Sesquilinearform, Umformung richtig?

16.09.2007, 17:57

Tuly

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Sesquilinearform, Umformung richtig?

Hi. Ich soll zeigen, ob $\begin{eqnarray*} \gamma(x,y) = tr (\overline{x}^t Ay) \end{eqnarray*}$ eine Sesquilinearform auf $\begin{eqnarray*} M_n(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ ist. Ich weiß, dass es eine ist habe aber Schwierigkeiten mit einem Schritt. Ist der so richtig

zu zeigen $\begin{eqnarray*} \gamma(\lambda x,y) = \lambda \gamma(x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tr(\overline{\lambda x})^t AY) = tr(\overline{x}^t \overline{\lambda} AY) = tr(\overline{x}^t \lambda AY) = \lambda tr(\overline{x}^tAy) ( \end{eqnarray*}$

zu zeigen $\begin{eqnarray*} \gamma( x,\lambda y) = \lambda \gamma(x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma( x,\lambda y) = tr(\overline{x}^t A \lambda Y) = \lambda tr (\overline{x}^t Ay) \end{eqnarray*}$

Ist das beides so in Ordnung?

Danke euch
Tuly

16.09.2007, 18:04

WebFritzi

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RE: Sesquilinearform, Umformung richtig?

Zitat:

Original von Tuly
zu zeigen $\begin{eqnarray*} \gamma(\lambda x,y) = \lambda \gamma(x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tr(\overline{\lambda x})^t AY) = tr(\overline{x}^t \overline{\lambda} AY) = tr(\overline{x}^t \lambda AY) = \lambda tr(\overline{x}^tAy) ( \end{eqnarray*}$

Wieso lässt du einfach den Querbalken bei dem Lambda weg? Das ist natürlich falsch. Davon abgesehen ist das, was du zeigen willst (s.o.), auch nicht richtig. Schau dir nochmal die Definition einer Sesquilinearform an.

16.09.2007, 18:16

Tuly

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Forum Kloppe

Ich war wohl bei der Bilinearform

zu zeigen $\begin{eqnarray*} \gamma(\lambda x,y) = \lambda \gamma(x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} tr(\overline{\lambda x})^t AY) = tr(\overline{x}^t \overline{\lambda} AY) = \lambda tr(\overline{x}^tAy) \end{eqnarray*}$

zu zeigen $\begin{eqnarray*} \gamma( x,\lambda y) = \overline{\lambda}* \gamma(x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma( x,\lambda y) = tr(\overline{x}^t A \lambda Y) = \overline{\lambda}* tr (\overline{x}^t Ay) \end{eqnarray*}$

Das ist so nun korrekt oder?

16.09.2007, 18:17

WebFritzi

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Zitat:

Original von Tuly
$\begin{eqnarray*} tr(\overline{\lambda x})^t AY) = tr(\overline{x}^t \overline{\lambda} AY) = \lambda tr(\overline{x}^tAy) \end{eqnarray*}$

Du wiederholst dich. Und ich tu das auch mal: es ist falsch.

16.09.2007, 18:28

Tuly

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Wenn ich den Zwischenschritt weglassen würde, dann wäre es aber vermutlich richtig, da die Sesquilinearform ja die Eigenschaften
1) $\begin{eqnarray*} \gamma(x+x',y) = \gamma(x,y) + \gamma(x',y) \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \gamma(\lambda x, y) = \lambda \gamma(x,y) \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} \gamma(x,y+y') =\gamma(x,y) + \gamma(x,y') \end{eqnarray*}$
4) $\begin{eqnarray*} \gamma(x, \lambda y) = \overline{\lambda}*\gamma(x,y) \end{eqnarray*}$

Jetzt ist $\begin{eqnarray*} tr(\overline{\lambda x})^t AY) = tr(\overline{x}^t \overline{\lambda} AY) = \lambda tr(\overline{x}^tAy) \end{eqnarray*}$ also falsch. Hm, lautet es dann

$\begin{eqnarray*} tr(\overline{\lambda x})^t AY) = tr( \overline{\lambda}\overline{x}^t AY) = \lambda tr(\overline{x}^tAy) \end{eqnarray*}$ ?

