Abstand windschiefer Geraden mit folgender Formel: d= | (q - p) x n0 |

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18.09.2007, 18:06	raphi488	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand windschiefer Geraden mit folgender Formel: d= \| (q - p) x n0 \| Hallo, also ich hab jetzt scho ne Weile im Internet gesucht und keine wirkliche Antwort auf meine Frage gefunden. Ich muss am Donnerstag der Klasse erklären, wie man den Abstand windschiefer Geraden berechnet... Im Prinzip ist das kein Problem: Ich weiß, dass man die kleinste Entfernung zweier Punkte auf beiden Geraden berechnen muss. Das ist der Abstand zweier Ebenen, die parallel sind und jeweils auf einer der beiden Geraden liegen. Wie man den Normalen-Einheitsvektor berechnet weiß ich auch. Mein Problem ist allerdings folgende Formel: d=\| (q - p) x n0 \| Kann mir jemand erklären, wie man die herleitet oder wie ich die verstehen muss? Bitte bringt mir keine Antwort: Stell doch die beiden Ebenen auf und errechne dann den Abstand der beiden Ebenen. Das kann ich! Meine Aufgabe ist es der Klasse anhand der Formel die Berechnung des Abstandes zu erklären. Wär voll nett, wenn mir jemand die Formel erklären könnte. raphi488
18.09.2007, 18:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was willst du mit dieser Formel sagen? Ohne die Bezeichnungen zu erklären, sind Formeln prinzipiell unverständlich. Irgendwie erinnert mich die Formel aber an die Plückersche Form einer Geradengleichung im dreidimensionalen Raum. Sie hat äußerlich große Ähnlichkeit mit der Hesseschen Normalform einer Ebene. Ist $\begin{eqnarray} \vec{u}_0 \end{eqnarray}$ Normaleneinheitsvektor der Geraden $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ Ortsvektor eines Geradenpunktes $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{p} \end{eqnarray}$ Ortsvektor eines weiteren Punktes $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ , so berechnet man den Abstand $\begin{eqnarray} d(P,g) \end{eqnarray}$ des Punktes $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ von der Geraden $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ mit der Formel $\begin{eqnarray} d(P,g) = \left\| \vec{u}_0 \times \left( \vec{p} - \vec{a} \right) \right\| \end{eqnarray}$ Beweisen läßt sich diese Formel leicht. Betrachte dazu das Parallelogramm, das von den Vektoren $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AP} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{u}_0 \end{eqnarray}$ aufgespannt wird. Und nun berechne seinen Flächeninhalt auf zwei Arten: a) mit Hilfe der Kreuzprodukt-Formel b) mit Hilfe der Formel "Grundseite mal Höhe" Dann steht schon alles da. Oder meinst du mit dem Kreuz gar nicht das Kreuzprodukt, sondern das Skalarprodukt? Dann geht es hier wohl um die Hessesche Normalform einer Ebene. Wenn man nun den Abstand zweier paralleler Ebenen sucht, braucht man nur den Abstand eines beliebigen Punktes der einen Ebene von der anderen bestimmen. Zur Hesseschen Normalform wirst du hier im Forum sicher vieles finden. Verwende die Suchfunktion.
18.09.2007, 18:34	raphi488	Auf diesen Beitrag antworten »
das kreuz soll das skalarprodukt sein, also: $\begin{eqnarray} d = \mid (\vec{q} - \vec{p} )\cdot \vec{n0} \mid \end{eqnarray}$ ahja, vielleicht sollte ich noch die vekroren erklären: q ist der Ortsvektor des Punktes P auf der Geraden g p ist der Ortsvektor des Punktes Q auf der Geraden h n0 ist ein gemeinsamer Normalen-Einheitsvektor
18.09.2007, 18:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha! Sauber aufgeschrieben - und schon versteht man, worum es geht. Warum nicht gleich! Es geht hier also um den Abstand der beiden parallelen Ebenen, in denen die beiden windschiefen Geraden liegen. Die HNF (Hessesche Normalform) sollte dir bekannt sein, dann läßt sich die Formel leicht erklären: 1. Der Abstand der windschiefen Geraden ist derselbe wie der Abstand der parallelen Ebenen. 2. Wie man den Abstand zweier paralleler Ebenen ermittelt, habe ich in meinem ersten Beitrag schon angedeutet. Verwende dafür die HNF.
