gleichung mit hilfe von binomen

23.09.2007, 12:02

gleichung mit hilfe von binomen

Könnte mir diese Aufgabe jemand erklären?
( Wenn es geht bitte für ganz dumme)

(x-7) (x+7)=(x+8)² -1

Ich komme da einfach auf kein richtiges ergebnis! verwirrt

Danke schonmal im Vorraus!

23.09.2007, 12:11

mYthos

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Schreib bitte mal, was du bisher gerechnet hast!

mY+

23.09.2007, 12:21

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Ich brauche eine art spezielle lösung dafür!

PS: Meine lösungen habe ich leider nicht mehr verfügbar

23.09.2007, 12:26

therisen

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Sollst du alle reellen x bestimmen, die obige Gleichung erfüllen? Falls ja, dann multipliziere aus und benutze die abc-Formel/pq-Formel.

23.09.2007, 12:27

mYthos

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Was verstehst du unter "spezielle Lösung"?? Falls du eine Komplettlösung hier erwartest, muss ich dich enttäuschen.

Multipliziere doch einfach auf beiden Seiten aus, dann siehst du bereits, dass da was wegfällt ...

@therisen: abc-pq Formel nicht notwendig!

mY+

23.09.2007, 12:27

Bjoern1982

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Zitat:

und benutze die abc-Formel/pq-Formel

Die wird man hier nur nicht unbedingt brauchen Augenzwinkern

23.09.2007, 12:32

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Das Problem besteht darin,dass ich die quadrate nicht wegbekomme!

23.09.2007, 12:32

tmo

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die klassiche variante wäre halt ausmultiplizieren.

eine vielleicht etwas schönere variante wäre:

$\begin{eqnarray*} (x-7)(x+7) = (x+8)^2 - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x-7)(x+7) = ((x+7)+1)^2 - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x-7)(x+7) = (x+7)^2 + 2(x+7) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x+7)((x-7)-((x+7)+2)) = 0 \end{eqnarray*}$

23.09.2007, 12:35

mYthos

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Zitat:

Original von tmo
die klassiche variante wäre halt ausmultiplizieren.

eine vielleicht etwas schönere variante wäre:

$\begin{eqnarray*} (x-7)(x+7) = (x+8)^2 - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x-7)(x+7) = ((x+7)+1)^2 - 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x-7)(x+7) = (x+7)^2 + 2(x+7) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x+7)((x-7)-((x+7)+2)) = 0 \end{eqnarray*}$

Was soll das bringen, ausser dass es ziemlich umständlich ist ??

mY+

23.09.2007, 12:38

tmo

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sieht doch schöner aus Big Laugh

naja aber eigentlich bin ich schon der meinung, dass man erst ausmultiplizieren sollte, wenn es wirklich nötig ist, denn ausmultiplizieren ist immer möglich, während faktorisieren schon schwerer sein kann.

bei dieser aufgabe ist es völlig egal, aber es gibt genug gleichungen, bei denen ausmultliplizeren den tod bringt.

23.09.2007, 12:44

mYthos

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Ich bin auch deiner Meinung, dass Faktorisieren Vorrang hat. Aber nur dann, wenn diese Faktoren auf normalen Wege abzuspalten sind. Das was du gemacht hast, ist sicher "schön", aber auf das kommt man wahrscheinlich nur, wenn man bereits über die Lösung Bescheid weiss .. Big Laugh

mY+

23.09.2007, 12:45

Leopold

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Gemeint ist wohl Folgendes:

$\begin{eqnarray*} (x-7)(x+7) = (x+8)^2 - 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ (x-7)(x+7) = (x+8 -1)(x+8+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -7 \end{eqnarray*}$ ist offenbar eine Lösung dieser Gleichung. Division durch $\begin{eqnarray*} x+7 \end{eqnarray*}$ führt auf eine (unlösbare) lineare Gleichung.

23.09.2007, 12:49

tmo

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das ist dann natürlich noch schöner smile

23.09.2007, 12:53

mYthos

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Division durch (x + 7) ist bei der Gleichung grundsätzlich nicht erlaubt, weil sonst eine Lösung verloren geht. Eben nur Faktorisieren, weil dieser Ausdruck Null werden kann bzw. zu Null wird. Daher liefert die Division im Weiteren einen Widerspruch.

Das ist genau so wie z.B. bei x(x-1) = x(x-2), die Division durch x ist grundsätzlich nicht erlaubt.

