Volumsberechnung mit Integral

14.03.2005, 20:54

zappelfry

Volumsberechnung mit Integral

Hallo!

Hätte eine kleine frage, hab keinen plan, wie das geht:
Berechnen Sie das volumen des körpers, das von der angegebenen fläche begrenzt wird:
$\begin{eqnarray*} (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=x \end{eqnarray*}$

das ganze müsste mit einem doppel- oder dreifachintegral zu lösen sein.

mfg und danke im voraus
zappelfry

15.03.2005, 07:09

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \left( x^2 + y^2 + z^2 \right)^2 = x \end{eqnarray*}$

Da die linke Seite stets nichtnegativ ist, muß $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ gelten. Durch Umformung erhält man

$\begin{eqnarray*} y^2 + z^2 = \sqrt{x} - x^2 \end{eqnarray*}$

Schnitte parallel zur $\begin{eqnarray*} yz \end{eqnarray*}$ -Ebene schneiden daher Kreise aus, und zwar mit dem Radius $\begin{eqnarray*} r(x) = \sqrt{\sqrt{x} - x^2} \end{eqnarray*}$ beim Niveau $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Es handelt sich also um einen Rotationskörper. Damit die äußere Wurzel definiert ist, muß

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} - x^2 \geq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ 1 - x^{\frac{3}{2}} \geq 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x \leq 1 \end{eqnarray*}$

gelten. Daher findet man das Volumen $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} V = \pi \int_0^1~\left( r(x) \right)^2~\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

15.03.2005, 21:52

zappelfry

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besten dank dir, leopold!
hat mir sehr weitergeholfen.

was mich etwas überrascht hat, ist, dass man dieses volumen mit nur einem integral berechnen kann.
ist es eigentlich auch möglich, dieses beispiel durch umwandlung in kugelkoordinaten zu lösen?

15.03.2005, 22:38

Leopold

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Nur scheinbar kommt man mit nur einer Integration aus, da ja Fubini in der Kreisformel

$\begin{eqnarray*} \int_{y^2 + z^2 \leq \left( r(x) \right)^2}^{}~~\mathrm{d}y \; \mathrm{d}z \ = \ \pi \left( r(x) \right)^2 \end{eqnarray*}$

versteckt ist.

16.03.2005, 13:35

zappelfry

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mit hilfe dieser überlegungen wollte ich jetzt ein ähnliches beispiel lösen:
$\begin{eqnarray*} (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=\frac{64}{x^{2} +y^{2}} \end{eqnarray*}$

bekanntlich ist ja $\begin{eqnarray*} r^{2}= x^{2}+ y^{2} \end{eqnarray*}$

ich habe nun versucht, ähnlich wie beim vorherigen beipspiel das problem zu lösen.
ein quadrat muss immer >0 sein, daher muss gelten:
$\begin{eqnarray*} \frac{64}{x^{2}+ y^{2} } \geq 0 \end{eqnarray*}$
daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} r\leq 8 \end{eqnarray*}$

ebenfalls muss gelten:
$\begin{eqnarray*} x^{2}+y^{2} \geq 0 \end{eqnarray*}$
daher:
$\begin{eqnarray*} r\geq 0 \end{eqnarray*}$

danach habe ich die gleichung nach z umgeformt:
$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{\frac{8-r^{3} }{r}} \end{eqnarray*}$

da wir keine komplexen zahlen wollen (zumindes hier nicht Augenzwinkern

), muss das argument unter der wurzel größer 0 sein.
daraus folgt, dass r kleiner 2 sein muss.

daher muss ich wahrscheinlich bei r von 0 bis 2 integriern, oder?

danach weiß ich aber nicht mehr wirklich weiter.
mit den grenzwerten von r (0, 2) wollte ich mir z berechnen. allerdings wird durch r dividiert (s. o.), daher bekomme ich für z einen undef wert.

kann mir bitte noch jemand weiterhelfen?
kann man das beispiel nur mit hilfe der kugelkoordinaten lösen?

20.03.2005, 13:29

zappelfry

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na gut, dann werd ich es halt über kugelkoordinaten berechnen... Hammer

21.03.2005, 15:15

Leopold

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Deine anfänglichen Ausführungen verstehe ich nicht. Was soll z.B. das mit

$\begin{eqnarray*} \frac{64}{x^2 + y^2} \geq 0 \ \ \Rightarrow \ \ r \leq 8 \end{eqnarray*}$

Versuche doch, dir diesen Körper vorzustellen. Auflösen nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ gibt:

$\begin{eqnarray*} z = \pm \sqrt{\frac{8}{\sqrt{x^2 + y^2}}- \left( x^2 + y^2 \right)} \end{eqnarray*}$

Betrachte nun Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y,0) \end{eqnarray*}$ in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene. Zu Punkten in dieser Ebene, die auf dem Kreis um $\begin{eqnarray*} (0,0,0) \end{eqnarray*}$ vom Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ liegen, für die also $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = r^2 \end{eqnarray*}$ gilt, gehören dieselben beiden $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Werte. Der Körper ist also ein Rotationskörper mit der $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse als Rotationsachse, und er ist ferner symmetrisch zur $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene (wegen $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ ). Wenn man für $\begin{eqnarray*} r \in [0,2] \end{eqnarray*}$ die Funktion