Oder fehlt dort das transponiert am lambda? $\begin{eqnarray*} tr(\overline{\lambda x})^t AY) = tr(\overline{x}^t \overline{\lambda}^t AY) = \lambda tr(\overline{x}^tAy) \end{eqnarray*}$

16.09.2007, 18:32

WebFritzi

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Zitat:

Original von Tuly
Jetzt ist $\begin{eqnarray*} tr(\overline{\lambda x})^t AY) = tr(\overline{x}^t \overline{\lambda} AY) = \lambda tr(\overline{x}^tAy) \end{eqnarray*}$ also falsch. Hm, lautet es dann

$\begin{eqnarray*} tr(\overline{\lambda x})^t AY) = tr( \overline{\lambda}\overline{x}^t AY) = \lambda tr(\overline{x}^tAy) \end{eqnarray*}$ ?

Oder fehlt dort das transponiert am lambda? $\begin{eqnarray*} tr(\overline{\lambda x})^t AY) = tr(\overline{x}^t \overline{\lambda}^t AY) = \lambda tr(\overline{x}^tAy) \end{eqnarray*}$

Bitte hör auf zu raten. Überleg nochmal ein bisschen. Ich wiederhole mich nochmal: du lässt den Querbalken überm Lambda weg. Das ist falsch.

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16.09.2007, 19:02

Tuly

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Zitat:

Original von WebFritzi
Bitte hör auf zu raten. Überleg nochmal ein bisschen. Ich wiederhole mich nochmal: du lässt den Querbalken überm Lambda weg. Das ist falsch.

Aber dann müsste es ja heißen
$\begin{eqnarray*} tr(\overline{\lambda x})^t AY) = tr( \overline{\lambda}\overline{x}^t AY) = \overline{\lambda} tr(\overline{x}^tAy) \end{eqnarray*}$

Das wäre aber ein Widerspruch zu meiner Definition $\begin{eqnarray*} \gamma(\lambda x, y) = \lambda \gamma(x,y) \end{eqnarray*}$ . Deswegen habe ich ja den Querbalken verloren, weil es anders nicht passt.
Warum muss da denn ein Querbalken hin? verwirrt

verwirrt

16.09.2007, 19:08

WebFritzi

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Zitat:

Original von Tuly
Das wäre aber ein Widerspruch zu meiner Definition $\begin{eqnarray*} \gamma(\lambda x, y) = \lambda \gamma(x,y) \end{eqnarray*}$ .

Wenn das deine Definition ist, ist dein Ding da oben halt keine Sesquilinearform. Die Definition ist in der Literatur übrigens nicht einheitluich.

Zitat:

Original von Tuly
Warum muss da denn ein Querbalken hin? verwirrt

verwirrt

Das kannst du dir selber überlegen.

16.09.2007, 19:16

Tuly

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Tuly
Das wäre aber ein Widerspruch zu meiner Definition $\begin{eqnarray*} \gamma(\lambda x, y) = \lambda \gamma(x,y) \end{eqnarray*}$ .

Wenn das deine Definition ist, ist dein Ding da oben halt keine Sesquilinearform. Die Definition ist in der Literatur übrigens nicht einheitluich.

Stimmt, auf Wikipedia steht
$\begin{eqnarray*} * \langle v,w_1+w_2\rangle=\langle v,w_1\rangle+\langle v,w_2\rangle \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} * \langle v,\lambda w\rangle=\lambda\cdot\langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} * \langle v_1+v_2,w\rangle=\langle v_1,w\rangle+\langle v_2,w\rangle \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} * \langle \lambda v, w\rangle=\bar\lambda\cdot \langle v,w\rangle; \end{eqnarray*}$

Wo liegen denn da die Unterschiede in der Literatur?

