Betragsfunktion

14.09.2007, 15:24

Rudi

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Betragsfunktion

Hi Leute ,

undzwar geht es darum die Betragsfunktion aufzulösen , sodass man eben auflöst nach verschiedenen Fällen. (Fallunterscheidung)

Die ersten paar Aufgaben waren recht simpel , diese hier ist aber recht anspruchsvoll mit einigen Fallunterscheidungen.

Würde vielleicht einfach mal nur von jemandem gerne wissen , wieviele Unterscheidung er raus hat , damit ich das mal abgleichen kann also nicht welche, sondern nur wieviele verschiedene und dann poste ich mal meine und mal schaun ob das so stimmt.

Die Gleichung lautet folgendermaßen: $\begin{eqnarray*} y=|2-|x|| \end{eqnarray*}$

mfg

14.09.2007, 15:26

Dual Space

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RE: Betragsfunktion
Dafür brauchst du vier Fallunterscheidungen.

14.09.2007, 15:36

Rudi

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4 , oh ich hatte schon 5 !

Hmmm... ich sag dir erstmal welche ich habe also für welche x-Werte oder ne , es gibt ja hier zwei Problemstellen einmal x=0 und einmal x=2 sehe ich das richtig ?

ich würde dann so vorgehen und eine Fallunterscheidung machen für :

$\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<x<2 \end{eqnarray*}$
dürfte ja dann scheinbar falsch sein ... hast du ein Tip ?

mfg

14.09.2007, 15:41

Dual Space

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Eine Möglichkeit wäre:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$

1.1. Fall: $\begin{eqnarray*} x<2 \end{eqnarray*}$

1.2. Fall: $\begin{eqnarray*} x\geq 2 \end{eqnarray*}$

2.Fal: $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$

2.1. Fall $\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$

2.2.Fall $\begin{eqnarray*} x\geq -2 \end{eqnarray*}$

Sind doch mehr als vier. Sorry! Forum Kloppe

Forum Kloppe

l

14.09.2007, 15:45

Rudi

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also sind es 6 Fallunterscheidungen richtig ?
Zu jeder muss ich jetzt passend die Betragsfunktion auflösen ... also wenn diese Unterscheidungen stimmen , müsste es ja eigentlich ganz einfach sein.

Ich setz mich mal so in ca. 10Minuten da dran !!

mfg

14.09.2007, 15:46

Tobias

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Du musst die Fälle aber noch vereinigen.

Der 1. Fall geht in den 1.1 Fall ein:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq x < 2 \end{eqnarray*}$

Ebenso geht der 2. Fall in den 2.2. Fall ein:

$\begin{eqnarray*} -2 \leq x < 0 \end{eqnarray*}$

Dann nich die zwei anderen Fälle:

$\begin{eqnarray*} x \geq 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x <-2 \end{eqnarray*}$

Dann bist du wieder bei 4 Fällen.
Am besten arbeitet man sich immer von innen nach außen vor.

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14.09.2007, 15:53

Rudi

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ok danke für den Tip ! aber die 6 Fälle von oben wäre dann korrekt ja ?

mfg

14.09.2007, 16:02

Tobias

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Man darf und kann die sechs Fälle nicht getrennt betrachten.

Du musst z.B. Fall 1 mit Fall 1.1 und mit Fall 1.2 schneiden:

$\begin{eqnarray*} x \geq 0 \text{ UND } x < 2 \quad \Rightarrow \quad 0 \leq x < 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \geq 0 \text{ UND } x \geq 2 \quad \Rightarrow \quad x \geq 2 \end{eqnarray*}$

Analog gehtst du mit 2 und 2.1, 2.2 vor.

Deshalb kann es keine 6 Fälle geben sondern nur 4.

14.09.2007, 16:16

Rudi

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ok !

dann hätte ich diese 4 Fälle :
1. $\begin{eqnarray*} 0\leq x < 2 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} x\geq 2 \end{eqnarray*}$
3. $\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$
4. $\begin{eqnarray*} 0>x\geq -2 \end{eqnarray*}$

mfg

14.09.2007, 16:19

Tobias

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x muss kleiner als 0 UND kleiner als -2 sein. Das lässt sich doch einfacher ausdrücken.

14.09.2007, 16:21

Rudi

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Bin eben schonmal bei der Berechnung !

1. Falls $\begin{eqnarray*} 0\leq x < 2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2-x \end{eqnarray*}$
2. Falls $\begin{eqnarray*} x\geq 2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x-2 \end{eqnarray*}$
3. Falls $\begin{eqnarray*} x<-2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow -2-x \end{eqnarray*}$
4. Falls $\begin{eqnarray*} 0>x\geq -2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2+x \end{eqnarray*}$

so , das müssten dann alle sein !
sind hoffentlich alle richtig oder ?

14.09.2007, 16:26

Tobias

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Ja stimmt.

