Folgen - Bildungsvorschrift Bilden

18.09.2007, 13:33

Avicenna

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Folgen - Bildungsvorschrift Bilden

Hallo,
ich sitze gerade mit Ahnungslosigkeit von der aktuellen Mathematikaufgabe. Ich soll die Bildungsvorschrift für $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ finden.
Nachfolgend $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} a_{5} \end{eqnarray*}$ :

1; -2; 3; -4; 5

Dazu muss ich doch eine Formel finden, für die gilt, dass wenn n 1 ist, das Ergebnis der Formel 1 ist; und wenn n 2 ist, das dann das Ergebnis der Formel -2 ist, oder?

Gruß,
Avicenna

18.09.2007, 13:38

Dual Space

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RE: Folgen - Bildungsvorschrift Bilden

Zitat:

Original von Avicenna
Dazu muss ich doch eine Formel finden, für die gilt, dass wenn n 1 ist, das Ergebnis der Formel 1 ist; und wenn n 2 ist, das dann das Ergebnis der Formel -2 ist, oder?

Ja genau.

18.09.2007, 13:49

Avicenna

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RE: Folgen - Bildungsvorschrift Bilden

Zitat:

Original von Dual Space

Zitat:

Original von Avicenna
Dazu muss ich doch eine Formel finden, für die gilt, dass wenn n 1 ist, das Ergebnis der Formel 1 ist; und wenn n 2 ist, das dann das Ergebnis der Formel -2 ist, oder?

Ja genau.

Ach soooo, so einfach ist das. Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} a_{n}=n \end{eqnarray*}$ klappt für 1; 3; 5 aber nicht für 2; 4
$\begin{eqnarray*} a_{n}=-n \end{eqnarray*}$ klappt für 2; 4 aber nicht für 1; 3; 5

Also brauch ich was zwischendrin...
Bei geraden Zahlen negativ, bei ungeraden Zahlen positiv.
Eine gerade Zahl wird ausgedrückt durch $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ . Eine ungerade Zahl wird ausgedrückt durch $\begin{eqnarray*} 2n-1 \end{eqnarray*}$ .

Aber wie bringe ich das in eine Formel?

18.09.2007, 13:52

kiste

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Ich werfe mal -1 und seine Potenzen in den Raum

18.09.2007, 13:53

sqrt4

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Überlege dir mal die Bildungsvorschrift dür diese Folge

1,-1,1,-1.... (1 und -1 wechseln sich also laufend ab)

Das musst du dann nur noch mit der anderen Lösugn kombinieren.

18.09.2007, 14:02

Avicenna

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Ich kenne zwar Bildungsvorschriften für -1; 1; 1; -1; ...

Aber für 1,-1,1,-1 finde ich nichts. Ich habe schon etliches ausprobiert. Es bleibt eigentlich nichts aderes übrig, als (-1) in der Basis stehen muss; aber ob ich -1, 1, 2n potenziere, ich erhalte nie 1,-1,1,-1

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18.09.2007, 14:03

kiste

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Was passiert den wenn du die Bildungsvorschrift von -1,1,-1,... mit -1 multiplizierst?

18.09.2007, 14:04

Dual Space

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Schau mal Avicenna: Was ist $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n} \end{eqnarray*}$ und was ist $\begin{eqnarray*} (-1)^{2n+1} \end{eqnarray*}$ ?

18.09.2007, 14:25

Avicenna

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@kiste: Dann erhalte ich tatsächlich die Vorschrift für 1; -1; smile

smile

@Dual Space: Das erste ergibt immer positive Zahlen, das zweite immer negative.
Aber mein Problem besteht darin, diese zu verknüpfen.
Woher soll die Formel wissen, wann sie positive und wann negative Zahlen ergeben soll?

18.09.2007, 15:15

outSchool

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Folgen
Hallo,
es gibt zwei untzerschiedliche Typen von Folgen.

Arithmetische Folge (d ist konstant): $\begin{eqnarray*} a_i=a_0+d\cdot i \end{eqnarray*}$

Geometrische Folge: $\begin{eqnarray*} a_i=a_0 \cdot q^i \end{eqnarray*}$

Deine Folge ist alternierend und d ist nicht konstant.

Tipp: Schreibe die Differenz d Deiner Folge auf.
Schreibe die ersten sechs oder sieben ganzzahligen Quadratzahlen auf, vielleicht erkennst Du ein Zusammenhang.

Poste Dein Ergebnis.

18.09.2007, 15:25

Avicenna

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Die Differenz beträgt 3;5;7;9 also pro Schritt wächst die Differenz um zwei.
Die ersten sechs Quadratzahlen sind 1;4;9;16;25;36;49

Da ist absolut kein Zusammenhang herzuleiten.

18.09.2007, 15:29

derkoch

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Zitat:

Original von Avicenna
Die Differenz beträgt 3;5;7;9 also pro Schritt wächst die Differenz um zwei.
Die ersten sechs Quadratzahlen sind 1;4;9;16;25;36;49

Da ist absolut kein Zusammenhang herzuleiten.

1-4 ----> d= 3

4-9---> d= 5

9-16---->d= 7

.
.
.
Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.09.2007, 15:31

outSchool

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Quadratzahlen
Bilde die Differenz der Quadratzahlen, also

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2 - n^2 \hspace{10mm} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

18.09.2007, 15:34

Avicenna

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RE: Quadratzahlen

Zitat:

Original von outSchool
Bilde die Differenz der Quadratzahlen, also

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2 - n^2 \hspace{10mm} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Das ist aber nicht die Lösung, oder?
Wenn ich für n 1 einsetze,
erhalte ich 3.
Es müsste aber 1 herauskommen.