18.09.2007, 18:45	raphi488	Auf diesen Beitrag antworten »
also entschuldigung, dass ich es nicht gleich so sauber aufgeschrieben habe, aber das war mein erster Beitrag in diesem Forum. Also die HNF haben wir heute im Unterricht durchgenommen, aber bisher nur zur Berechnung vom Abstand eines Punktes zu einer Ebene verwendet. Außerdem haben wir sie auch nicht hergeleitet.
18.09.2007, 18:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt gehen wir einfach einmal von der Richtigkeit der HNF-Formel aus. Mit ihr berechnet man den Abstand eines Punktes von einer Geraden. Fangen wir einmal so an: Wenn du die beiden Geraden vor dir hast, wie bestimmst du dann aus ihren Richtungsvektoren einen Normalenvektor der beiden parallelen Ebenen, in den die Geraden liegen? Kannst du diese Frage zunächst beantworten? (Ich will mit ihr einfach nur herausbekommen, was ich an Vorkenntnissen bei dir voraussetzen kann.)
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18.09.2007, 18:59	raphi488	Auf diesen Beitrag antworten »
also mit formeleditor dauert mir das irgendwie zu lang. Ich stelle einfach folgendes Gleichungssystem auf: x1 * n1 + x2 * n2 + x3 * n3 = 0 (x sind die zahlen vom vektor der geraden g) x1 * n1 + x2 * n2 + x3 * n3 = 0 (hier sind x1,x2,x3 die zahlen vom vektor der geraden h) wenn ich das dann ausrechne kann ich mir dann für ein n eine zahl aussuchen...am besten so, dass n1, n2 und n3 ganzzahlig sind. Dann hab ich einen normalenvektor der zu beiden geraden senkrecht ist. Wenn ich dann den Normaleneinheitsvektor errechnen will, dann muss ich die Länge des vorher errechneten Normalenvektor ausrechnen. Beispielsweise 13 dann ist der Normaleneinheitsvektor: 1/13 * den Normalenvekor
18.09.2007, 19:01	raphi488	Auf diesen Beitrag antworten »
eiegntlich könnt ich es doch auch per kreuzprodukt der beiden Vektoren machen, hab's grad ausprobiert. Das gefällt mir irgendwie besser, weils schneller geht.
18.09.2007, 19:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so geht das. Du hast also jetzt einen Normaleneinheitsvektor $\begin{eqnarray} \vec{n}_0 \end{eqnarray}$ der beiden parallelen Ebenen, in denen die windschiefen Geraden liegen. Und jetzt nimm eine der beiden Ebenen, sagen wir die, die den Punkt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ enthält (vermutlich ist das der Punkt, der auf $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ liegt). Sie hat die HNF: $\begin{eqnarray} \vec{n}_0 \cdot \left( \vec{x} - \vec{p} \right) = 0 \end{eqnarray}$ Nennen wir die linke Seite dieser Gleichung $\begin{eqnarray} \operatorname{HNF} \left( \vec{x} \right) \end{eqnarray}$ . Dann berechnet (das ist eben gerade die Formel aus dem Unterricht) $\begin{eqnarray} \left\| \operatorname{HNF} \left( \vec{q} \right) \right\| \end{eqnarray}$ den Abstand eines beliebigen Punktes $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ von der Ebene. Und wenn nun $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ in der Parallelebene liegt, dann ist das gerade der Abstand der parallelen Ebenen. EDIT Ich sehe gerade, daß du in einem früheren Beitrag Ortsvektoren und Punkte der beiden Geraden festgelegt hast. Warum hast du die Bezeichnungen "über Kreuz" gewählt? Ist das Absicht? Welchen Zweck verbindest du damit?
