Widerspruch bei nicht geradzahligen Wurzeln

15.03.2005, 15:20

peace2k2

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Widerspruch bei nicht geradzahligen Wurzeln

Hallo!

Hab ein ziemlich nerviges Problem was mich nicht loslässt. Also folgendes:

Mein Lehrer hat letztens behauptet:

$\begin{eqnarray*} -2= ^3\sqrt{-8}=(-8)^{1/3}=(-8)^{2/6}=^6\sqrt{-8^2}=2 \end{eqnarray*}$

Nach seiner Aussage steht dies im Mathebuch der 10. Klassen bei uns.

Nun habe ich im Buch "Oberstufenmathematik leicht gemacht - Band 1" von Peter Dörsam folgendes gelesen:

"Nicht geradzahlige Wurzeln sind dagegen auch für negative Zahlen definiert und sind immer eindeutig. Die $\begin{eqnarray*} ^3\sqrt{-8} \end{eqnarray*}$ ist die Zahl, die dreimal mit sich selbst multipliziert -8 ergibt. Hier gibt es eine (UND NUR EINE) Lösung, und zwar:

$\begin{eqnarray*} ^3\sqrt{-8}=-2 \end{eqnarray*}$ , denn es gilt: (-2)*(-2)*(-2)=-8

Wer hat nun Recht, Herr Dörsam oder mein Mathelehrer? verwirrt

verwirrt

Denn beides scheint ja logisch zu sein...

15.03.2005, 15:27

hummma

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Beide haben unrecht, weil die Potenzgesetze nur fuer nicht negative Basen definiert sind.

15.03.2005, 15:28

Egal

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Das ist der Grund warum man normalerweise immer sagt Wurzeln aus negativen Zahlen gehen nicht. Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8}=-2 \end{eqnarray*}$ ist eher symbolisch zu verstehen als Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3=-8 \end{eqnarray*}$

15.03.2005, 16:00

iammrvip

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Zitat:

Original von Egal
Das ist der Grund warum man normalerweise immer sagt Wurzeln aus negativen Zahlen gehen nicht.

Eines der vielen Probleme der Schulmathematik...und die Ungenauigkeiten bei Mathematiklehrer(innen).

Man kann die Wurzel aus wieder negativen Zahlen schon ziehen, das Problem ist nur das die Gleichungen in der Schulen nur auf den reellen Zahlen definiert sind. Jedoch muss man dafür auf das (doch umständliche und sehr komplexe smile

smile

) Gebiet der komplexen Zahlen (click bei Interesse) ausweichen.

Dabei wird nach Definition eine sogenannte imaginäre Einheit eingeführt. Man definiert (meist) den komplexen Zahlenbereich

$\begin{eqnarray*} \mathbb C = \left\{a+bi : a,b \in\mathbb R \wedge i^2 = -1\right\} \end{eqnarray*}$

Es muss aber auch die Addition, ... neu definiert werden.

15.03.2005, 16:09

AD

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Die Konvention, ungeradzahlige Wurzeln negativer Zahlen zuzulassen im Sinne von

$\begin{eqnarray*} \sqrt[m]{-n}:=-\sqrt[m]{n} \end{eqnarray*}$

ist dann gefährlich, wenn man zu komplexen Zahlen übergeht: Dann stimmt diese Definition nämlich nicht mit der dort üblichen Hauptwert-Definition überein! Im Komplexen ist nämlich gemäß dieser Hauptwert-Definition

$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8}=1+\sqrt{3}\,i \end{eqnarray*}$

15.03.2005, 16:11

Mathespezialschüler

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Wurzeln sind im Reellen nur für nichtnegative Zahlen definiert, das gilt auch für $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ .
Das wichtigste ist immer, genau zu unterscheiden, was ist eine dritte Wurzel aus a (a>=0) und was ist die Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3=a \end{eqnarray*}$ für beliebige a. Sicher könnte man sagen $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8}=-2 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} (-2)^3=-8 \end{eqnarray*}$ , aber das ist grad nur die obige Gleichung. Da Wurzeln nur für nichtnegative Zahlen definiert sind, muss man das hier also so machen, dass wenn man die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^3=a \end{eqnarray*}$ hat und a ist negativ, dann ist die reelle Lösung eben $\begin{eqnarray*} -\sqrt[3]{|a|} \end{eqnarray*}$ .

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15.03.2005, 16:41

peace2k2

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Vielen dank für die zahlreicehn Antworten. Also wnen ich es nun richtig verstanden habe, dann ist das Buch an dieser Stelle quasi ungenau Hammer

Hammer

@ Mathespezialschüler und iammrvip:
Ihr seid nicht wriklich 17? Wenn ja dann hab ich echt Angst vor euch traurig

traurig

bzw. eurem Wissen.

15.03.2005, 19:28

iammrvip

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Big Laugh

das hat ja noch keiner zum mir (uns?) gesagt Big Laugh

Big Laugh

Nein es stimmt, wir sind wirklich erst 17. MSS hat nur den großen Vorteil, dass er in einer Mathematikspezialklasse (/-kurs) ist; ich leider nicht traurig

traurig

Aber er kann dir das lieber selbst erklären.

Bei mir ist es die Hobby und Interesse. Falls du noch Interesse hast wie es dazu kam, sag Bescheid ^^.

15.03.2005, 19:35

peace2k2

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Das würde mich in der Tat interessieren!!! (Ich bin fast 20 und 13. Klasse (Mathe-LK) und hab begriffen, das ich vor gut zwei Jahren einen Fehler beim Wählen meiner Kurse gemacht habe)

15.03.2005, 20:01

iammrvip

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Ich mache Mathe/Chemie, bin 11. Klasse. Als wir physikalische Chemie gemacht haben, gab es Zeiten, wo ich auch dachte, war das wirklich richtig?? Ab seit wir nun bei chemischen Bindungen (Hybridierung, ...) sind, weiß ich das die Wahl richtig wahr Freude

Freude

.

