erwartungswert besimmen

13.03.2005, 09:10	gast	Auf diesen Beitrag antworten »
erwartungswert besimmen hi hab hier ne aufgaben und weiss nicht was ich damit anfangen soll. die aufgabe: X zv und besitzt dichte f(x). berechne für t element R den erwartungswert E(e^tX), falls X a) exponential verteilt ist b)poisson verteil ist ???? die ewartungswerte von poisson und exp- verteilung kenne ich ja aber was muss ich machen um auf E(e^tX) zu kommen? mfg gast
13.03.2005, 10:01	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine stetige Zufallsgröße mit Dichte $\begin{eqnarray} f_X \end{eqnarray}$ , so lässt sich der Erwarungswert $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(g(X))=\int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x)f_X(x)~\text{d}x \end{eqnarray}$ für eine beliebige reellwertige Funktion $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ berechnen, sofern nur das rechts stehende Integral existiert. b) Analog für ein diskrete Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , die nur Werte $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ annimmt: $\begin{eqnarray} \mathbb{E}(g(X))=\sum\limits_k g(x_k)P(X=x_k) \end{eqnarray}$ Hier muss bei abzählbar unendlich vielen Werten $\begin{eqnarray} x_k \end{eqnarray}$ die rechts stehende Reihe konvergieren. In deinen Beispielen ist $\begin{eqnarray} g(x)=e^{tx} \end{eqnarray}$ , jetzt kannst du rechnen. Ohne rechnen geht es auch, falls du eine Tabelle mit den Laplacetransformierten gängiger Zufallsverteilungen zur Hand hast.

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