18.09.2007, 19:22	raphi488	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok, jetzt hab ich's fast verstanden... also ich habe folgendes Problem: Wir haben die HNF heute zwar im Unterricht durchgenommen, aber ohne Herleitung und ohne Erklärung. Wir haben sie allerdings nur in Koordinatenform verwendet (das dauert mir jetzt zu lange die mit dem Formeleditor zu schreiben). Deswegen erschien mir die andere Form auch irgendwie unbekannt...Muss dann morgen wohl nochmal nachfragen müssen, ob ich überhaupt die Herleitung machen muss. Aber mich würde es schon interessieren, woher genau jetzt die HNF kommt. Wär voll nett, wenn du's schnell erklären könntest
18.09.2007, 19:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach genau so rechnen, wie man das Problem auch zeichnerisch lösen würde. Problemstellung: Abstand bestimmen des Punktes $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ mit Ortsvektor $\begin{eqnarray} \vec{p} \end{eqnarray}$ von der Ebene $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{n}_0 \end{eqnarray}$ als Normaleneinheitsvektor und $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ als Ortsvektor eines Ebenenpunktes 1. Schritt zeichnerisch: von $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ aus das Lot $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ fällen rechnerisch: $\begin{eqnarray} h: \ \ \vec{x} = \vec{p} + \lambda \, \vec{n}_0 \end{eqnarray}$ 2. Schritt zeichnerisch: den Schnittpunkt $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ konstruieren rechnerisch: $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ aus der Geradengleichung von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ in die Ebenengleichung $\begin{eqnarray} \vec{n}_0 \cdot \left( \vec{x} - \vec{a} \right) = 0 \end{eqnarray}$ einsetzen, nach $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ auflösen. Der gefundene Parameter führt, in die Gleichung von $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ eingesetzt, zu $\begin{eqnarray} \vec{s} \end{eqnarray}$ , dem Ortsvektor von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \vec{n}_0 \cdot \left( \vec{p} + \lambda \, \vec{n}_0 - \vec{a} \right) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{n}_0 \cdot \vec{p} + \lambda - \vec{n}_0 \cdot \vec{a} = 0 \end{eqnarray}$ (beachte: $\begin{eqnarray} \vec{n}_0^{\ 2} = 1 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \lambda = \vec{n}_0 \cdot \left( \vec{a} - \vec{p} \right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{s} = \vec{p} + \lambda \, \vec{n}_0 \end{eqnarray}$ mit dem konkreten $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ in der Zeile darüber 3. Schritt zeichnerisch: Abstand der Punkte $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ rechnerisch: Länge des Vektors $\begin{eqnarray} \overrightarrow{PS} = \vec{s} - \vec{p} \end{eqnarray}$ ist der gesuchte Abstand $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d = \left\| \vec{s} - \vec{p} \right\| = \left\| \lambda \, \vec{n}_0 \right\| = \|\lambda\| \cdot \left\| \vec{n}_0 \right\| = \|\lambda\| = \left\| \vec{n}_0 \cdot \left( \vec{p} - \vec{a} \right) \right\| \end{eqnarray}$
18.09.2007, 20:06	raphi488	Auf diesen Beitrag antworten »
also mal vielen dank...ich werd mir das jetzt mal anschaun...habs auch schon zum teil begriffen... wenn ich es nicht ganz begreifen werde, werde ich mich noch einmal melden
18.09.2007, 20:31	raphi488	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, ich schaus mir doch nochmal an... ich glaub ich komm doch selber drauf
18.09.2007, 20:48	raphi488	Auf diesen Beitrag antworten »
also vielen dank...ich habs endlich geblickt... naja und ich bin zu dem entschluss gekommen, dass ich die herleitung sicher nicht der klasse erklären muss, da das zu schwierig ist. Aber es ist gut, dass ich es versteh'. Ich haße es immer nur mit formeln zu rechnen, bei denen man gar nicht weiß woher sie kommen.

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