14.09.2007, 16:30

Duedi

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Dieser Fehler lässt sich vermeiden, wenn man immer schön von außen her die Betragsstriche eliminiert:
1.: |2-|x|| ->
1.1.: 2-|x| wenn 2-|x| >= 0 (entspricht |x| <= 2)
1.2.: -2+|x| wenn 2-|x| < 0 (entspricht |x| > 2)

1.1.: 2-|x| ->
1.1.1.: 2-x wenn x <= 2 UND x >= 0 <-----
1.1.2.: 2+x wenn x <= 2 UND x < 0 <-----

1.2.: -2+|x|
1.2.1.: -2+x wenn |x| > 2 UND x >= 0 <-----
1.2.2.: -2-x wenn |x| > 2 UND x < 0 <-----

14.09.2007, 16:34

Rudi

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Duedi, danke für deine erklärung , aber ich muss mir das eben mal nochmal anschaun , blicke da nicht so richtig durch !

aber danke euch !

achja ich hätte hier noch etwas , was ich einfach nur verstehen sollte. Vielleicht kann mir das eben mal einer etwas verständlicher erklären und zwar:

Funktionschar: Für jedes t Element R ist eine FUnktion $\begin{eqnarray*} f_{t} \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = tx-t^{2} \end{eqnarray*}$

Aufgabe :Ermitteln Sie den Schnittpunkt N des Graphen von $\begin{eqnarray*} f_{t} \end{eqnarray*}$
mit der x-Achse.

Lösung: Schnittpunkt mit der x-Achse: $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , liefert für $\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{1} = t \end{eqnarray*}$ , also ist N(t|0).
Für $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_{0}(x)=0 \end{eqnarray*}$ d.h. der Graph von $\begin{eqnarray*} f_{0} \end{eqnarray*}$ stimmt mit der x-Achse überrein.

mfg

14.09.2007, 21:06

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

An welcher Stelle hast du denn Probleme?

14.09.2007, 21:46

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Tobias
Deshalb kann es keine 6 Fälle geben sondern nur 4.

Welche zwei meiner genannten Fälle sind denn widersprüchlich? verwirrt

verwirrt

14.09.2007, 21:57

Tobias

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht widersprüchlich aber unvollständig.

Gegenfrage: Wo sind die 6 verschiedenen Fälle?

14.09.2007, 22:09

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

@Dual: Schau mal genau hin. Du hast da nur 4 Fälle stehen.

14.09.2007, 22:27

Dual Space

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Grml ... war mein erstes Bauchgefühl doch richtig ... Forum Kloppe

Forum Kloppe

Das hat man davon, wenn man alles aufschreiben will. böse

böse

Danke euch beiden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.09.2007, 23:07

Rudi

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jop , habs ausgerechenet und die Lösung stehen ja dort und habe dazu noch den Grapen gezeichnet ..

zu dem Text also , kann mir den vielleicht nochmal einer erklären aber irgendwie simpler oder ist der schon recht simpel gehalten ?

mfg

15.09.2007, 17:04

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
An welcher Stelle hast du denn Probleme?

Verstehst du die Aufgabe nicht, die Lösung nicht, oder beides nicht? Was genau verstehst du nicht?

15.09.2007, 17:45

Rudi

Auf diesen Beitrag antworten »

Also:
Funktionschar: Für jedes t Element R ist eine FUnktion $\begin{eqnarray*} f_{t} \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = tx-t^{2} \end{eqnarray*}$

-> so das ist klar , wir haben die Funktionschar und das t für das eben alle Reelen Zahlen eingesetz werden können.

Aufgabe :Ermitteln Sie den Schnittpunkt N des Graphen von
$\begin{eqnarray*} f_{t} \end{eqnarray*}$
mit der x-Achse.

->So die Aufgabe lautet ja , man soll den Schnittpunkt des Grapen mit der x-Achse ermitteln und der Graph jat ja die Funktion $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = tx-t^{2} \end{eqnarray*}$ so.

Lösung: Schnittpunkt mit der x-Achse: $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , liefert für $\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{1} = t \end{eqnarray*}$ , also ist N(t|0).
Für $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_{0}(x)=0 \end{eqnarray*}$ d.h. der Graph von $\begin{eqnarray*} f_{0} \end{eqnarray*}$ stimmt mit der x-Achse überrein.

Also ich verstehe den Lösungsansatz nicht was die sich dabei gedacht haben.

Sie setzen ja die Funktionsgleichung auf =0 wieso machen die das ?

15.09.2007, 18:12

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tonno
Also ich verstehe den Lösungsansatz nicht was die sich dabei gedacht haben.

Sie setzen ja die Funktionsgleichung auf =0 wieso machen die das ?

Na, das ist doch mal eine konkrete Frage. Sehr schön. smile

smile

Gesucht ist also ein Punkt, der einerseits auf dem Graphen und andererseits auf der x-Achse liegt. Ein Punkt, der auf der x-Achse liegt, hat die Koordinaten (x,0). Ein Punkt, der auf dem Graphen liegt, hat die Koordinaten (x,f(x)). Da der gesuchte Punkt beides erfüllen muss, muss f(x) = 0 gelten.