18.09.2007, 15:49

outSchool

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Das ist die Differenzbetrag zweier aufeinanderfolgenden Glieder.
Wenn Du jetzt noch ausmultiplizierst und vereinfachst, dann ergibt

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2 - n^2 = 2 \cdot n+1 \end{eqnarray*}$

Versuche mal $\begin{eqnarray*} a_6 \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} a_5 \end{eqnarray*}$ und der Differenz zu berechnen. Beachte, dass der Index um 1 verschoben ist.

18.09.2007, 15:54

Calvin

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@outSchool

mir ist nicht ganz klar, worauf du hinaus willst verwirrt

verwirrt

Avicenna war schon an dem Punkt

Zitat:

Original von Avicenna
$\begin{eqnarray*} a_{n}=n \end{eqnarray*}$ klappt für 1; 3; 5 aber nicht für 2; 4
$\begin{eqnarray*} a_{n}=-n \end{eqnarray*}$ klappt für 2; 4 aber nicht für 1; 3; 5

Also brauch ich was zwischendrin...
Bei geraden Zahlen negativ, bei ungeraden Zahlen positiv.
Eine gerade Zahl wird ausgedrückt durch $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ . Eine ungerade Zahl wird ausgedrückt durch $\begin{eqnarray*} 2n-1 \end{eqnarray*}$ .

Aber wie bringe ich das in eine Formel?

angekommen und es ging nur noch darum, das wechselnde Vorzeichen reinzubringen. DualSpace hat dazu schon ein paar Hinweise gegeben. Damit ist die Folge meiner Meinung nach viel einfacher beschrieben.

18.09.2007, 18:24

WebFritzi

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@Avicenna: Schau dir mal die Folge $\begin{eqnarray*} a_n = (-1)^n \end{eqnarray*}$ an. Diese musst du jetzt nur noch geschickt multiplizieren, dann bist du fertig.

18.09.2007, 19:25

Avicenna

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Heureka!
$\begin{eqnarray*} a_{n}=(-n)(-1)^n \end{eqnarray*}$

Ich danke euch dafür. smile

smile

Aber das Schlimme ist: Das war Aufgabe a) von e) (1 von 5)!

Aufgabe b): 0; 1/2 ; 2/3 ; 3/4 ; 4/5

Ich würde ja spontan auf $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ tippen, aber das stimmt ja für die 0 nicht, da eine Folge nur mit der Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb N* \end{eqnarray*}$ korrekt ist.

18.09.2007, 21:36

Aradhir

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beginnt deine folge mit

$\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$

Bin jetzt nicht so der Folgen-Spezialist, haben wir in der Schule in meinen 12 Jahren Schule zwar nie wirklich gemacht, wenn dann höchstens mal angerissen, an so 1-2 Stellen, aber

für $\begin{eqnarray*} a_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ würde ich sagen:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} a_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ würd ich sagen:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

18.09.2007, 21:43

Dual Space

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Zitat:

Original von Aradhir
für $\begin{eqnarray*} a_{1} = 0 \end{eqnarray*}$ würde ich sagen:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$

und für $\begin{eqnarray*} a_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ würd ich sagen:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Mach mal die Probe und berechne die ersten Folgenglieder, dann merkst du, dass da was nicht stimmt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ansonsten ist dein Hinweis wichtig. Man sollte dazu sagen, wo man beginnt.

18.09.2007, 21:46

Aradhir

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dual Space
Mach mal die Probe und berechne die ersten Folgenglieder, dann merkst du, dass da was nicht stimmt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber ansonsten ist dein Hinweis wichtig. Man sollte dazu sagen, wo man beginnt.

Tut mir Leid, wo liegt da der Fehler, steh grade auf der Leitung

18.09.2007, 21:52

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Avicenna
Aufgabe b): 0; 1/2 ; 2/3 ; 3/4 ; 4/5

Ach herjee ... da gab es ja schon eine neue Aufgabe. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Sorry sorry sorry ... Gott

Gott

18.09.2007, 22:00

Aradhir

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Zitat:

Original von Dual Space

Ach herjee ... da gab es ja schon eine neue Aufgabe. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Sorry sorry sorry ... Gott

Gott

Ist doch kein Ding Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.09.2007, 22:16

Avicenna

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Ob man es nun $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ nennt. Die 0 darf ja nicht im Definitionsbereich enthalten sein.

18.09.2007, 22:17

Dual Space

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Wenn ihr das so festgelegt habt, bist du raus aus dem Schneider. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.09.2007, 22:18

Aradhir

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Wenn die 0 nicht im Definitionsbereich für n liegt dann ist die Antwort folgende:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$

19.09.2007, 14:46

Avicenna

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Stimmt, danke smile

smile

Nochmals danke an alle. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.04.2010, 17:01

LuckyGirl

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RE: Folgen - Bildungsvorschrift Bilden
Willkommen

Willkommen

Liebe Avicenna,
Es ist ganz einfach:
z.b:
a1 a2 a3 an?

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Du musst immer schauen was man mit 1 und 1, 2 und 5 usw. machen kann zb. 1 im Quadrat +1 oder soo probiers doch einfach mal aus!

Wink

Wink

Wink

Wink

Wink

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