Beweis Sigma-Algebra

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13.09.2007, 23:05	mathcat	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Sigma-Algebra Hallo liebe Mathefreunde, Ich stehe mal wieder vor einem kleinen Problem ... wie fast immer eine Beweisaufgabe. Könnte mir jemand bei folgender Aufgabe irgendwie weiterhelfen?!? Wäre echt für jeden Tip und Ratschlag sehr dankbar. _________________________________________________________ Seien omega eine Menge und A, Teilmenge aus der Potenzmenge von omega, eine Sigma-Algebra. Man zeige: a) Leere Menge $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A b) B, C $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \{ B \cup \end{eqnarray}$ C, B $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ C, B $\begin{eqnarray} \setminus \end{eqnarray}$ C, B $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ C} c) ( $\begin{eqnarray} \forall \end{eqnarray}$ n $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ : A(n) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A) $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Durchschnitt aller A(n) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ A _________________________________________________________ Hab mir folgendes dazu gedacht: a) Da A eine Sigma-Algebra folgt dass omega Element von A ist und somit auch dass Leere Menge Element aus A ist. (reicht das als Beweis???) c) Kann man hier mit disjunkt und nicht disjunkt argumentieren? Hab gedacht wenn A(n) disjunkt ist, dann ist der Durchschnitt die Leere Menge die ja in A enthalten ist und wenn sie nicht disjunkt sind, dann siehe Teilaufgabe b) Könnte das so in etwa hinkommen??? Vielen Dank schon mal im Voraus. Lg mathcat p.s.: Sorry, mit der Latex Schreibweise habe ich noch so meine Schwierigkeiten.
13.09.2007, 23:22	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, a) folgt aus der Abgeschlossenheit bezüglich Komplementbildung: $\begin{eqnarray} \varnothing=\Omega^{\mathrm c}\in A \end{eqnarray}$ Was meinst du mit b)? Das kann ich nicht entziffern. c) folgt induktiv aus der Regel von de Morgan. Schaffst du es mit dem Hinweis? Gruß, therisen
13.09.2007, 23:35	mathcat	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, Therisen. Hab meinen Beitrag zu b) nochmal überarbeitet. Kannst du mir vielleicht noch hier ein bisschen helfen. a) hatte ich ja auch so c) ich denke dass ich das mit DeMorgan hinkriege Danke, Lg Mathcat
13.09.2007, 23:48	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Sigma-Algebra Bis jetzt hast du nur b) $\begin{eqnarray} B, C \in A \Rightarrow \{ B \cup C, B \cap C, B \setminus C, B \Delta C\} \end{eqnarray}$ geschrieben. Was soll denn mit der rechten Menge sein? EDIT: Wenn du auf "Zitieren" klickst, siehst du meinen Latex-Code.
14.09.2007, 18:28	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Sigma-Algebra Er/sie meint in (b) mit Sicherheit $\begin{eqnarray} B, C \in A \Rightarrow B \cup C, B \cap C, B \setminus C, B \Delta C\in A. \end{eqnarray}$
16.09.2007, 17:16	mathcat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganau, WebFritzi, das habe ich gemeint Vielen Dank!! Kann mir jemand bei dem Beweis noch irgendwie helfen? ich habe no idea!! Lg mathcat
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16.09.2007, 17:24	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir die Definition einer Sigma-Algebra an. Die Tatsache, dass $\begin{eqnarray} B\cup C \end{eqnarray}$ wieder in A liegt, folgt z.B. direkt aus der Sigma-Additivität. Für den Durchschnitt beachte $\begin{eqnarray} B\cap C = \left(B^c \cup C^c\right)^c. \end{eqnarray}$
16.09.2007, 17:40	mathcat	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, das mit der Vereinigung ist eine der Eigenschaften der Sigma-Algebra: Die Vereinigung über vielen A(n) liegt wieder in A. Aber wie zeige ich das für die anderen??? Was kann ich mit der Formel der sigma-Additivität anfangen? Das ist doch dann nur der Durchschnitt über B-komplementär und C-komplementär? Sorry, ich glaub ich bin nicht so fit ....
16.09.2007, 17:59	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch mal bitte, dich klarer auszudrücken. Ich verstehe einiges in deinem letzten Post nicht.

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