Newtonverfahren

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Stormbreaker Auf diesen Beitrag antworten »
Newtonverfahren
Hallo, hier zwei Aufgaben:
a) x^2 = sin(Pi*x)
b)x^4 + x -1 = 0
Ich soll beide Aufgaben mit Hilfe des Newtonverfahrens lösen. Nun weiß ich aber nicht genau wie.
Ich nehme bei b) zB als f(x)=x^4 + x - 1 und als f'(x)= 4*^3 +x -1
Dann nehme ich einen geeigneten Startwert, zB -1,2. Damit komme ich nach der ersten Näherung auf -1.16... Dann -1.08, womits schon wieder nicht stimmen dürfte, wenn ich mir die Kurve im TI anschau.
Die allgemeine Formeil sei ja:
x_(k+1) = x_k - (f(x_k))/(f'(x_k)), ist das korrekt so?
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der b) hast du schonmal die Ableitung falsch bestimmt, die zu deiner Funktion gehörige Ableitung wäre hier nämlich:

Der Startwert ist mit -1,2 wahrscheinlich auch gut gewählt.
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

@Egal: Völlig richtig!
@Stormbreaker: Ausgehend vom Startwert -1.2 kommst du bei einer Abbruchgrenze von |x1(k+1) - x(k)| < 10^(-5) in 12 Schritten zum Ziel.
Die Nullstelle liegt dann bei x = - 1.22074.

Gruss yeti
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Aufgabe a) mal noch eine Kleinigkeit.

Das Newtonverfahren ist ein Verfahren zur Bestimmung von Nullstellen. Die angegebene Gleichung muss daher erst in eine geeignete Form gebracht werden.
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

frage an yeti: wie kommst du auf 12 Schritte?
ich weiss die genaue Formel im Moment auch nicht, ich erinnere mich nur noch an quadratische Konvergenz. Mit 12 Schritten bei Newton hast du mehr Stellen als irgendein normaler Taschenrechner anzeigen kann. Ich denke mit 3 oder 4 müsstest man die Genauigkeit auf 10^(-5) schon sicher haben.
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo quarague,

ja, das mit der quadratischen Konvergenz ist schon richtig. Aber hier, bei diesem konkreten Beispiel, habe ich mir keine tiefsinnigen Gedanken gemacht. Nach optischer Prüfung des Graphen und der Wahl des Startwerts habe ich einfach schnell ein Progrämmchen gebastelt und es laufen lassen. Abbruchkriterium . Resultate siehe unten:

1.00000000000000 -1.20000000000000
2.00000000000000 -1.23021032504780
3.00000000000000 -1.21707708110875
4.00000000000000 -1.22227085176135
5.00000000000000 -1.22012617537348
6.00000000000000 -1.22099711443163
7.00000000000000 -1.22064096251099
8.00000000000000 -1.22078619384001
9.00000000000000 -1.22072690321965
10.00000000000000 -1.22075109721776
11.00000000000000 -1.22074122277474

mit Fehlergrenze :

1.00000000000000 -1.20000000000000
2.00000000000000 -1.23021032504780
3.00000000000000 -1.21707708110875
4.00000000000000 -1.22227085176135
5.00000000000000 -1.22012617537348
6.00000000000000 -1.22099711443163
7.00000000000000 -1.22064096251099
8.00000000000000 -1.22078619384001
9.00000000000000 -1.22072690321965
10.00000000000000 -1.22075109721776
11.00000000000000 -1.22074122277474
12.00000000000000 -1.22074525257554
13.00000000000000 -1.22074360794472
14.00000000000000 -1.22074427913801
15.00000000000000 -1.22074400521463
16.00000000000000 -1.22074411700635
17.00000000000000 -1.22074407138265
18.00000000000000 -1.22074409000229
19.00000000000000 -1.22074408240336
20.00000000000000 -1.22074408550459
21.00000000000000 -1.22074408423894
22.00000000000000 -1.22074408475546
23.00000000000000 -1.22074408454466
24.00000000000000 -1.22074408463069


Gruss yeti
 
 
Stormbreajer Auf diesen Beitrag antworten »

Und könntet ihr bitte so nett sein die andere Afugabe mit dem Sinus nochmal als Beispiel zu lösen? wäre sehr nett!!
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Na die geht genauso wie die andere auch.
Nimm die Funktion:

So und damits nicht so schwer wird kriegst du noch einen kleine Graphen als Starthilfe.
Stormbreaker Auf diesen Beitrag antworten »

Aber Egal, bei mir sehen die Graphen auf dem TI anders aus. {Nachdem ich es aus Radian umgestellt hab (von Degree), kam dasselbe wie bei dir raus. Warum muss ich es grad bei diesen Funktionen auf Radian umstellen?}
Es gibt schon alleine einen Unterschied zwischen und . Okay, die Nullstellen sind für beide Funktionen gleich:
bzw. .
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst ja nur die Nullstellen bestimmen da ist das wie du ja selber bemerkt hast egal. Was die Sache mit Winkel oder Bogenmass angeht so ist es bei Sinus Funktion ganz und gar üblich den Winkel in Bogenmass zu nehmen.