@tmo: Gratulation zum "1000er"! Big Laugh

mY+

23.09.2007, 12:55

therisen

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Doch, wenn man vorher $\begin{eqnarray*} x=-7 \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen hat (bzw. als Lösung erkannt hat), darf man das schon machen Augenzwinkern

23.09.2007, 13:04

mYthos

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Zitat:

Original von therisen
Doch, wenn man vorher $\begin{eqnarray*} x=-7 \end{eqnarray*}$ ausgeschlossen hat (bzw. als Lösung erkannt hat), darf man das schon machen Augenzwinkern

Natürlich weiss ich, was damit gemeint ist. Dennoch lege ich ein Veto dagegen ein Augenzwinkern

. Dem Schüler soll nicht suggeriert werden, dass die Division durch einen Faktor, der die Unbekannte enthält, von vornherein erlaubt ist. Sie darf nur dann geschehen, wenn ausgeschlossen ist, dass dieser Faktor Null werden kann. *

Der Faktor ist auszuklammern, das Produkt in dieser Faktorform Null zu setzen, und daraus alle Faktoren nacheinander zu untersuchen, ob und wann sie zu Null werden können.

mY+

23.09.2007, 13:07

tmo

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man kann es doch einfach selbst per fallunterscheidung ausschließen Augenzwinkern

aber praktisch gesehen ist das eigentlich genau dassselbe wie alles auf eine seite bringen, ausklammern und dann die faktoren betrachten. is halt jedem selbst überlassen, wie man es aufschreibt würde ich sagen.

23.09.2007, 13:14

mYthos

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* Beispiele, wo die Division gemacht werden kann bzw. auch soll:

$\begin{eqnarray*} x^4 + x^3 - 4x^2 + x + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Division durch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ möglich, weil x hier nie Null werden kann

$\begin{eqnarray*} x^2 + x - 4 + \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^2} = 0 \end{eqnarray*}$

....

$\begin{eqnarray*} \sin x = 2 \cos x \end{eqnarray*}$

Division durch $\begin{eqnarray*} \cos x \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \cos x = 0 \end{eqnarray*}$ kann in dieser Gleichung nie eintreten, denn dann ist der Sinus gleich 1) führt zu $\begin{eqnarray*} \tan x = 2 \end{eqnarray*}$

....

mY+

23.09.2007, 15:04

Leopold

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@ mYthos

Deine Einwände sind prinzipiell berechtigt. Allerdings meinte ich, sie, wenn auch in knappster verbaler Form, berücksichtigt zu haben:

Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} -7 \end{eqnarray*}$ ist offenbar eine Lösung dieser Gleichung. Division durch $\begin{eqnarray*} x+7 \end{eqnarray*}$ führt auf eine (unlösbare) lineare Gleichung.

Für $\begin{eqnarray*} x \in G = \mathbb{R} \setminus \{ -7 \} \end{eqnarray*}$ kann eben $\begin{eqnarray*} x+7 \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ werden. Daher darf man über der Grundmenge $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ auch durch $\begin{eqnarray*} x + 7 \end{eqnarray*}$ dividieren (Fallunterscheidung). So genau habe ich das natürlich in meinem Beitrag nicht aufgeschrieben, der ja auch eher ein Hinweis denn eine Musterlösung sein sollte.
Aus pädagogischen Gründen ist eine Faktorisierung einer Division immer vorzuziehen, um den Schüler vor Schaden zu bewahren. Denn gerade der schwache Schüler denkt im entscheidenden Moment nicht daran, daß der Faktor, durch den er dividiert, $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ werden könnte. Deshalb hier noch einmal die "pädagogisch einwandfreie" Musterlösung:

$\begin{eqnarray*} (x-7)(x+7) = (x+8)^2 - 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ (x-7)(x+7) = (x+8-1)(x+8+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ (x-7)(x+7) = (x+7)(x+9) \ \ \Leftrightarrow \ \ (x-7)(x+7) - (x+7)(x+9) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ (x+7) \left( (x-7) - (x+9) \right) = 0 \ \ -16(x + 7) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x = -7 \end{eqnarray*}$

Und die letzte Aussageform ist offenbar nur durch die Einsetzung $\begin{eqnarray*} -7 \end{eqnarray*}$ erfüllbar. Daher ist $\begin{eqnarray*} L = \{ -7 \} \end{eqnarray*}$ die Lösungsmenge.

23.09.2007, 16:53

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Warum (x+8 -1) (x+8+1)

23.09.2007, 16:58

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Vielleicht könnte mir jemand jeden schritt erklären wenn es geht..

23.09.2007, 16:59

WebFritzi

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Das ist die dritte binomische Formel mit a = x+8 und b = 1.

23.09.2007, 17:03

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also ich kenne die so:

(a+B)mal(a-b) = a²-b²

23.09.2007, 17:08

WebFritzi

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Genau die ist es auch. Du brauchst nur einzusetzen.

23.09.2007, 17:10

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könnte mir das mal jemand schritt für schritt erklären sonst dreh ich noch durch

23.09.2007, 17:13

hxh

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will mich ja nicht einmischen aber seine frage ist sicher wie man von:

$\begin{eqnarray*} (x+8)² -1 \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} (x+8-1) (x+8+1) \end{eqnarray*}$

warum man wohl die -1 da rein zieht oder wie das genau gemacht wurde

23.09.2007, 17:14

WebFritzi

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Du wirst sicher nicht durchdrehen, wenn du mal ein wenig selber nachdenkst. Wenn du zu keinem Schluss kommst: wo genau liegen dein Probleme? Das mit der binomischen Formel habe ich dir ja jetzt erklärt.