Wie ich zu Mathe gekommen bin, schick ich dir mal als Pn, damit muss ich nicht alles User belästigen.

/edit: PS: siehe dein Nachrichtenordner Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

15.03.2005, 22:31

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Wurzeln sind im Reellen nur für nichtnegative Zahlen definiert, das gilt auch für $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ .

Es macht überhaupt keine Probleme, im Reellen Wurzeln mit beliebigem Radikanden bei ungeradem Wurzelexponenten zuzulassen, denn das Radizieren ist die Umkehrung des Potenzierens, und da gibt es bei ungerader Hochzahl (im Unterschied zu geraden Hochzahlen!) nicht die geringsten Schwierigkeiten, da die Funktionen $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^n \ \text{(}n \text{ ungerade)} \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsen und damit umkehrbar sind.

Die Probleme liegen daher nicht bei der Definition von $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ , sondern bei der Definition der Potenz für rationale Exponenten.

Also: $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{-8} = -2 \end{eqnarray*}$

Aber: $\begin{eqnarray*} (-8)^{\frac{1}{3}} \ \text{ist nicht definiert.} \end{eqnarray*}$

Die Identität $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$ gilt daher nur für nichtnegative Radikanden.

15.03.2005, 22:39

peace2k2

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@leopold: Jetzt habe ich es klipp und klar verstanden. Danke!!!

15.03.2005, 22:40

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von iammrvip
Big Laugh

Big Laugh

das hat ja noch keiner zum mir (uns?) gesagt Big Laugh

Big Laugh

Naja, zumindest haben sich einige schon darüber gewundert.

Zitat:

Original von iammrvip
Nein es stimmt, wir sind wirklich erst 17. MSS hat nur den großen Vorteil, dass er in einer Mathematikspezialklasse (/-kurs) ist; ich leider nicht traurig

traurig

Aber er kann dir das lieber selbst erklären.

Ist kein Vorteil, kann ich ja alles auch schon. Einziger Vorteil ist, dass ich mit dem Lehrer, der Dozent an der Uni ist, über die Themen, die ich schon kann, sprechen kann, auch wenn sie im Unterricht nich rangenommen werden (Bsp.: glm. Konvergenz).

Zitat:

Original von iammrvip
Bei mir ist es die Hobby und Interesse. Falls du noch Interesse hast wie es dazu kam, sag Bescheid ^^.

Das hört sich ja so an, als wäre ich "nur" in der Mathespezialklasse, wohingegen es für dich Hobby und Interesse sei. Für mich ist es das natürlich auch (für peace2k2).

@Leopold
Natürlich ist es kein Problem, das so zu machen. Ich denke doch, dass es klar ist, dass mir das klar ist. Hammer

Hammer

Aber man hat nunmal Wurzeln nur für nichtnegative Zahlen definiert (zumindest kenne ich das als allgemein bekannte Definition), genau wegen der rationalen Exponenten. Und nur das hab ich gesagt. Ich habe nicht behauptet, es mache keine Probleme, "im Reellen Wurzeln mit beliebigem Radikanden bei ungeradem Wurzelexponenten zuzulassen".

15.03.2005, 22:52

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@Leopold
Aber man hat nunmal Wurzeln nur für nichtnegative Zahlen definiert, genau wegen der rationalen Exponenten.

Wer ist "man"?
In einigen Schulbüchern wird das vielleicht so gemacht, allgemein ist das aber durchaus nicht üblich. Aber wie gesagt - nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{x} \end{eqnarray*}$ ist das Problem, sondern $\begin{eqnarray*} x^{\frac{p}{q}} \end{eqnarray*}$ .

Laßt uns doch $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ nach Lust und Laune auch für negative Radikanden berechnen, es gelten ja sogar die üblichen Wurzelgesetze (Verträglichkeit mit der Multiplikation und Division) uneingeschränkt.

Warum immer diese Verbote?
Das wäre ja genauso, als würde man die Null wieder abschaffen, zumindest bei der Multiplikation nicht zulassen, weil es bei der Umkehrrechnung Probleme gibt (Division durch 0).

Verbote sollte man doch erst dann aussprechen, wenn sie aus mathematischen Gründen erforderlich sind.

15.03.2005, 23:39

Mathespezialschüler

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Das "man" soll darstellen, dass es die allgemein bekannte Definition ist (zumindest kenne ich das so, das hab ich oben schon gesagt).
Ich bin ja gar nicht für dieses Verbot, im Gegenteil! Im Unterricht haben wir ja heute selbst mal das Experiment gemacht, $\begin{eqnarray*} \sqrt[2]{a} \end{eqnarray*}$ als diejenige nichtpositive Zahl b zu definieren, für die $\begin{eqnarray*} b^2=a \end{eqnarray*}$ ist. Dann haben wir auch entsprechend die Wurzelgesetze verändert.
Ich wüsste im Übrigen auch nicht, wo ich mich eigentlich für dieses Verbot ausgesprochen habe.

16.03.2005, 16:30

iammrvip

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ist kein Vorteil, kann ich ja alles auch schon. Einziger Vorteil ist, dass ich mit dem Lehrer, der Dozent an der Uni ist, über die Themen, die ich schon kann, sprechen kann, auch wenn sie im Unterricht nich rangenommen werden (Bsp.: glm. Konvergenz).

Genau sowas meinte ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Zitat:

Das hört sich ja so an, als wäre ich "nur" in der Mathespezialklasse, wohingegen es für dich Hobby und Interesse sei. Für mich ist es das natürlich auch (für peace2k2).

Nein, so war das auch nicht gemeint.

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