15.09.2007, 18:44

Rudi

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Also supi , das habe ich jetzt verstanden und eben nochmal durch eine Skizze des Graphen selber erklärt gut ! smile

smile

Und was ist jetzt mit dem letzten Teil :

$\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = 0 \end{eqnarray*}$ , liefert für $\begin{eqnarray*} t \neq 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_{1} = t \end{eqnarray*}$ , also ist N(t|0).
Für $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f_{0}(x)=0 \end{eqnarray*}$ d.h. der Graph von $\begin{eqnarray*} f_{0} \end{eqnarray*}$ stimmt mit der x-Achse überrein.

1.Wieso wird hier t ungleich 0 gesetzt und dann x1 = t
2. t soll ungleich 0 sein setzen es aber dann t=0 ? das verstehe ich nicht
3. $\begin{eqnarray*} f_{0}(x)=0 \end{eqnarray*}$ gut hier setzen sie einfach für t = 0 ein dann kommt das raus das ist logisch
4. $\begin{eqnarray*} f_{0}(x)=0 \end{eqnarray*}$ d.h. der Graph von $\begin{eqnarray*} f_{0} \end{eqnarray*}$ stimmt mit der x-Achse überrein

---> ok das ist auch Logisch , man kann ja für x-Alle werte einsetzen die man mag aber da t=0 ist und man $\begin{eqnarray*} f_{t}(x) = tx-t^{2} \end{eqnarray*}$ t hier einsetzt kommt natürlich immer 0 raus und er verläuft auf der X-Achse logisch !!

Aber wie kommen sie auf die ersten beiden Schritte ?

mfg Wink

Wink

hier kann man ja für x alles einsetzen

16.09.2007, 10:00

Airblader

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t ungleich 0 wird vorausgesetzt, denn $\begin{eqnarray*} f_0(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ist ein Sonderfall, da hier x-Achse und Funktion genau gleich sind.
Nun bestimmt man also mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} f_t(x_0) \stackrel{!} = 0 ~\text{,} t \neq 0 \end{eqnarray*}$ die Nullstellen.

Da lautAufgabe nun aber t € |R ist - d.h. die 0 wird nicht ausgenommen! - muss man den Fall t=0, den man vorhin nicht behandelt hat, noch nacharbeiten.
Und das ist einfach: Für diesen Fall ist die Funktion eben gleich der x-Achse und damit liegen alle Punkte auf der x-Achse.

air

16.09.2007, 11:19

Rudi

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^^ verstehe ich das jetzt richtig , der SChnittpunkt mit der x-Achse ist eben die x-Achse also liegt darauf , es gibt in diesem Sinne kein richtigen Schnittpunkt ? verwirrt

verwirrt

mfg

16.09.2007, 11:32

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du den Schnittpunkt in erster Linie anschaulich definierst, dann hat es keine Schnittpunkte.

Siehst du den Schnittpunkt aber als Lösung aller x, die man beim Gleichsetzen der Funktionen erhält, so gibt es unendlich viele Schnittpunkte (jedes x löst die Gleichung).

Also "unendlich viele Schnittpunkte" wäre die Antwort. Aber bei identischen Funktionen redet man normalerweise nicht von Schnittpunkten. Also genügt es, hinzuschreiben, dass die Funktion dann mit der x-Achse identisch ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

16.09.2007, 11:37

Rudi

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sorry , aber kannst du mir nochmal diesen Sonderfall näher erläutern den mit der x-Achse und Funktion genau gleich und das mit der Nulstelle bestimmen ich habe noch nicht so genau verstanden wieso das genau so gemacht wird Gott

Gott

mfg

16.09.2007, 15:12

WebFritzi

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Es ist $\begin{eqnarray*} f_t(x) = t(x-t). \end{eqnarray*}$ Wann ist ein Produkt (hier sind das die Faktoren t und (x-t)) gleich Null?

16.09.2007, 21:00

Rudi

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ja wenn das t = 0 ist , dann ist hier das Produkt 0.

außerdem kann man ja auch hier dran :

$\begin{eqnarray*} f_t(x) = t(x-t). \end{eqnarray*}$
die Nullstelle bestimmen oder ? (das t in der klammer bestimmt die x-Achsen Koordinate und das t vor der Klammer die Y-Koordinate)

mfg

16.09.2007, 23:20

WebFritzi

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Zitat:

Original von tonno
ja wenn das t = 0 ist , dann ist hier das Produkt 0.

Aber das ist eben nur die halbe Wahrheit. Ein Produkt a * b ist genau dann Null, wenn entweder a = 0 oder b = 0 gilt.

16.09.2007, 23:32

mYthos

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Bitte NICHT 2 verschiedene Themen in EINEM Thread!
@tonno

Du solltest NICHT 2 verschiedene Themen in einem Thread, die noch dazu aus differenten Gebieten stammen (Algebra, Analysis) behandeln. Leider haben die Moderatoren bzw. ich das zu spät gesehen, sodass das Trennen zum jetzigen Zeitpunkt zu mühsam sein würde.

Also dies bitte beim nächsten Mal unbedingt beachten und getrennte Probleme auch in getrennten Themen veröffentlichen.!!

mY+

17.09.2007, 16:43

Rudi

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ok wird gemacht !

mfg

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