Ist es auf Wikipedia (SQL) auf $\begin{eqnarray*} S\colon V\times W\to\mathbb C,\quad (v,w)\mapsto S(v,w)=\langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$ zurückzuführen?

16.09.2007, 19:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von Tuly
Stimmt, auf Wikipedia steht
$\begin{eqnarray*} * \langle v,w_1+w_2\rangle=\langle v,w_1\rangle+\langle v,w_2\rangle \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} * \langle v,\lambda w\rangle=\lambda\cdot\langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} * \langle v_1+v_2,w\rangle=\langle v_1,w\rangle+\langle v_2,w\rangle \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} * \langle \lambda v, w\rangle=\bar\lambda\cdot \langle v,w\rangle; \end{eqnarray*}$

Da handelt es sich mit Sicherheit nicht um eine Sesquilinearform.

16.09.2007, 19:39

Tuly

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Beim letzten * steht schon ein Querbalken über dem Lambda, das ist nur schwer zu erkennen.

Aber bei Wikipedia steht doch

Es seien V,W Vektorräume über den komplexen Zahlen.

Eine Abbildung

$\begin{eqnarray*} S\colon V\times W\to\mathbb C,\quad (v,w)\mapsto S(v,w)=\langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$

heißt Sesquilinearform, wenn S semilinear im ersten und linear im zweiten Argument ist, d. h.

$\begin{eqnarray*} * \langle v,w_1+w_2\rangle=\langle v,w_1\rangle+\langle v,w_2\rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} * \langle v,\lambda w\rangle=\lambda\cdot\langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} * \langle v_1+v_2,w\rangle=\langle v_1,w\rangle+\langle v_2,w\rangle \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} * \langle \lambda v, w\rangle=\bar\lambda\cdot \langle v,w\rangle; \end{eqnarray*}$

dabei sind $\begin{eqnarray*} v,v_1,v_2\in V, w,w_1,w_2\in W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ .

Es ging dir nur um das Lambda beim letzten Stern, oder?

Natürlich fiel mir auch sofort auf, dass <,> vielleicht das Standardskalarprodukt sein könnte.
Oder wo ist das Problem?

16.09.2007, 19:42

WebFritzi

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Zitat:

Original von Tuly
Beim letzten * steht schon ein Querbalken über dem Lambda, das ist nur schwer zu erkennen.

Äh ja, sorry. Hatte ich nicht gesehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Tuly
Natürlich fiel mir auch sofort auf, dass <,> vielleicht das Standardskalarprodukt sein könnte.

Nee, man kann eine Sesquilinearform natürlich auch so schreiben. Oder auch so: [.,.]. Oder so: (.,.). Oder so: {.,.}. Oder, oder, oder... Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.09.2007, 20:02

Tuly

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Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Tuly
Beim letzten * steht schon ein Querbalken über dem Lambda, das ist nur schwer zu erkennen.

Äh ja, sorry. Hatte ich nicht gesehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich auch nicht wirklich auf Anhieb Augenzwinkern

Augenzwinkern

... Mein Fehler

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von Tuly
Natürlich fiel mir auch sofort auf, dass <,> vielleicht das Standardskalarprodukt sein könnte.

Nee, man kann eine Sesquilinearform natürlich auch so schreiben. Oder auch so: [.,.]. Oder so: (.,.). Oder so: {.,.}. Oder, oder, oder... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Woran erkenne ich denn, auf welche Defintion sich beispielsweise die Sesquilinearform bezieht? Also da habe ich zum einen bei Wikipedia $\begin{eqnarray*} * \langle \lambda v, w\rangle=\bar\lambda\cdot \langle v,w\rangle; \end{eqnarray*}$ und der Definition aus meiner Vorlesung $\begin{eqnarray*} \gamma(\lambda x,y) = \lambda \gamma(x,y) \end{eqnarray*}$ .

