Winkelberechnung bei Pyramide

15.09.2007, 16:41

niccle

cool.

Hab noch ne Aufgabe und zwar:

Eine quadratische Pyramide ist 10 m breit und hat ein 5m hohes Dach.
a) Berechne Innenwinkel einer der dreiecksförmigen Dachflächen
b) Welche Winkel bilden zwei Dachflächen untereinander bzw. mit dem Dachboden?

Da hab ich gar keine Ahnung wie ich da rangehen soll.

16.09.2007, 12:02

mYthos

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Hallo,

bitte für eine neue Frage auch ein neues Thema eröffnen. Ich trenne daher deine neue Frage mal in ein neues Thema ab.

Wichtig für die Lösung dieser Aufgabe sind unbedingt Skizzen, in der du die gegenständlichen Winkel und die diese bestimmenden Seiten auch sehen kannst. Im Prinzip geht es also um die Pyramide. Wenn du einen entsprechenden Schnitt (Parallelschnitt durch die Höhe) durchführst, sind rechtwinkelige Dreiecke zu sehen und du kommst damit weiter .... .

Hst du dir schon dahingehend etwas überlegt? Kannst du dein Problem konkret beschreiben?

mY+

Hinweis:
Die Skizze ist NICHT maßstabsgetreu.

16.09.2007, 13:27

niccle

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ICh weiß nicht welcher Winkel gemeint ist.

16.09.2007, 14:58

niccle

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Kann es sein, das der Winkel 45° groß ist

16.09.2007, 15:02

vektorraum

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Zitat:

Original von niccle
ICh weiß nicht welcher Winkel gemeint ist.

Das wissen wir jetzt leider auch nicht mit deiner letzten Angabe. Kannst du bitte nochmal dazuschreiben, welchen Winkel du ausgerechnet hast, da in der Aufgabe ja nach mehreren Winkel gefragt wird.

16.09.2007, 15:17

mYthos

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Ich habe in der Skizze jetzt noch die Eckpunkte bezeichnet. Bei (a) sind die Winkel im Dreieck ABS oder BCS (die beiden sind kongruent) gefragt, was eigentlich keine Schwierigkeit darstellen sollte. Bei (b) ist der Winkel MM1S der Dachfläche gegen den Boden aus dem Dreieck SMM1 zu ermitteln. Der Winkel zweier Seitenflächen zueinander erfordert schon mehr Aufwand ....

mY+

16.09.2007, 15:30

niccle

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tut mir leid ich kann nicht ganz folgen ich weiß nicht wie ich die Winkel ausrechnen kann ich finde ich hab dazu viel zu wenig gegeben

16.09.2007, 15:37

mYthos

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Im Dreieck MM1S ist die Länge MM1 und die Höhe h bekannt. Ausserdem ist das Dreieck rechtwinkelig. Das genügt, um h1 zu berechnen. Hast du diese, ist auch das Dreieck BCS auflösbar; das Dreieck ist gleichschenkelig, und die Basis BC ist mit 10 gegeben.

Also?

mY+

16.09.2007, 15:48

niccle

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Also ich hab h1 berechnet und h1=7.07m
Die Strecke CS ist 8.66m lang. Nun habe ich den Winkel gamma ausgerechnet und der ist 54,72° groß.

Stimmt das bis dahin?

16.09.2007, 16:02

mYthos

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h1, s stimmen, was ist bei dir der Wikel gamma? Wenn er jener an der Basis ist, dann stimmt er.

mY+

P.S.: Ich muss jetzt für einige Zeit weg, abends bin ich wieder da ...

16.09.2007, 16:09

niccle

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es ist der winkel SCB

16.09.2007, 16:17

mYthos

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OK, dann stimmt er ... smile

mY+

16.09.2007, 19:34

niccle

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Aber was ich jetzt noch nicht versteh ist, dass der Winkel 54,72° groß ist. ich mein die Pyramide ist doch quadratisch müssten dann nicht alle Winkel die gleiche Größe haben???

Aber wenn ich das mal 4 rechne ergibt das nur 218,88° und nicht 365°

16.09.2007, 19:35

mYthos

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Es geht doch zunächst um die Winkel in einem der vier Dachdreiecke. Und die geben zur Summe 180° (die beiden Winkel an der Basis sind ja gleich!)

