Punkte auf Gerade bestimmen

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16.03.2005, 18:25	Xtra	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkte auf Gerade bestimmen Hey Leute, ich bin mal wieder am Verzweifeln... :o/ Diese nalaytische Geometrie bringt mich noch zum Wahnsinn... Bei folgender Aufgabe weiß ich absolut nicht, wie ich das berechnen soll: Bestimmen Sie die Punkte R auf der Geraden g, die von der Ebene E einen Abstand von e = 30 LE haben In dem davor folgenden Aufgabenunterpunkten hab ich g wie folgt bestimmt: $\begin{eqnarray} g : \vec{x} = \begin{pmatrix}4 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E:\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \\2\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ - 2 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Leider hab ich wirklich Null Ahnung, was und wie ich hier was machen muss :o// ALso bräuchte ich eure Unterstützung... Vielen Dank schon mal
16.03.2005, 18:33	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Punkte auf Gerade bestimmen benutze doch einfach die hessische normalenform der ebene dafür und setze die dann gleich 30. Versuche das mal!! eine anderemöglichkeit wäre auch noch, dass du den schnittpunkt von gerade und ebene bestimmst und dann mit folgender formel die beiden punkte R bestimmst: $\begin{eqnarray} R=\vec{s} \pm\frac{1}{30}* \vec{n} \end{eqnarray*}$ vektor s soll hierbei der schnittpunkt von ebene und gerade sein!!! und das 1/30 soll die strecke angeben, die den bstand 30LE darstellt!! dadurch müsstest die punkte rausbekommen!! gruß dennis edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion!! (MSS)
16.03.2005, 19:06	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Vorschlag wäre alle Punkte zu berechnen die den Abstand 30 LE zu E haben. Diese liegen genau den beiden, zu E parallelen, Ebenen F und H mit dem Abstand von jeweils 30 LE zu E. Wenn du diese Hilfsebenen berechnet hast musst du nur noch den Schnittpunkt von g mit F und von g mit H berechnen.
16.03.2005, 19:25	Xtra	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: besser So, habs nun nach brunsis Methode berechnet, da ich zuvor schon den Schnittpunkt mit s ( 2 / 1 / 0 ) berechnet hatte. Erhalte letztendlich dann für P ( 2 / 1 / 0) und P ( - 2 / - 1 / 0 ) Kann das hinhauen?? Den Vorschlag von MisterMagister kann ich nämlich leider nicht so ganz nachvollziehen...
16.03.2005, 19:28	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
frage @mistermagister: dein vorschlag hört sich gut an, doch wie willst du die ebenengenau lokalisieren wenn du nur weißt, dass der abstand zu dem schnittpunkt der gegebenen ebene 30 LE betragen soll. damit kann man doch nicht die ebenen genau bestimmen. du brauchst doch einen genauen punkt für jeweils eine der beiden ebenen!!!!! gruß dennis
16.03.2005, 19:30	Xtra	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: frage
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16.03.2005, 19:31	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, ich denke (2 / 1 / 0) liegt auf der Ebene, is ja schließlich Schnittpunkt. Ich glaube Dennis geht davon aus, dass g orthogonal zu E ist. Das ist aber nicht der Fall.
16.03.2005, 19:34	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: besser kann nicht hinhauen, denn das würde sonst bedeuten, das dein n, der normalvektor der ebene null wäre und das geht nicht!!! du musst den normalvektor der ebene mit 1/30 multiplizieren!! und dann von s subtrahieren oder zu s addieren!! @mistermagister: prüfe doch mal, ob der normalvektor überhaupt richtig ist. @ Xtra: wie hast du überhaupt den normalvektor berechnet? bist du dir hundertprozentig sicher, dass deine gerade auch richtig ist? weil sonst wird es ziemlich kompliziert!! edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion!! (MSS)
16.03.2005, 19:45	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht mit ner Lotgeraden und einem Punkt P auf ihr. Dann nimmt man den Ansatz zur Abstandsberechnung von P und E, setzt für den Abstand 30 ein und für P nimmt man variablen. Dann auflösen. Is aber eh viel zu kompliziert. Dein Ansatz ist besser. Modifizieren wir mal die Gerade g: Wir wissen S(2 / 1 / 0) liegt auf g. Also: $\begin{eqnarray} g: \vec{x}= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Richtungsvektor von g $\begin{eqnarray} \vec{r} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat die Länge $\begin{eqnarray} \sqrt{45} \end{eqnarray}$ LE. Das kann man mit dem Standardskalarprodukt errechnen. Also ist die Lösung des Problems: $\begin{eqnarray} R = \vec{s} \pm \frac{30}{\sqrt{45}} \cdot \vec{r} \end{eqnarray}$
16.03.2005, 20:00	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
verständnisproblem was gibst du denn jetzt mit Wurzel 45 an? hab das noch nicht so nachvolliziehen können!!
16.03.2005, 20:09	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mid \vec{r} \mid = \sqrt{2^{2}+5^{2}+4^{2}} = \sqrt{45} \end{eqnarray}$ Das ist die euklidische Länge des Vektors $\begin{eqnarray} \vec{r} \end{eqnarray}$ . Rechnet man nun $\begin{eqnarray} \vec{v} = \frac{1}{\sqrt{45} } \cdot \vec{r} \end{eqnarray}$ dann hat $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ die Länge 1 LE Dann noch mal 30.