Sesquilinearform definierten wir so

Für $\begin{eqnarray*} v, w \in V, \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ nennt man eine Abbildung $\begin{eqnarray*} \gamma: V \times V \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ sesquilinear, wenn

1) $\begin{eqnarray*} \gamma(v+v',w) = \gamma(v,w) + \gamma(v',w) \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \gamma(\lambda v, w) = \lambda \gamma(v,w) \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \gamma(v,y+w') =\gamma(v,w) + \gamma(v,w') \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} \gamma(v, \lambda w) = \overline{\lambda}*\gamma(v,w) \end{eqnarray*}$

Was mir da auffllt, ist dass wir hier VxV statt VxW haben. Macht das den Unterschied aus oder woran liegt das? Ist mir bei der Definition aus der Vorlesung ein Schreibfehler unterlaufen?

16.09.2007, 20:12

therisen

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Hallo,

es steht einem frei, in welchem Argument man die Semilinearität definiert, d.h. ob man im ersten oder zweiten Argument komplex konjungiert. Allerdings muss man das einmal festlegen - und dann bleibt es auch so (für die jeweilige Vorlesung, Lehrbuch, etc.).

Was das $\begin{eqnarray*} V\times W \end{eqnarray*}$ betrifft: Eine Definition kann nicht falsch sein (höchstens unsinnig). Allerdings kenne ich bisher auch nur $\begin{eqnarray*} V\times V \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

16.09.2007, 20:15

Tuly

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Hallo.

Zitat:

Original von therisen
es steht einem frei, in welchem Argument man die Semilinearität definiert, d.h. ob man im ersten oder zweiten Argument komplex konjungiert. Allerdings muss man das einmal festlegen - und dann bleibt es auch so (für die jeweilige Vorlesung, Lehrbuch, etc.).

Wie soll ich denn dann das hier zeigen: $\begin{eqnarray*} \gamma(\lambda x,y) = \lambda \gamma(x,y) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} tr(\overline{\lambda x})^t AY) = tr(\overline{x}^t \overline{\lambda} AY) = \lambda tr(\overline{x}^tAy) \end{eqnarray*}$

Ich habs ja versucht, das so hinzumogeln, aber leider stimmts dann doch nicht

(Sorry WebFritzi, das war wieder eine Wiederholung)

16.09.2007, 20:26

therisen

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Hallo,

WebFritzi hat schon Recht: Die zu zeigende Aussage ist falsch. Du hast zwei Möglichkeiten: Entweder du sagst, dass das keine Sesquilinearform ist (vgl. eure Definition) oder du sagst, dass es in diesem Fall eben andersrum ist (d.h. Semilinearität im ersten Argument). Kann es sein, dass die Aufgabe aus einer anderen Vorlesung/Klausur ist?

Gruß, therisen

16.09.2007, 22:37

Tuly

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Hi.

Zitat:

Original von therisen
WebFritzi hat schon Recht: Die zu zeigende Aussage ist falsch.

Also ich habe jetzt gelernt, dass gelten muss $\begin{eqnarray*} tr(\overline{\lambda x})^t AY) = tr(\overline{x}^t \overline{\lambda} AY) = \overline{\lambda} tr(\overline{x}^tAy) \end{eqnarray*}$

was meiner Definition aber widerspricht.

Zitat:

Original von therisen
Du hast zwei Möglichkeiten: Entweder du sagst, dass das keine Sesquilinearform ist (vgl. eure Definition) oder du sagst, dass es in diesem Fall eben andersrum ist (d.h. Semilinearität im ersten Argument).

Um ehrlich zu sein, die erste gefällt mir besser. Aber dank deiner zweiten Möglichkeit habe ich jetzt auch noch etwas gelernt.

Zitat:

Original von therisen
Kann es sein, dass die Aufgabe aus einer anderen Vorlesung/Klausur ist?

Nö, eigentlich nicht. Aber es kann schon sein, dass die Aufgabenstellung fehlerhaft ist.

Danke euch beiden,
Tuly

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