Extremwertaufgabe Fußballfeld

15.09.2007, 14:23

joeehhii

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Extremwertaufgabe Fußballfeld

Ein Sportstadion mit einer Laufbahn der Gesamtläge 400m soll so angelegt werden, dass die Fläche A des eingeschlossenen Rechtecks als Fußballfeld möglichst groß wird.
Welche Maße hat dieses?

Ich habe somit einen Kreis und 2 Seiten des Rechtecks, welche den Umfang angeben.
$\begin{eqnarray*} 400 = 2x + \pi d \end{eqnarray*}$
Dies lässt sich aber noch vereinfachen, da d = y ist.
Also $\begin{eqnarray*} 400 = 2x + \pi y \end{eqnarray*}$

Die Extremalbedingung ist : $\begin{eqnarray*} A(x,y) = x \cdot y \end{eqnarray*}$

Ist es so weit richtig?

15.09.2007, 14:28

Poff

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RE: Die Sportplatzaufgabe
Das kannst vergessen.

Die Lösung ist kein Stadium im üblichen Sinne. Was wird wohl rauskommen?

Edit
Ich sehe gerade "Halbkreisbahnen", dafür kannst es rechnen

15.09.2007, 14:29

joeehhii

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Was meinst du damit? verwirrt

verwirrt

15.09.2007, 14:32

Duedi

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wäre wirklich schlecht zum Spielen Big Laugh

Big Laugh

15.09.2007, 14:35

Poff

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Zitat:

Original von joeehhii
Was meinst du damit? verwirrt

verwirrt

schau mein Edit

15.09.2007, 14:36

joeehhii

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Ihr müsst euch das wie folgt vorstellen:

Es ist eine Tartanbahn, wie z.B. im FußballStadion, von der ich den Umfang weiß (400m).
Somit habe ich das Rechteck (Fußballfeld ->max) und 2 Halbkreise (Kurven der Tartanbahn ->also 1 Kreis)

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15.09.2007, 14:43

Tobias

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Also dein Ansatz ist für mich vollkommen richtig. Und wenn ich das rechne kommen auch gescheite Werte raus. Freude

Freude

15.09.2007, 14:45

Elan

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Warum, das ist doch zunächst mal nicht verkehrt wenn man davon ausgeht, daß es sich um einen Sportplatz üblicher Art handelt. Also Rechteck und an den kürzeren Seiten noch je einen Halbkreis.

15.09.2007, 14:47

vektorraum

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Ich habe mal eine Skizze gemacht, um es zu verdeutlichen. Anders würde es ja anscheinend auch keinen Sinn machen.

Ich finde den Ansatz vernünftig. Setze noch die Nebenbedingung ein und dann müsste das klappen!

15.09.2007, 14:47

joeehhii

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Gut

smile

Zielfunktion ist : $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2} \pi y^{2} + 400y \end{eqnarray*}$

15.09.2007, 14:50

vektorraum

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Da hat sich wohl ein kleiner Fehler eingeschlichen! Nochmal nachrechnen. Setze dann auch davor:

$\begin{eqnarray*} A(x)=\ldots \end{eqnarray*}$

damit es eine Funktion ist!

15.09.2007, 14:52

joeehhii

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Ok, gut nochmal.

$\begin{eqnarray*} 400 = 2x + \pi y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 400 - \pi y = 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 200 - \frac{1}{2} \pi y = x \end{eqnarray*}$

So weit so gut?

15.09.2007, 14:54

vektorraum

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Jetzt ist es richtig Freude

Freude

15.09.2007, 14:56

joeehhii

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Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} A(y) = y \cdot (- \frac{1}{2} \pi y + 200) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(y) = - \frac{1}{2} \pi y^{2} + 200y \end{eqnarray*}$

15.09.2007, 14:58

Tobias

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Das ist wohl eher $\begin{eqnarray*} A(y) \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} A(x) \end{eqnarray*}$ .

Aber bevor du jetzt hier jeden Pups postest rechne noch mal zuende!

15.09.2007, 15:06

joeehhii

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$\begin{eqnarray*} A(y) = - \frac{1}{2} \pi y^{2} + 200y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(y) = - \pi y + 200 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \pi y + 200 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \pi y = -200 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = 63,661 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(63,661) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(63,661) = - \pi < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -> f hat Hochpunkt (63,661/6366,2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 6366,2 : 63,661 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= 100 \end{eqnarray*}$

Maße sind also :

x = 100

y =63,66

Sollte stimmen. Wie berechne ich hier das Randextremum?

15.09.2007, 15:12

vektorraum

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Du solltest vielleicht in deiner Notation etwas konformer bleiben. Du meinst sicherlich

$\begin{eqnarray*} A'(63,331)=0 \end{eqnarray*}$

usw.

Sonst ist aber eigentlich alles korrekt ausgerechnet. Was du ja nicht brauchst ist der Funktionswert des Hochpunktes.

15.09.2007, 15:20

joeehhii

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Gut

smile

Wie kann ich denn jetzt noch den Definitionsbereich festlegen? Also dass z.b. x nicht größer also "irgendwas" sein darf etc.

15.09.2007, 15:27

Poff

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Die passende glatte und sogar zulässige Lösung verblüfft mich. Bisher war ich der festen Überzeugung, dass das keine Halbkreise sind in so einem 'üblichen' Sportstadion,

aber das Gebilde scheint sogar 'internationalen Fußballregeln' zu genügen.

16.09.2007, 12:56

joeehhii

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Gut, dann habe ich das ja geschafft smile

smile

Wie kann ich bei dieser Aufgabe den Definitionsbereich festlegen? Ich habe keine Ahnung wie... verwirrt

verwirrt

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