Nullstellen einer Funktion 4. Grades rechnerisch bestimmen

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Avicenna Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen einer Funktion 4. Grades rechnerisch bestimmen
Hallo,
es handelt sich um folge Gleichung:

Man sieht ja, bzw. findet es durch Ausprobieren heraus, dass eine Nullstelle 1 ist. Wie kann ich dies rechnerisch herausfinden?

Gruß,
Avicenna

Die zweite Nullstelle ist nicht exakt findbar (-1,35...), darum geht es jetzt aber auch nicht.
Grapefruit Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst doch als Funktion , oder?

Wenn eine Nullstelle vorliegt, wie groß ist dann der y-Wert?
Avicenna Auf diesen Beitrag antworten »

Der y-Wert einer Nullstelle ist immer 0.
Ich habe wohl die Begriffe Gleichung und Funktion durcheinander gebracht.
Unsere Aufgabe ist es, die Gleichung zu lösen, soweit exakt möglich. Es handelt sich dabei nur zufällig um die Gleichung der Nullstellenberechnung der Funktion .

Bleibt die Frage, wie man die Gleichung rechnerisch exakt lösen kann (zumindest ihre eine von beiden Lösungen, die 1).
Grapefruit Auf diesen Beitrag antworten »

Also hast du erst mal


Wie würdest du denn nun nach x auflösen? Ausklammern von x? Was machst du mit der -2? Du hast doch Ansätze, oder?
Avicenna Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben verschiedene Ansätze kennengelernt.
  • Ausklammern
  • Substitution
  • Polynomdivision


  • Ausklammern fällt weg, da nicht in jedem Glied ein x vorhanden ist. Es würde ja sonst , was mich nicht weiterbringt.
  • Substitution fällt auch weg, da es nicht ausschließlich Exponenten größer 1 gibt.
  • Für die Polynomdivision benötige ich schon eine Nullstelle, aber diese will ich ja erstmal rechnerisch herausfinden.


Da alle Ansätze nicht anwendbar sind, wäre die logische Schlussfolgerung, dass man die Gleichung nicht exakt lösen kann. Unnatürlicherweise gibt es aber die exakte Lösung 1.
Über weitere Vorgänge bin ich ratlos.
Grapefruit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte folgenden Ansatz. müsste genau werden, damit zusammen mit der die Gleichung ergibt.

Also könnte man doch setzen.
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich greife hier mal kurz ein:

Es ist nicht möglich die gegebene Gleichung algebraisch zu lösen !
Nur durch ein Näherungsverfahren oder eben durch Probieren kann man hier weiterkommen und ggf das Polynom in Linearfaktoren mit niedrigerem Grad zerlegen.

Gruß Björn
Grapefruit Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut glaub ich dir, aber ich komme so auf zwei Nullstellen. verwirrt

Welches Näherungsverfahren würdest du vorschlagen?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Grapefruit
Also könnte man doch setzen.

Das kann man, aber es bringt dich keinen Schritt weiter.

Avicenna: Das Raten einer Nullstelle ist vollkommen legitim. Willst du es dennoch "rechnerisch" bewerkstelligen, so hast du bei diesem Gleichungstyp 2 Möglichkeiten.

Zum einen gibt es für Gleichungen vierten Grades eine Lösungsformel (http://de.wikipedia.org/wiki/Quartische_Gleichung) - für Gleichungen höheren Grades sind mir keine bekannt.

Zum anderen könntest du Näherungsverfahren nutzen, z.B. das Newton-Verfahren.
Avicenna Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne keine Möglichkeit, zu berechnen.
Meine Vermutung bestätigt sich mit Bjoern1982s Aussage. Nun stehe ich vor einem Konflikt:
Die Aufgabenstellung lautet nämlich: "Können Sie die Gleichung rechnerisch exakt lösen?"
Somit lautet die Antwort eigentlich Nein.

Vielen Dank für eure Tipps und Infos smile
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Die antwort lautet JA. Erste Nullstelle erraten und mittels Polynomdivision die restlichen bestimmen. Das ist rechenrisch exakt.
Grapefruit Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich poste mal wie ich es gemacht hätte ud ihr sagt mir warum ich das nicht machen darf.

erste Lösung:

zweite Lösung
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Grapefruit

Schon hier hat sich ein Fehler eingeschlichen. Augenzwinkern

Huch ... doch nicht .... Forum Kloppe


Aber hier:
Zitat:
Original von Grapefruit

erste Lösung:

Wie schließt du auf die "erste Lösung"? Das geht nicht.
Grapefruit Auf diesen Beitrag antworten »

Hat man mir so beigebracht.



Das hab ich so gelernt.

edit: Vielleicht sollte ich aufhören das Rad neu zu erfinden. Das geht natürlich nur bei Produkten deren Ergebniss genau 0 ergibt, richtig?
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich meine folgendes. Gegeben



Nun behauptest du, sei eine Lösung. Mach mal die Probe.
Avicenna Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dual Space
Die antwort lautet JA. Erste Nullstelle erraten und mittels Polynomdivision die restlichen bestimmen. Das ist rechenrisch exakt.


MOMENT. Erste Nullstelle ist 1. Mit der Polynomdivision erhalte ich *rechnung aus dem papiermüll kram* . D.h., ich muss schon wieder eine Nullstelle erraten. Mann kann aber keine erraten.
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »



Stimmt ... hier ist exakt sicher nicht mehr viel möglich - diese Nullstelle liegt in etwa bei .
Avicenna Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen einer Funktion 4. Grades rechnerisch bestimmen
Zitat:
Original von Avicenna
Die zweite Nullstelle ist nicht exakt findbar (-1,35...), darum geht es jetzt aber auch nicht.


...wie ich schon erwähnt hatte Augenzwinkern
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

So wild ist das gar nicht Augenzwinkern

Substituiere . Dann reduziert sich die kubische Gleichung zu



Sei eine Lösung von (1) mit der zusätzlichen Bedingung



Warum das wünschenswert ist, sieht man, wenn man in (1) einsetzt und vereinfacht. Aus (2) folgt



sowie



Nach dem Satz von Vieta sind und die beiden Nullstellen der quadratischen Gleichung



Ohne Einschränkung gilt




Analytische Überlegungen zeigen, dass (1) genau eine reelle Lösung besitzt. Diese lautet



Rücktransformation liefert



als einzige reelle Lösung der Gleichung





Gruß, therisen
Avicenna Auf diesen Beitrag antworten »

WOW! Danke für die ausführliche Rechnung, die mir jetzt zwar wenig weiterhilft, aber trotzdem äußerst interessant war.

Ich rette mich durch die korrekte Aufgabenstellung:

"Können Sie die Gleichung rechnerisch exakt lösen?" smile Freude

Gruß,
Avicenna
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Boa ... Michi. Respekt
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