Edit: Jaja wenn man die Postings die man so fasst nochmal lesen würde würde es manchmal wirklich helfen
Stormbreaker Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, habs nun verstanden.
Nur die Frage mit Winkel- und Bogenmaß bleibt.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst natürlich Bogenmaß nehmen (Egal hats falschrum gesagt), denn in der Analysis nimmt man immer Bogenmaß. Das heißt, immer wenn du es mit einer Sinusfunktion zu tun hast, Bogenmaß!! Denn sie ist übers Bogenmaß definiert, da man mit dem Bogenmaß eine Länge hat (Kreisbogen).
Gradmaß verwendet man eigentlich nur dann, wenn man irgendwelche geometrischen Rechnungen macht!
etzwane Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
...
Gradmaß verwendet man eigentlich nur dann, wenn man irgendwelche geometrischen Rechnungen macht!

Und natürlich im realen Leben außerhalb der Mathematik, das spricht man auch nicht unbedingt von oder von
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube ich will nochmal an yetis Ergebnis herummäkeln ;-)
die Näherungswerte, die mein beim Newtonverfahren bekommt bilden eine monotone Folge, die Funktion ist konvex und wenn man sich das graphisch anguckt, ist das ganz logisch. Wenn der Startwert größer als die Nullstelle ist, sind es alle übrigen Näherungen auch.
Bei deinem Computerprogramm hast du allerdings eine Folge angegeben, die um die Nullstelle oszilliert, im abwechselnd ein Wert über einer unter der Nullstelle. Entweder liegt das an Rechenungenauigkeit (was ich aber nicht glaube) oder daran das dein Programm doch nicht nach dem klassischen Newtonverfahren rechnet. Das stimmt auch mit der Beobachtung überein, das die Werte viel zu langsam konvergieren.
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

@quarage: Geduld, quarage. Du hast vollkommen recht! Ich bin gerade am Schreiben meiner Korrektur. Da ich in LaTeX aber eine völlige Niete bin, dauert es ewig. Aber es kommt Klo

yeti
quarague Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe jetzt mal auf Papier den Wert für x1 ausgerechnet und bin irgendwie verwirrt.
ich komme auf

Beochbachtung 1: diese Näherung ist deutlich besser als die erste von yetis Programm
Beochbachtung 2: sie liegt auf der anderen Seite der genauen Nullstelle, die yetis Programm berechnet hat
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »
NEWTON-Verfahren, Fixpunktsatz von BANACH
@ Stormbreaker
@ quarague: Du hast eine witzige Signatur: "Genialität ist die Erlaubnis, etwas offensichtlich Idiotisches zu tun, ohne ein Idiot zu sein". Leider stimmt die Umkehrung des Satzes nicht. Ich habe zwar offensichtlich etwas Idiotisches getan ohne ein Idiot zu sein (nehme ich zumindest an), bin aber leider kein Genie unglücklich .

Konkret: Nach deinem Einwand bezüglich der Anzahl der Iterationen habe ich noch einmal die Resultate meines Progrämmchens angeschaut und bin dann selber stutzig geworden. Daraufhin habe ich auf der Basis des BANACH'schen Fixpunktsatzes (auf dem beruht das NEWTON-Verfahren ja) die Nullstellensuche noch einmal genauer unter die Lupe genommen (es geht hier nur um die eine Nullstelle in der ungefähren Umgebung von x = -1.2, ersichtlich aus dem Graphen der Funktion).

Sei das betrachtete Intervall.
NEWTON: . Sei die Fixpunktabbildung. Damit im Intervall genau eine Nullstelle existiert, muss eine Kontraktion sein. Dazu ist zu zeigen:
(die zweimalige Differenzierbarkeit von wird vorausgesetzt und ist in unserem konkreten Fall auch gegeben).


verläuft im Intervall streng monoton wachsend. Das absolute Maximum wird am rechten Rand erreicht und beträgt ungefähr . Das ist unser . Um die Anzahl der Iterationen abschätzen zu können, brauchen wir noch eine (1) Iteration.
Sei der Wert der Nullstelle. Dann gilt für die a priori - Fehlerschranke (Satz von BANACH): . Setzt man , so erhält man , also .

Daraufhin habe ich mein selbstgeschriebenes Programm überprüft und einen überaus läppischen Tippfehler in der Definition der Ableitung von gefunden. Es ist ein Wunder, dass das Verfahren überhaupt konvergierte! Damit bist du, lieber quarage, voll bestätigt smile !

Ich hänge hier noch die richtigen Resultate an:

» newton_001
Abbruchgrenze ? 1e-5

Index = 4 Nullstelle = -1.22074408460623

1.000000000000000e+000 -1.200000000000000e+000
2.000000000000000e+000 -1.221380243572395e+000
3.000000000000000e+000 -1.220744660464566e+000
4.000000000000000e+000 -1.220744084606232e+000


» newton_001
Abbruchgrenze ? 1e-10

Index = 5 Nullstelle = -1.22074408460576

1.000000000000000e+000 -1.200000000000000e+000
2.000000000000000e+000 -1.221380243572395e+000
3.000000000000000e+000 -1.220744660464566e+000
4.000000000000000e+000 -1.220744084606232e+000
5.000000000000000e+000 -1.220744084605759e+000

@Stormbreaker: Tut mir leid, wenn ich dich mit meinen falschen Resultaten verwirrt habe.

Gruss yeti

Edit: Komme zu spät, aber wie du siehst, gibt es keinen Grund, verwirrt zu sein. Dein Resultat stimmt mit dem meinen (jetzt!) vollkommen überein. Ich hoffe, Alles hat jetzt seine Richtigkeit.
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