zu ist dann wieder unklar.
hat das was mit der ähnlichkeit von dreiecken zu tun? wenn ja, müssten die dreiecke AFM und CIY ähnlich sein. ist das so? warum?

ist klar (sin=gegenkathete/hypotenuse)

der bruch mit sin kürzt sich dann, soweit auch einleuchtend

warum ist dann ?
, das ist klar, aber ?? warum ist das so?

- unter der voraussetzung die schritte stimmen alle und ich verstehe sie dann auch irgendwann mal - wäre der beweis dann soweit in ordnung, nur die frage mit dem gleichseitigen dreieck bleibt noch offen.

über eine erklärung der einzelnen umformungen, die ich noch nicht verstanden habe, wäre ich dankbar.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alexandra87
es scheitert aber schon an der ersten umformung
warum ist das so??


KI*IL = (R+d)*(R-d)

Augenzwinkern
Alexandra87 Auf diesen Beitrag antworten »

danke, ist ja logisch Augenzwinkern

hätte man draufkommen können.

den schluss des beweises habe ich aber immer noch nicht verstanden.
und was ist mit der gültihkeit für gleichseitige bzw. allgemeine dreiecke?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

(ich habe mir die diversen links noch nicht angeschaut),
aber bevor dich die verzweiflung übermannt/überfraut verwirrt

ein pythagoräischer und strahlender weg für das spitzwinkelige gleichschenkelige dreieck:











aus (4) und (5) mit (3)



(2) und (6) gleich- und für d aus (1) einsetzen führt auf



nun erst h mit (1) durch d ersetzen ergibt

Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alexandra87
den schluss des beweises habe ich aber immer noch nicht verstanden.
und was ist mit der gültihkeit für gleichseitige bzw. allgemeine dreiecke?




Na, das geht hier im GLEICHEN Modus so weiter Augenzwinkern

Zitat:
Original von Alexandra87
der nächste schritt zu ist dann wieder unklar.




Und hier
Zitat:
Original von Alexandra87
warum ist dann ?
, das ist klar, aber ?? warum ist das so?


ist FM = 2*R und
IY = r weil I Inkreismittelpunkt ist und IY das Lot auf eine Dreiecksseite Augenzwinkern
Alexandra87 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die erklärung und die zeichnung.
so eine hatte ich mir auch aufskizziert.
dieser beweis sieht ja schon mal viel übersichtlicher aus und scheint auch für jemanden, der mit geometrie recht wenig anfangen kann verständlich zu sein.

1-5 ist soweit klar.
jetzt weiß ich nur nicht, was dann gemacht wurde, um zu (6) zu kommen?!
die umformungen zu 7 und 8 habe ich versucht, selbst nachzuvollziehen, was mir aber bei beiden nur ein stück weit gelungen ist.
wäre es möglich, das mit ein paar zwischenschritten kenntlich zu machen?

aber ansonsten (ich hab mal die termumformungen als richtig angesehen, was sie ja bestimmt auch sind) habe diesen beweis nun endlich verstanden!! danke!!! Wink
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Alexandra87
danke für die erklärung und die zeichnung.
so eine hatte ich mir auch aufskizziert.
dieser beweis sieht ja schon mal viel übersichtlicher aus und scheint auch für jemanden, der mit geometrie recht wenig anfangen kann verständlich zu sein.

1-5 ist soweit klar.
jetzt weiß ich nur nicht, was dann gemacht wurde, um zu (6) zu kommen?!
die umformungen zu 7 und 8 habe ich versucht, selbst nachzuvollziehen, was mir aber bei beiden nur ein stück weit gelungen ist.
wäre es möglich, das mit ein paar zwischenschritten kenntlich zu machen?

aber ansonsten (ich hab mal die termumformungen als richtig angesehen, was sie ja bestimmt auch sind) habe diesen beweis nun endlich verstanden!! danke!!! Wink


verwirrt

steht eh oben.
aus (4) und (5) x eliminieren



damit hast du mit a aus (3)



nun setzt du "(I) = (2)", das ist ja jeweils und bekommst daraus (7).
das überlasse ich dir. unglücklich

und nun setzt du in (7) für h aus (1) ein und multiplizierst den ganzen krempel aus.
auch das darfst du selber machen. unglücklich
ich will dir doch die freude am richtigen ergebnis nicht verderben.

