Ordnung einer Newton-Cotes-Formel?

23.09.2007, 16:07

Natalie2

Ordnung einer Newton-Cotes-Formel?

Hallo,

ich habe ein Problem: Wie genau ist denn die Ordnung einer Newton-Cotes-Quadraturformel definiert?

Wir haben über das Halbierungsverfahren die Romberg-Integration hergeleitet.
Sei $\begin{eqnarray*} f \in C^{2m+2}[a,b] \end{eqnarray*}$ , so liefert die Trapezsumme $\begin{eqnarray*} T(h) \end{eqnarray*}$ (zur Schrittweite h) eine Quadraturformel mit dem Restglied (...) [hier einfach in Euler-Maclaurensche Summenformel eingesetzt].
Dann haben wir die Schrittweite halbiert und wieder das Restglied mit Euler-Maclaurenscher Summenformel betrachtet.
Nun betrachten wir:

$\begin{eqnarray*} \frac{4T(\frac{h}{2}) - T(h)}{3} = (...) + \mathcal{O}(h^{2m+2}) \end{eqnarray*}$ [die Pünktchen einfach ausgerechnet - ist für die Ordnung ja nicht so wichtig]

Und dann steht als nächstes da:

Zitat:

Mit anderen Worten: Durch
$\begin{eqnarray*} T_1(h) := \frac{4T(\frac{h}{2}) - T(h)}{3} \end{eqnarray*}$
ist eine Quadraturformel der Ordnung 4 gegeben.

Mir ist nun überhaupt nicht klar, wo diese "4" herkommt? Vielleicht weiß ich auch nur nicht, wie die Ordnung genau definiert ist.

Ich hoffe nicht zuviel weggekürzt zu haben und mir kann jemand helfen?

23.09.2007, 16:24

tigerbine

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RE: Ordnung einer Newton-Cotes-Formel?
Ordnung von Quadraturformeln

Eine Quadraturformel $\begin{eqnarray*} I_n(f) \end{eqnarray*}$ hat die Ordnung $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , wenn sie alle Polynome $\begin{eqnarray*} p \in \Pi_{k-1} \end{eqnarray*}$ exakt integriert, d.h. wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} I(p)=I_n(p) \qquad \forall~ p \in \Pi_{k-1} \end{eqnarray*}$

Eine Quadraturformel der Ordnung k hat somit auch jede kleinere Ordnung als k. Zur Überprüfung der Ordnung einer Quadraturformel genügt es, wegen der Linearität von $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ , zu zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} I_n(p_j)=I(p_j) \qquad j=1,2,...,k \quad \text{für eine Polynombasis }p_1,...,p_k \text{ von } \Pi_{k-1} \end{eqnarray*}$

Besitzt $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ die Ordnung $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ , so nennt man die Quadraturformel interpolatorisch.

23.09.2007, 18:37

Natalie2

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Super, danke!

Dann fallen bei $\begin{eqnarray*} T_1(h) \end{eqnarray*}$ für Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq 3 \end{eqnarray*}$ alle Summanden nach dem Integral weg und man erhält die Ordnung 4 smile

05.10.2008, 00:12

tigerbine

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Hierzu ein Nachtrag, da in diesem Zusammenhang der Begriff Ordnung unterschiedlich verwendet wird.
Die Trapezregel, das h und das O(h)

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Ordnung einer Newton-Cotes-Formel?

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