@hxh: Das habe ich oben schon lange erklärt.

23.09.2007, 17:14

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/
geanu

23.09.2007, 17:14

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/
entschuldigung,cih meinte: GENAU

23.09.2007, 17:15

WebFritzi

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Re: /

Zitat:

Original von sh
genau

Lies meinen Beitrag!

23.09.2007, 17:25

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Andere Aufgabe
nehmen wir mal eine andere aufgabe und ich werde euch genauer erklären wie ich das rechnen soll!

Also

Bestimme die Lösungsmenge

(x-4)²-(x-5)² = 0

ich soll dies dann mit Hilfe von bionomischen formaeln rechnen
dies sieht ungefähr so aus:

x²-2 mal4 mal x+4² - x²-2 mal 5 mal x+5²

Mein Lehrer will,dass ich die Quadratischen Zahlen(und natürlich auch die Multiplikation in der Mitte) ausrechene

also x²-8x+16² - x²-10x+25²

An diesem Punkt komme ich nicht so richtig weiter,vor allen dingen verstehe ich nicht warum man die Quadrate wenn man sie ausgerechnet hat noch mal hoch 2 nehmen muss!
Und dann habe ich die Quadrate auch nicht wegbekommen,was die Sache nicht einfacher macht!

Ich hoffe damit könnt ihr eher was anfagen!

23.09.2007, 17:30

WebFritzi

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RE: Andere Aufgabe

Zitat:

Original von sh
(x-4)²-(x-5)² = 0

x²-8x+16² - x²-10x+25²

vor allen dingen verstehe ich nicht warum man die Quadrate wenn man sie ausgerechnet hat noch mal hoch 2 nehmen muss!

Muss man nicht. Das ist falsch. Gewöhn dir das ja wieder ab. Bei 16 und 25 kommt kein Quadrat mehr hin. Zudem musst du x²-10x+25 noch in eine große Klammer setzen.

23.09.2007, 17:41

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kannst du mir dan mal die lösung geben?
ABER BITTE MIT SCHRITT FÜR SCHRITT ERKLÄRUNG!

23.09.2007, 17:45

WebFritzi

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Zitat:

Original von sh
kannst du mir dan mal die lösung geben?
ABER BITTE MIT SCHRITT FÜR SCHRITT ERKLÄRUNG!

Noch mehr Forderungen? NEIN!! Das hier ist kein Lösungsboard. Es wird von dir erwartet, dass du mitarbeitest. Du wirst von keinem hier eine komplette Lösung deiner Aufgabe erhalten. Tut mir leid.

Ich habe dir bereits Tipps gegeben, wie du weitermahen sollst. Wenn dir etwas nicht klar ist, dann frag nach.

23.09.2007, 17:46

WebFritzi

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Ich zitiere unseren Super-Lehrer hier:

Zitat:

Original von mYthos
Was verstehst du unter "spezielle Lösung"?? Falls du eine Komplettlösung hier erwartest, muss ich dich enttäuschen.

23.09.2007, 17:49

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/
ich will doch nur die aufgabe verstehen!

nimm von mir aus irgendeine aufgabe aber erkläre sie mir schritt für schritt!

23.09.2007, 17:51

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so wie die von leopold,nur mit erklärung,denn dies wäre zur abwechslung mal hilfreich!

23.09.2007, 17:51

Leopold

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Warum nicht die Schritt-für-Schritt-Erklärung? Der Proband kann ja dann an einem weiteren Beispiel demonstrieren, daß er es verstanden hat. Und wenn nicht - selber schuld!

$\begin{eqnarray*} (x-4)^2 - (x-5)^2 = 0 \end{eqnarray*}$ zweimal II. binomische Formel

$\begin{eqnarray*} (+) \, \left( x^2 - 8x + 16 \right) - \left( x^2 - 10x + 25 \right) = 0 \end{eqnarray*}$ Plus- und Minusklammerregel

$\begin{eqnarray*} x^2 - 8x + 16 - x^2 + 10x - 25 = 0 \end{eqnarray*}$ gleichartige Glieder addieren/subtrahieren

$\begin{eqnarray*} 2x - 9 = 0 \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten 9 addieren

$\begin{eqnarray*} 2x = 9 \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten durch 2 dividieren

$\begin{eqnarray*} x = \frac{9}{2} \end{eqnarray*}$

23.09.2007, 17:51

WebFritzi

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Nun, nein. Erstmal nicht. Du kannst das selber. Wir nehmen die letzte Aufgabe. SChreib die nochmal bis zu dem Punkt auf, an dem du nicht weiterkommst.

@Leopold: Sowas hat sh sicher auch in seinem/ihrem Buch stehen, und in der Schule stand das sicherlich auch schon an der Tafel.

23.09.2007, 17:52

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ich will wissen wie sowas im ALLGEMEINEN funktioniert!

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