$\begin{eqnarray*} z = f(r) = \sqrt{\frac{8}{r} - r^2} \end{eqnarray*}$

betrachtet (bei $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ mit dem Grenzwert von rechts als uneigentlichem Wert), so stellt man durch eine einfache Kurvendiskussion von $\begin{eqnarray*} z \mapsto \left( f(r) \right)^2 \end{eqnarray*}$ fest, daß $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ streng monoton von $\begin{eqnarray*} z = \infty \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} z = 0 \end{eqnarray*}$ fällt, wenn $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ zunimmt. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist also umkehrbar mit $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ als Umkehrabbildung. Und der Körper ist ein unendlicher Schlauch um die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse herum mit der dicksten Ausbuchtung bei $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} r=2 \end{eqnarray*}$ . Sein Volumen $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ wird daher durch das uneigentliche Integral

$\begin{eqnarray*} V \ = \ 2 \pi \int_0^{\infty}~\left( f^{-1}(z) \right)^2~\mathrm{d}z \end{eqnarray*}$

berechnet (der Faktor 2 berücksichtigt die Symmetrie zur $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene). Da es nicht so einfach scheint, die Umkehrfunktion explizit zu bestimmen, substituiert man

$\begin{eqnarray*} z = f(r) \, , \ \mathrm{d}z = f'(r) \; \mathrm{d}r \end{eqnarray*}$

und erhält

$\begin{eqnarray*} V \ = \ 2 \pi \int_2^0~r^2 f'(r)~\mathrm{d}r \ = \ \ -2 \pi \int_0^2~r^2 f'(r)~\mathrm{d}r \end{eqnarray*}$

In

$\begin{eqnarray*} r^2 f(r) = r^2 \sqrt{\frac{8}{r} - r^2} = \sqrt{8r^3 - r^6} \end{eqnarray*}$

erhält man für $\begin{eqnarray*} r \to 0 \end{eqnarray*}$ den Grenzwert 0, so daß man mit partieller Integration

$\begin{eqnarray*} V \ = \ -2 \pi \left( \left. r^2 f(r) \; \right|_0^2 - 2 \int_0^2~r f(r)~\mathrm{d}r\right) \ = \ 4 \pi \int_0^2~\sqrt{8r - r^4}~\mathrm{d}r \end{eqnarray*}$

bekommt. Und das letzte Integral kann mit der Substitution $\begin{eqnarray*} r = 2t^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

Ich garantiere bei diesen vielen Umformungsschritten nicht für die Richtigkeit der letzten Formel. Das kann ja, wer Lust hat, alles einmal nachrechnen und gegebenenfalls korrigieren.

21.03.2005, 20:22

zappelfry

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Zitat:

Original von Leopold
Deine anfänglichen Ausführungen verstehe ich nicht. Was soll z.B. das mit

$\begin{eqnarray*} \frac{64}{x^2 + y^2} \geq 0 \ \ \Rightarrow \ \ r \leq 8 \end{eqnarray*}$

na ja, damit wollte ich mir wie beim vorigen beispiel, die integrationsgrenzen für r herleiten.
dabei bin ich auch darauf gekommen, dass der sich der radius zwischen 0 und 2 und z zwischen 0 und unendlich bewegt.
du hast ja auch beim vorigen beispiel die integrationsgrenzen für x durch solche überlegungen gefunden, wie ich sie bei diesem beispiel dann auch anwenden wollte.

besten dank dir nochmals, das beispiel werd ich mir morgen nochmals genau durchschauen. Augenzwinkern

22.03.2005, 13:09

Leopold

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Zitat:

Original von zappelfry

Zitat:

Original von Leopold
Deine anfänglichen Ausführungen verstehe ich nicht. Was soll z.B. das mit

$\begin{eqnarray*} \frac{64}{x^2 + y^2} \geq 0 \ \ \Rightarrow \ \ r \leq 8 \end{eqnarray*}$

Ich kann mich einfach des Verdachts nicht erwehren, daß du hier gerechnet hast, also würde da

$\begin{eqnarray*} \frac{64}{x^2 + y^2} \geq 1 \end{eqnarray*}$

stehen. Denn deine Folgerung kann man aus der Ungleichung auf keinen Fall ziehen.

22.03.2005, 15:37

zappelfry

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Zitat:

Original von Leopold

Ich kann mich einfach des Verdachts nicht erwehren, daß du hier gerechnet hast, also würde da

$\begin{eqnarray*} \frac{64}{x^2 + y^2} \geq 1 \end{eqnarray*}$

stehen. Denn deine Folgerung kann man aus der Ungleichung auf keinen Fall ziehen.

hast natürlich recht. hatte da wohl ein blackout Prost

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