Was genau heißt n-mal diff'bar?

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MisterMagister Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau heißt n-mal diff'bar?
Hallo Leute.

Wir haben das wie folgt definiert:

Eine Funktion heißt n-mal diff'bar, falls existiert.

Meine Frage ist jetzt, wie oft ist z.B. diff'bar.

Der Definition nach unendlich oft den ab der dritten Ableitung sind zwar alle Ableitungen Null aber existent, oder habe ich das irgendwie falsch verstanden?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Was genau heißt n-mal diff'bar?
Das ist richtig. Alle Polynome sind beliebig oft differenzierbar. smile
swerbe Auf diesen Beitrag antworten »

jup, genau!
ALLE Polynome sind beliebig oft differenzierbar.....diese verallgemeinerung gillt aber eben nur für polynome und konstante funktionen.
von interesse sind desweiteren auch funktionen die sind....!
MisterMagister Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist klar. Die Ableitung einer stetigen Funktion ist nicht unbedingt wieder stetig. Da hatten wir auch ein paar Beispiel für.

Was mich jetzt noch interessieren würde, gibt es denn Funktionen die man ein paar mal ableiten kann und die (n+1)-te Ableitung existiert dann plötzlich nicht mehr?

Wie würden denn solche Funktionen aussehen?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Z.B. abschnittsweise definierte Funktionen:



Zweimal differenzierbar, die dritte Ableitung existiert an den Stellen -1 und 1 nicht mehr.
MisterMagister Auf diesen Beitrag antworten »

Also kriege ich durch Anpassen des Definitionesbereiches jede Funktion dazu unendlich oft differenzierbar zu sein. Richtig?
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt denn "durch Anpassen des Definitionsbereiches"?
Ich denke nicht, dass deine Aussage stimmt.
Denn wenn du den Definitionsbereich veränderst, dann hast du ja dadurch auch eine ganz andere Funktion!
MisterMagister Auf diesen Beitrag antworten »

Geht ne? Ob ich nun auf betrachte oder auf ganz für mich bleibt es dieselbe Funktion, nämlich .

Was ich aber eigentlich meinte, dass man zu jeder Funktion einen Definitionsbereich finden kann, sodass diese Funktion dort überall differenzierbar ist. Es reicht ja im Prinzip schon aus, wenn man einen einzigen Punkt findet.

Eine weitere Frage zu dem Thema:

Wenn eine Funktion n-mal stetig differenzierbar ist, dann muss die n-te Ableitung, bzw. die n-ten partiellen Ableitungen stetig sein.

Aber was ist mit der ersten bis (n-1)-ten Ableitung? Ich denke mal, die müssen dann auch stetig sein, oder nicht.

Anders formuliert:

Ist eine Funktion n-mal stetig differenzierbar ist, so ist sie auch k-mal stetig differenzier mit . Nicht wahr?
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MisterMagister
Geht ne? Ob ich nun auf betrachte oder auf ganz für mich bleibt es dieselbe Funktion, nämlich .

Das ist so nicht richtig. Eine Funktion wird ausgezeichnet durch einen Definitionsbereich, einen Bildbereich und eine Vorschrift, die jedem Element des Definitionsbereiches genau ein Bild des Bildbereiches zuordnet. Ändert sich auch nur eine der drei Dinge (Definitions-, Bildbereich, Vorschrift), so ist das nicht mehr dieselbe Funktion! (Das mag dir komisch vorkommen, aber das ist nur eine Definition!)

Zitat:
Original von MisterMagister
Was ich aber eigentlich meinte, dass man zu jeder Funktion einen Definitionsbereich finden kann, sodass diese Funktion dort überall differenzierbar ist. Es reicht ja im Prinzip schon aus, wenn man einen einzigen Punkt findet.

Erstmal ist es, wie gerade angesprochen, nicht mehr dieselbe Funktion, wenn du den Definitionsbereich einschränkst (oder erweiterst). Aber ich denke, ich weiß, was du meinst, nämlich die Einschränkung der Funktion auf eine nichtleere Teilmenge des Definitionsbereiches. Und es stimmt nicht! Was ist mit einer Funktion, die nirgends differenzierbar ist? Dann ist auch jede Einschränkung der Funktion auf eine solche nichtleere Teilmenge des Definitionsbereiches nicht überall differenzierbar (sie ist ja nirgendwo differenzierbar).
Desweiteren reicht es lange nicht aus, nur einen Punkt zu finden, an dem die Funktion differenzierbar ist. Nehmen wir einmal an, eine Funktion sei in einem Punkt differenzierbar, in allen anderen aus nicht. Dann kannst du auch keine solche nichtleere Teilmenge von finden, sodass die Einschränkung von auf diese Menge in allen Punkten differenzierbar ist. Denn wenn du eine Teilmenge von nimmst, die mehr als einen Punkt enthält, so ist die Einschränkung von darauf nicht überall differenzierbar. Nimmst du nur die Teilmenge , so liegt auch keine Differenzierbarkeit vor, da du für eine Differenzierbarkeitsaussage mindestens ein Intervall um brauchst, wo die neue Funktion (die Einschränkung) definiert ist.

Zitat:
Original von MisterMagister
Wenn eine Funktion n-mal stetig differenzierbar ist, dann muss die n-te Ableitung, bzw. die n-ten partiellen Ableitungen stetig sein.

Das ist richtig, da es nichts anderes als die Definition ist! Aber bei den partiellen Ableitungen bin ich mir nicht sicher, da ich gelesen habe, dass die Differenzierbarkeit einer Funktion im Mehrdimensionalen nicht äquivalent zur partiellen Differenzierbarkeit ist. (Ich glaube, die Begriffe sind sogar "sehr" verschieden.)

Zitat:
Original von MisterMagister
Aber was ist mit der ersten bis (n-1)-ten Ableitung? Ich denke mal, die müssen dann auch stetig sein, oder nicht.
...
Ist eine Funktion n-mal stetig differenzierbar ist, so ist sie auch k-mal stetig differenzier mit . Nicht wahr?

Diese Funktionen sind allesamt überall differenzierbar. Was folgt nochmal aus der Differenzierbarkeit einer Funktion? Augenzwinkern

Gruß MSS
MisterMagister Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht denn eine Funktion aus, die nirgends oder nur in genau einem Punkt differenzierbar ist? Vielleicht in etwa so?

Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Da du mich gebeten hast, nochmal darauf zu antworten, werde ich das jetzt tun! Augenzwinkern Ich hatte leider bis jetzt aus zeitlichen Gründen keine Möglichkeit dazu!
Also, eine Funktion, die nirgends differenzierbar ist, kann man sich ganz leicht überlegen. Nimm einfach eine Funktion, die nirgendwo stetig ist. Da ist deine Funktion doch schon sehr gut, denn sie ist in der Tat nirgendwo stetig und somit auch nirgendwo differenzierbar.
Ein weiteres, bekanntes Beispiel ist die Dirichlet-Funktion (die charakteristische Funktion von ):



.

Und eine Funktion, die nur in genau einem Punkt differenzierbar ist, kann z.B. so aussehen:



.

Diese Funktion ist nur im Nullpunkt differenzierbar, in allen anderen Punkten ist sie nicht differenzierbar, ja noch nicht einmal stetig!

Gruß MSS
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