alles klar verwirrt
Alexandra87 Auf diesen Beitrag antworten »

ich versuche mal den beweis mit allen rechenschritten ausführlich nachzuvollziehen.

zu zeigen:


es gilt:





















wie muss ich jetzt weiter umformen, um auf zu kommen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

liebe alexandra,
ich bin ja ein ahnungslooser unglücklich
aber hat IMO nicht irgendetwas mit mathematik-olympiade zu tun verwirrt
dann solltest du wirklich mit solch elementaren umformungen keine probleme haben.
bitte übe das, bevor du dir weiter an solchen aufgaben die zähne stumpf knabberst oder sogar ausbeißt Big Laugh

aber da wir nun schon angefangen haben, so geht es weiter:



(also beide seiten durch h dividieren und mit (R+d)² multiplizieren unglücklich )

und für einsetzen und quadrieren



das ergibt ausmultipliziert



das glied fällt weg, den rest kannst du durch dividieren.

jetzt faßt du noch nach potenzen von h zusammen:



jetzt einsetzen



das mußt du aber jetzt wirklich selber machen unglücklich
Alexandra87 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe
liebe alexandra,
ich bin ja ein ahnungslooser unglücklich
aber hat IMO nicht irgendetwas mit mathematik-olympiade zu tun verwirrt


das stimmt schon. ich muss die aufgaben aber für den vorbereitungskurs zum mathestudium machen.
daher bin ich seit ca. 2 wochen ständig am rechnen verschiedenster aufgaben.
das ist mengenmäßig sehr viel und vom schwierigkeitsgrad her auch von leicht/mittel bis sehr schwer.
der vorbereitungskurs läuft eigentlich an der uni, wobei die teilnehmer hilfestellungen bekommen.
da ich aber erst 3 tage vor beginn dieses kurses erfahren habe und so kurzfristig keine wohnung bekommen habe, muss ich die aufgaben jetzt allein daheim machen.
ich denke und hoffe, dass es da verständlich ist, bei manchen aufgaben winfach mal nicht weiter zu wissen. da können auch die einfachsten termumformungen manchmal zu viel sein.
es tut mir leid, wenn es so erscheint, als hätte ich nur sehr wenig ahnung, aber das sollte eigentlich wirklich nicht der fall sein.

Zitat:
Original von riwe
dann solltest du wirklich mit solch elementaren umformungen keine probleme haben.
bitte übe das, bevor du dir weiter an solchen aufgaben die zähne stumpf knabberst oder sogar ausbeißt Big Laugh

aber da wir nun schon angefangen haben, so geht es weiter:



(also beide seiten durch h dividieren und mit (R+d)² multiplizieren unglücklich )

und für einsetzen und quadrieren


das war mein problem, ich habe nicht gemerkt, dass ich durch ersetzen kann! Finger1


Zitat:
Original von riwe


das ergibt ausmultipliziert



das glied fällt weg, den rest kannst du durch dividieren.

jetzt faßt du noch nach potenzen von h zusammen:



jetzt einsetzen



das mußt du aber jetzt wirklich selber machen unglücklich


das habe ich schon, danke! die umformung von (7) auf das ergebnis war mir dann wieder klar. das sind ja auch nur einfach termumformungen gewesen. es lag wirklich nur daran, dass ich oben einsetzen konnte.Hammer und ohne das kommt man ja wirklich nicht auf ein sinnvolles ergebnis.


vielen lieben dank, werner, für deine große hilfe, deine ausdauer und geduld mit mir! Wink
dank dir habe ich den beweis nun endgültig verstanden und kann an die weiteren (mind. 20) aufgaben für dieses wochenende gehen.

liebe grüße
alexandra
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

dann noch viel spaß Freude

und der ordnung halber:
du bist noch nicht ganz fertig,
du mußt das auch noch für das stumpfwinkelige gleichschenkelige dreieck
in analoger weise zeigen.
eine schöne übung für DICH unglücklich
Alexandra87 Auf diesen Beitrag antworten »

hab es für stumpfwinklige gleichschenklige dreiecke auch noch gezeigt.
es ändert sich ja eigentlich nur, dass aus (R+d) nun (R-d) wird.

vielen dank nochmals! Wink
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