Fehlerabschätzung

23.09.2007, 14:49	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlerabschätzung Approximieren Sie einen Halbkreis durch Interpolation der Funktionswerte und Werte der ersten Ableitung der Koordinatenfunktionen $\begin{eqnarray} [\cos(t), \sin(t)] \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t = 0,~\pi \end{eqnarray}$ mit kubischen Polynomen [p(x), q(x)]. Bestimmen sie die Newton-Form von p und q Geben Sie eine Abschätzung für den Fehler $\begin{eqnarray} \max_{t\in [0, \pi]}~\sqrt{[x(t)-p(t)]^2+[y(t)-q(t)]^2} \end{eqnarray}$ Lösung von a $\begin{eqnarray} p(t)&&=1-\frac{2}{\pi^2}(t-0)^2+\frac{4}{\pi^3}(t-0)^2(x-\pi)=\\&&=\frac{4}{\pi^3}t^3-\frac{6}{\pi^2}t^2+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q(t)&&=1\cdot (t-0) - \frac{1}{\pi}\cdot (t-0)^2 =\\&&=-\frac{1}{\pi}t^2+t \end{eqnarray}$ Für Interpolationsfehler (auf [a,b]) mit IP vom Maximalgrad 3 gilt die allg. Schreibweise $\begin{eqnarray} \|\varepsilon(x)\|=\|f(x)-p(x)\|=\|\omega(x)\cdot \frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}\|,~\xi \in [a,b] \end{eqnarray}$ Für die Aufgabe folgt dann: $\begin{eqnarray} \|\varepsilon_x\| = \|x(t)-p(t)\|=\|t^2(t-\pi)^2 \cdot \frac{\cos(s)}{24}\|,~s \in [0,\pi] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\varepsilon_y\| =\|y(t)-q(t)\|= \|t^2(t-\pi)^2 \cdot \frac{\sin(s)}{24}\|,~s \in [0,\pi] \end{eqnarray}$ Könnte mir bitte jemand einmal den Fehler $\begin{eqnarray} \max_{t\in [0, \pi]}~\sqrt{[x(t)-p(t)]^2+[y(t)-q(t)]^2} \end{eqnarray}$ abschätzen? Ich komme nämlich auf eine andere Lösung als die in der zur Aufgabe gehörigen Musterlösung. Danke, tigerbine
23.09.2007, 17:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Kann mir den keiner helfen? Man darf die Fehlerabschätzungen schon benutzen. Also $\begin{eqnarray} \max_{t\in [0, \pi]}~\sqrt{[x(t)-p(t)]^2+[y(t)-q(t)]^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \max_{t\in [0, \pi]}~\sqrt{[t^2(t-\pi)^2 \cdot \frac{\cos(s)}{24}]^2+[t^2(t-\pi)^2 \cdot \frac{\sin(s)}{24}]^2} \end{eqnarray}$
24.09.2007, 01:22	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Das ist doch eigentlich Analysis, kann denn da keiner was zu sagen? Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} s \in [0,\pi] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \max_{t\in [0, \pi]}~\sqrt{[t^2(t-\pi)^2 \cdot \frac{\cos(s)}{24}]^2+[t^2(t-\pi)^2 \cdot \frac{\sin(s)}{24}]^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \max_{t\in [0, \pi]}~\sqrt{[\frac{t^2(t-\pi)^2}{24}]^2 \cdot \cos^2(s)+[\frac{t^2(t-\pi)^2}{24}]^2 \cdot \sin^2(s)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\max_{t\in [0, \pi]}~\sqrt{\Bigl(\cos^2(s) + \sin^2(s)\Bigr) \cdot[\frac{t^2(t-\pi)^2}{24}]^2 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\max_{t\in [0, \pi]}~\sqrt{[\frac{t^2(t-\pi)^2}{24}]^2 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\max_{t\in [0, \pi]}~[\frac{t^2(t-\pi)^2}{24}] \end{eqnarray}$ Maximum von $\begin{eqnarray} t^2(t-\pi)^2 \end{eqnarray}$ liegt bei $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{\frac{\pi^2}{4}\cdot \frac{\pi^2}{4}}{24} =\frac{\pi^4}{384} \end{eqnarray}$ In der Musterlösung steht folgende Abschätzung: $\begin{eqnarray} \max_{t\in [0, \pi]}~\sqrt{[x(t)-p(t)]^2+[y(t)-q(t)]^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \max_{t\in [0, \pi]} \frac{\sqrt{2}t^2(t-\pi)^2}{24} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{\sqrt{2}\pi^4}{192} \end{eqnarray}$ Wie kommen die darauf? Gilt hier denn nicht sin²(S) + cos²(s) = 1? Man könnte natürlich die Summe brutal mit 2 abschätzen Wenn dann aber t=0.5pi gewählt wird, warum dann 192 im Nenner?
24.09.2007, 10:48	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Die Abschätzung der Musterlösung scheint mir sehr brutal. Deine ist nachweislich besser. Ich konnte keinen Fehler in deiner Rechung finden. Da die Aufgabe lediglich heißt "Geben Sie eine Abschätzung an." ist die Musterlösung natürlich richtig (bis auf die letzte Gleichheit für t=pi/2, die ist offenbar falsch). Jedoch hast du gezeigt, dass man mit unwesentlich mehr Aufwand eine bessere Abschätzung findet.
24.09.2007, 12:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerabschätzung Danke Dir für das Lesen. Das Problem ist, das diese Aufgabentypen sehr unterschiedlich behandelt werden. Es ist zwar typisch, dass wenn nur "Abschätzung" dasteht eine grobe genommen wird, allerdings wird dann auch oft der Term, hier mit den t brutal abgeschätzt, in dem jeder einzelne maximiert wird. Bei anderen Fällen wird eine Abschätzung vorgegeben und man soll diese dann basteln. Ok, dann nehme ich nun meine Rechnung. Dann wird heute wieder mal was fertig.

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