zentrische Streckung (Dreieckskonstruktion)

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17.09.2007, 19:08	Dreieck	Auf diesen Beitrag antworten »
zentrische Streckung (Dreieckskonstruktion) Hallo, hab eine Frage zur zentrischen Streckung. Man soll ein Dreieck mit den Seitenverhältnissen a:b:c = 5:3:6 und der Höhe auf c mit h= 3cm konstruieren. Ist mein Vorgehen so richtig: Zunächst zeichne ich ein Hilfsdreieck mit den Seitenlängen c=6cm, b=3cm und a=5cm. Dann zeichne ich die Höhe ein mit Länge 3 cm. Wenn ich nun Parallelen zu a bzw b durch den Endpunkt der Höhe zeichne, ist es dann das gesuchte Dreieck? Und was ist mein Streckzentrum, ist es der Schnittpunkt Höhe-Seite c ? Viele Grüße
17.09.2007, 19:19	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zentrische Streckung (Dreieckskonstruktion) Konstruktion geht in Ordnung. Das Streckzentrum ist der Punkt der fest bleibt, bei deinem Vorgehen ist es der Höhenfußpunkt.
17.09.2007, 19:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Anfang der Konstruktion ist korrekt. Nur kannst du in das Dreieck mit den Seiten $\begin{eqnarray} a = 5, b = 3, c = 6 \end{eqnarray}$ nicht eine Höhe der Länge 3 einzeichnen. Denn das Dreieck ist ja schon konstruiert, und die Höhe liegt damit fest. Vielmehr mußt du jetzt das Dreieck so strecken, daß die Höhe die gewünschte Länge 3 bekommt. Bei einer zentrischen Streckung sind Strecke und Bildstrecke immer parallel. Du kannst daher die neue Höhe $\begin{eqnarray} h' = 3 \end{eqnarray}$ irgendwie parallel zur Höhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ im obigen Dreieck zeichnen. Verbindest du die Enden der Höhen durch Geraden, so führen diese dich zum Streckzentrum $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ . Es ist nämlich gerade deren Schnittpunkt. Am einfachsten ist es natürlich, wenn Du $\begin{eqnarray} h' \end{eqnarray}$ genau auf $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ darauflegst, z.B. so, daß beide Strecken im Punkt $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ enden. Dann ist nämlich $\begin{eqnarray} Z = C \end{eqnarray}$ Streckzentrum. Aber vielleicht meintest du ja genau das, und deine Formulierung war nur etwas unklar gewählt. EDIT Offenbar hat Poff es so verstanden, daß du meinst, daß beide Höhen $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} h' \end{eqnarray}$ denselben Höhenfußpunkt $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ haben sollen. Dann wäre natürlich $\begin{eqnarray} Z = F \end{eqnarray}$ das Streckzentrum.
17.09.2007, 19:32	Dreieck	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Erklärung. Also habe ich es so richtig verstanden: Am einfachsten ist es ich verlängere die Höhe h, so dass h'=3 praktisch auf ihr liegt. Das neue Dreieck entsteht dann dadurch, dass ich c' parallel zu der alten Seite c durch den Fußpunkt von h' zeichne?
17.09.2007, 19:33	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so hatte ich es gemeint. Dazu gehört allerdings das 'Wissen', dass das so möglich ist. Das sollte evtl noch begründet werden. Ich habe mich der 'vorgelegten Konstruktion' angepasst. Selbst hätte ich es vermutlich leicht anders gemacht. War als Anmerkung zu Leopolds Post gedacht, NICHT als Antwort auf die 'Zwischenpost'
17.09.2007, 19:34	Dreieck	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, aber wäre das dann auch richtig, wenn ich die Höhe nach oben verlängere und dann Parallelen zu a und b zeichne?
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17.09.2007, 19:39	Poff	Auf diesen Beitrag antworten »
Die neue Höhe liegt AUF der alten und die neue Grundlinie liegt AUF der alten, der Höhenfußpunkt bleibt fest. Die Höhe wird entsprechend verlängert oder verkürzt und die Parallelen zu den Seiten durch den neuen Höhenendpunkt gezogen.
17.09.2007, 19:59	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
das hat dir ja poff schon bestätigt, du mußt es nur begründen (können), also urteile selbst
17.09.2007, 20:15	Dreieck	Auf diesen Beitrag antworten »
ah okay, danke für das Bild, sieht gut aus zur Begründung: die Bildstrecke muss ja immer parallel zur Urbildstrecke sein und das Zentrum ist ja der Höhenfußpunkt, wie ihr bestätigt habt.
17.09.2007, 23:20	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Zentrum MUSS nicht der Höhenfußpunkt sein. In riwes Bild ist es z.B. einmal der Höhenfußpunkt und einmal der Punkt A (gelbes Dreieck). EDIT: Die Streckenverhältnisse bleiben übrigens aufgrund des Strahlensatzes gleich.
18.09.2007, 06:58	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man hat sehr viele Freiheiten bei dieser Konstruktion, wie die Abbildung zeigt. Die Originaldatei, aus der ich das Bild erstellt habe, findest du im Anhang. Du kannst sie mit dem Programm Euklid öffnen, das du hier als Shareware erhältst.
18.09.2007, 21:52	Dreieck	Auf diesen Beitrag antworten »
achsoo... so langsam versteh ich es! ...ist ja faszinierend... danke für das Programm! aber warum ist es egal welchen Punkt man als Zentrum wählt?
18.09.2007, 22:49	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, weil du das Dreieck natürlich von überall her strecken kannst.

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