Zum zweiten ist der Winkel einer Seitenfläche zum Boden zu berechnen - auch ohne Schwierigkeiten - und dann noch der Winkel, den zwei Seitenflächen zueinander einschließen, ohne Zweifel die etwas anspruchsvollere Aufgabe.

Zum Letzten wieder eine Skizze. Der Winkel der beiden Seitenflächen wird durch den Winkel der beiden Normalen AUF diese Seitenflächen ersetzt. Die Normalen beginnen in N bzw. N1 und enden jeweils in M. Deren Längen sind infolge der besonderen Angabe sofort ersichtlich. Die Verbindungslinie NN1 ebenso, weil N bzw. N1 die Strecken SH bzw. SN1 halbieren.

mY+

16.09.2007, 19:55

niccle

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Also jetzt bin ich ganz verwirrt und weis gar nicht mehr was ich ausrechnen soll! unglücklich

16.09.2007, 20:04

niccle

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Also a hab ich verstanden. Meine Winkel sind nun 54,73° , 54,73° und 70, 54°.

Richtig?
Und b muss ich jetzt nach deiner zweiten Skizze machen oder wie?

16.09.2007, 20:18

mYthos

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Was du ausrechnen sollst, steht in der Angabe!

Zum Nächsten den Winkel, den die Seitenfläche gegen den Boden einschließt, wo siehst du den bzw. heisst dieser in der (ersten) Skizze?

Die zweite Skizze bezieht sich erst auf die dritte Frage (Winkel zweier Seitenflächen, dieser ist gleichbedeutend dem Winkel NMN1)

P.S.: a) stimmt soweit, ist erledigt

mY+

17.09.2007, 14:32

niccle

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tut mir leid ich bin zu dumm dazu. ich kapiere es einfach nicht.

Ich weiß weder genau was ich ausrechnen soll geschweige denn wie.

18.09.2007, 21:34

mYthos

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Sorry, ich war jetzt fast 2 Tage nicht da.

Ich glaube kaum, dass du zu dumm bist, denn sonst hättest du es nicht bis jetzt zu deinem Alter von 18 Jahren geschafft. Und bei der letzten Frage steigen bestimmt viele aus, nicht nur du.

Aber bleiben wir zunächst bei der 2. Frage, bei der es um den Winkel einer Seitenfläche zu der Grundfläche geht. Diesen siehst du im rechtwinkeligen Dreieck MM1S und es ist der Winkel bei M1. Findest du das wirklich so schwer? Den Winkel kannst du mittels einer Winkelfunktion berechnen, in der die Gegenkathete (h = 5) und die Ankathete (halbe Seitenlänge von 10, ebenfalls 5) vorkommen. Welche Winkelfunktion wird das wohl sein und wie groß ist dann der Winkel? (Die Lösung ist ganzzahlig und ein seeehr bekannter Winkel).

Wenn du das hast, gehen wir zur letzten Frage, ok?

mY+

18.09.2007, 21:41

niccle

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Der Winkel ist 45° groß.

18.09.2007, 21:50

mYthos

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Das sieht ja schon mal gut aus! Verrätst du bitte noch, wie bzw. mit welcher Winkelfunktion du das gerechnet hast?

mY+

18.09.2007, 21:51

niccle

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Mit dem Sinus
______________

Aber mit tangens gehts auch

Mod: Bitte EDIT-Button benutzen, statt zwei Beiträge hintereinander zu senden! mY+

18.09.2007, 22:11

mYthos

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Bitte sei nicht so schweigsam, traue dich doch, ein wenig mehr von deinen Überlegungen und Rechnungen zu schreiben, hier frisst dich niemand und lacht dich auch nicht aus Big Laugh

OK, also

$\begin{eqnarray*} \tan \text{(winkel)} = 1 \ \rightarrow \ \text{winkel} = 45° \end{eqnarray*}$

So, nun zum Letzten. Der Winkel zweier benachbarter Seitenflächen ist jeweils gleich. Wir ersetzen diesen Winkel durch den Winkel der beiden Normalen auf diese Ebenen, welche in M enden. Infolge der besondern Angabe (h = a/2 = 5) sind die Anfangspunkte N bzw. N1 dieser Normalen auch die Mittelpunkte der Strecken HS und M1S. Den Winkel der beiden Normalen ermitteln wir aus dem Dreieck NMN1, indem wir alle drei Seiten dieses Dreieckes berechnen.