16.03.2005, 20:35	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
antwort verstanden! also ist das quasi die normierung des vektors. das mit den 30 hab ich verstanden, aber bei dem anderen bin ich mir nicht mehr sicher gewesen. aber nun wieder. hast recht!! danke!!!
16.03.2005, 23:25	Xtra	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: besser @ brunsi : Du hattest zur Berechnung der R ein "mal" vor das $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ geschrieben, deshalb hab ich das multipliziert... kann ja dann nur falsch sein :o) Den Normalenverktor hab ich über $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray} \vec{n} = 0 \end{eqnarray}$ und dasselbe halt mit Vektor b... Schließlich hab ich $\begin{eqnarray} \vec{a} \vec{n} = 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec{b} * \vec{n} = 0 \end{eqnarray}$ gleichgesetzt (sollen wir so machen) und hab dann $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray*}$ rausbekommen. Ich meine, wir hatten ihn schon verglichen, dürfte daher richtig sein... @ MisterMagister: Ist meine Parameterform der Gerade g falsch, oder ist deine einfach nur eine weitere ?? So, ich hab das nun nach dem Formal von MisterMagister versucht - aber da kommen aufgrund des Bruches ja total komische Werte raus... .
17.03.2005, 16:10	MisterMagister	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlich ist jetzt inzwischen viel zu spät, aber falls es noch irgend jemanden interessiert: SCHEISSE!!! SCHEISSE!! SCHEISSE!! Ich habe da einen dicken Denkfehler in meine Lösung eingebaut. Denn mit der Formel $\begin{eqnarray} R = \vec{s} \pm \frac{30}{\sqrt{45} }\cdot \vec{r} \end{eqnarray}$ startet man am Schnittpunkt S (dort schneidet die Gerade g die Ebene E) und wandert 30 LE entlang der Geraden. D.H. im Klartext man entfernt sich zwar um 30 LE vom Schnittpunkt S aber nicht von der Ebene, da g nicht orthogonal zu E ist. Tut mir echt leid, aber wenn man einmal drüber geschlafen hat sieht man vieles oft klarer. Mein erster Ansatz war der Richtige: Konstruiere die Hilfsebenen $\begin{eqnarray} F_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ (Schritte 2 - 4) Stelle die Lotgerade h auf, mit Stützvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (von E) und Richtungsvektor $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Berechne die Punkte P,Q indem du 10 bzw -10 für die Variable in h einsetzt, d.h. $\begin{eqnarray} P = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + 10\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Denn mit dem Skalarprodukt kann man berechnen, dass $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ die Länge 3 hat und 3 * 10 = 30. Nun ersetzt man in E den Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ durch den Ortsvektor von P und erhält damit $\begin{eqnarray} F_1 \end{eqnarray}$ und durch einsetzten von Q erhält man völlig analog $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ . Die Richtungsvektoren werden übernommen, damit die Hilfsebenen parallel zu E sind. Nun bestimmt man den Schnittpunkt von g mit $\begin{eqnarray} F_1 \end{eqnarray}$ bzw. von g mit $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ und erhält damit R. Anmerkung: $\begin{eqnarray} F_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ sind wie gesagt parallel zu E und laufen durch die Punkte P und Q. Da P und Q genau den Abstand 30 LE zu E haben, gilt dies auch für die beiden Hilfsebenen. Somit enthalten $\begin{eqnarray} F_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F_2 \end{eqnarray}$ alle Punkte deren Abstand zu E genau 30 LE beträgt. Diejenigen Punkte die nun zusätzlich noch auf g liegen sind die Gesuchten. @Xtra Es wäre die selbe Gerade gewesen, den $\begin{eqnarray} \vec{s} \end{eqnarray}$ liegt ja auf g und als Stützvektor kann man jeden (Orts-)Vektor wählen der auf g liegt
17.03.2005, 20:18	brunsi	Auf diesen Beitrag antworten »
antwort sorry stimmt, wollte das mal eigentlich noch wegmachen, habs aber übersehen!!! mit deinen ebenen hast du aber recht. aber dazu musst du erst einmal davon ausgehen, dass du eine gerade die zur gegebenen ebene E orthogonal aufstellen kannst und berechnest dann diese punkte. und dann kommt eben dein ansatz wieder mit dem amn weiterrechnet und schwupps hat man dann auch die lösung für die aufgabe!!! gruß dennis
17.03.2005, 22:28	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: antwort wie brunsi schon gesagt hat: HNF $\begin{eqnarray} \frac{2x+2y+z-6}{3} =\pm 30 \end{eqnarray}$ gibt die 2 ebenen: $\begin{eqnarray} 2x+2y+z-96 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x+2y+z+84 =0 \end{eqnarray}$ geschnitten mit g ergibt r = 4 und r = 6 und die punkte $\begin{eqnarray} P_1(12/26/20)\; P_2(16/36/26) \end{eqnarray}$ werner

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