Aus der Skizze erkennst du wahrscheinlich, dass NM und N1M gleich lang sind. Die Länge ermittelst du als Hypotenuse des entsprechenden rechtwinkeligen Dreieckes. Versuche dies mal und berechne schließlich auch noch die Länge NN1, die gleich ist der Länge FF1. FF1 lässt sich ähnlich einfach ebenso als Hypotenuse eines rechtwinkeligen Dreieckes berechnen.

Wenn du das richtig berechnet hast, wirst du hinsichtlich der Wnkel in diesem Dreieck überrascht sein.

mY+

18.09.2007, 22:20

niccle

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Also ich hab das jetzt so gemacht. Ich befinde mich im Dreieck NMH. Die Strecke HN ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{12,5} \end{eqnarray*}$ lang. Die Strecke HM ist 5LE lang. Und somit ergibt sich über den Pythagoras eine Strecke für NM von 6,123LE.

Ist dies korrekt?

18.09.2007, 22:23

niccle

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Die Winkel sind dann bei mir auch 45° groß.

18.09.2007, 22:44

mYthos

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Im GANZEN Dreieck NMH kannst du den Pythagoras nicht anwenden, sondern im halben, denn nur dieses ist rechtwinkelig. HN hast du richtig berechnet! Und infolge der Symmetrie ist das gesuchnte NM eben gerade auch so lang, nämlich 3,54, aber auf den Zahlenwert kommt's dann letztendlich nicht an, weil ... . Somit ist MN = MN1 = 3,54, jetzt fehlt noch NN1.

Was meinst du mit: "... die Winkel sind 45° groß"?. Welche? Alle? Letzteres kann ja nicht sein! Also in diesem Dreieck NMN1 ist kein Winkel 45°, so viel verrate ich dir mal vorweg. Ähnlich schlau wie vorhin, kannst du jedoch auch auf die Länge von NN1 kommen.

mY+

18.09.2007, 22:52

niccle

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ich könnte ne Höhe einzeichnen, aber dann weiß ich ja auch nicht wie groß die ist.

18.09.2007, 23:05

mYthos

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Nimm den Hinweis auf, dass NN1 = FF1 ist! FF1 ist die Hypotenuse im rechtwinkeligen Dreieck MFF1, wobei MF = MF1 = 2,5. Macht's jetzt *klacks* ?

mY+

18.09.2007, 23:11

niccle

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ich steh zur Zeit aufn Schlauch ich guck mir das ganze morgen noch mal an. Mal gucken vielleicht biste ja morgen auch wieder drin und gibst mir den letzten Schliff denn Donnerstag muss ich die Aufgabe haben.

Danke schonmal das du dir bis jetzt schon so viel Zeit für mich genommen hast.

18.09.2007, 23:15

mYthos

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Du bist doch fast schon fertig! Muss man net auf morgen verschieben! Aber sei's drum, ist für mich auch kein Problem.

mY+

19.09.2007, 15:09

niccle

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Danke habs jetzt rausbekommen. Das Dreieck ist gleichseitig. Und somit betragen alle Winkel 60°.

Vielen Dank für das Durchhaltevermögen.

19.09.2007, 16:12

mYthos

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So ist es! smile

Übrigens kann man das, wenn deine Kenntnisse schon so fortgeschritten sind, auch vektoriell herausbekommen.

Wir setzen $\begin{eqnarray*} A(10;0;0), \ B(10;10;0), \ C(0;10;0), \ S(5;5;5), \ M(5;5;0), \ H(10;5;0), \ M1(5;10;0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} N_1(5;\frac{15}{2};\frac{5}{2}) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} N(\frac{15}{2};5;\frac{5}{2}) \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \vec{MN_1} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{MN} = \begin{pmatrix} \frac{5}{2} \\ 0 \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos \phi = \frac{25 \cdot 2}{4 \cdot 25} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi = 60° \end{eqnarray*}$

mY+

19.09.2007, 17:30

Poff

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Hier sollten besser 120° als Winkel angegeben werden, da das der Winkel ist den die vorhandenen realen Flächen innen ausbilden.

19.09.2007, 20:34

mYthos

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Danke für den Hinweis, das ist richtig. Denn der Winkel der Normalen ist zwar 60°, der Winkel der Ebenen ist allerdings dann supplementär! (Satz vom Normalwinkel: Normalwinkel sind entweder gleich groß oder supplementär)

$\begin{eqnarray*} \phi^{*} = 180 - \phi = 120° \end{eqnarray*}$

Hoffentlich liest niccle das noch.

mY+

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