Wachstumsmodelle

16.03.2005, 18:53

liebe-elfi

Wachstumsmodelle

Hallo zusammen, ich soll die folgende Aufgabe im Unterricht erklären können:

Ein Schüler einer Schule, die von 850 Schülern besucht wird, verbreitet um 8.00 Uhr das Gerücht, dass es Hitzefrei gäbe. Mit der folgenden Bestandsfunktion lässt sich die Verbreitung des Gerüchts beschreiben:

f(x) = 1700 / 2+648*0,2440296496^x

1. ) Um 9.00 Uhr wissen schon 8 Schüler von dem Gerücht. Wie viele werden es um 13.00 Uhr wissen?

Ich weiss nicht wie ich das erklären soll?!

Danke

16.03.2005, 19:02

Egal

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Also irgendwie ist die Gleichung wohl völlig verkehrt kann das sein?
Woher kommt die denn?
Und falls du die selbst erdacht hast. Was hast du dir dabei überlegt?

16.03.2005, 19:42

swerbe

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falls die von dir angegebene gleichung stimmt...von welcher form ist dann deine variable x ?? sind es studen, minuten,.....ist womöglich $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?????

16.03.2005, 20:06

liebe-elfi

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Wachstumsmodelle
Hallo, also die Formel stimmt, denn sie ist aus den Unterlagen.

Wenn es Euch hilft, Ihr müsst Euch um den Ausdruck hinter dem / eine Klammer denken also: 1700 / ( .....)

Danke

16.03.2005, 20:31

Egal

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Also so?
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1700}{(2+648*0,2440296496^x)} \end{eqnarray*}$
Edit: Formel nach Angaben korrigiert.

16.03.2005, 20:51

liebe-elfi

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Wachstumsmodelle
nicht ganz, das x auch in der Klammer gehört zum Wert : 0,244...

16.03.2005, 20:54

Egal

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Also dann kann die Funktion aber bestenfall angeben wieviele noch nicht davon wissen.

Aber jetzt versteh ich eigentlich nciht mehr was genau die Frage ist.

16.03.2005, 21:00

MisterMagister

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Nee, nee. Das kommt hin. Für x gegen unendlich geht f(x) gegen 850.
Vielleicht muss man erstmal f(x) = 8 setzten und dann nach x auflösen. Dann findet man doch heraus was das x mit 9:00 Uhr zu tun hat.

Ok. Ich glaube ich hab's.
Zuerst setzt man f(x) = 1 und berechnet den Zeitpunkt an dem nur der eine Schüler von dem Gerücht weiss.
Mann erhält x1. Dieser Zeitpunkt entspricht dann genau 8:00 Uhr.

Dann setzt man f(x) = 8 und berechnet den Zeitpunkt an dem 8 Schüler von dem Gerücht wissen.
Man erhält x2, was genau 9:00 Uhr entspricht.

Die Zeitspanne von einer Stunde entsprich nun also h = x2 - x1.

Nun kann man den x Wert berechnen der 13.00 Uhr entspricht.
Den dann in die Funktion einsetzten fertig.

Zur Anschauung am besten die Funktion noch plotten und die genannten Punkte einzeichnen. Ich hoffe du hast ein Programm dafuer

edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)

17.03.2005, 08:26

liebe-elfi

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Wachstumsmodelle
Danke für Eure Bemühungen, aber meine Frage ist unbeantwortet geblieben, mir geht es hauptsächlich darum, wie man auf diese Formel kommt?!

Warum die doppelte Schülerzahl 850*2=1700

Desweiteren warum 2+848 * 0,244...^x wie kommt man auf diese Zahlen?

DAnke

18.03.2005, 15:05

MisterMagister

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Zitat:

Warum die doppelte Schülerzahl 850*2=1700

Die Frage habe ich doch beantwortet:

Für x gegen unendlich geht der Nenner gegen 2 also gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x) = \frac{1700}{2} = 850 \end{eqnarray*}$

Das macht ja auch Sinn, denn mehr als 850 Schüler können von dem Gerücht ja nicht erfahren. Einfache Wachstumsfunktionen, wie z.B. die Exponentialfunktion sind unbeschränkt, also muss man die Geschichte so umbauen.

Deine zweite Frage kannst du dir vielleichts selbst beantworten. Ich habe dir geraten, dass du dir mal den Graphen zu der Funktion anschaust. Dazu wäre es am besten, wenn du ein Programm hättest, was die Funktion für dich zeichenen kann (plotten). Wann du diese Zahlen, dann ein bischen veränderst, wirst du sehen, das dies Auswirkungen auf die Wachsgtumsgeschwindigkeit hat.

18.03.2005, 20:40

etzwane

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Ich komme nicht auf die angegebene Lösung und versuche es deshalb mit einem eigenen Ansatz, basierend auf der angegebenen Lösung( Zahlen durch 2 gekürzt):

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{850}{(1+849*k^x)} \end{eqnarray*}$ , wobei k aus den Angaben der Aufgabenstellung bestimmt werden soll.

8 Uhr: x=0, $\begin{eqnarray*} f(0)=\frac{850}{(1+849*k^0)}=\frac{850}{(1+849*1)}=1 \end{eqnarray*}$ , wie verlangt.

9 Uhr: x=1, $\begin{eqnarray*} f(0)=\frac{850}{(1+849*k^1)}=8 \end{eqnarray*}$
daraus k: $\begin{eqnarray*} 8*(1+849*k)=850, \text{ also } k=\frac{850-8}{8*849}=0,12397 \end{eqnarray*}$

Danach also: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{850}{(1+849*0,12397^x)} \end{eqnarray*}$

Somit für 13 Uhr: x=5, $\begin{eqnarray*} f(5)=\frac{850}{(1+849*0,12397^5)}=829,38... \end{eqnarray*}$ ,
also 829 Schüler kennen dann das Gerücht.

Aber ob es stimmt ? Die von liebe-elfi als Lösung angegebene Bestandsfunktion stimmt jedenfalls nicht mit x=1 Stunde als Zeiteinheit.

18.03.2005, 21:09

MisterMagister

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Aber Zeit kann man ja auch abstrakt angeben.
Für den Zeitpunkt 0 hatte irgendwas wie -0,19... raus und eine Stunde war ungefähr 0,97...

Man kann ja eine Stunde auch als Intervall der Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt({2}) \end{eqnarray*}$ angeben. Reine Definitionssache.

18.03.2005, 21:27

etzwane

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@MisterMagister:

Was war denn dein Egebnis für 13.00 Uhr ?

19.03.2005, 14:49

MisterMagister

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$\begin{eqnarray*} c := 0,2440296496 \end{eqnarray*}$
Es ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} f(x_1) = 1 \Leftrightarrow x_1 = ln( \frac{1698}{648}) \cdot \frac{1}{ln (c)} = -0,682977... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x_2) = 8 \Leftrightarrow x_2 = ln( \frac{2105}{6480}) \cdot \frac{1}{ln (c)} = 0,797187... \end{eqnarray*}$
Nun ergibt sich für eine Stunde:
$\begin{eqnarray*} h = x_2 - x_1 = 1,480164... \end{eqnarray*}$
Damit ist x3 gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} x_3 = x_2 + 4 \cdot (x_2 - x_1) = 6,717844... \end{eqnarray*}$
Schließlich:
$\begin{eqnarray*} f(x_3) = 829.382563654564... \end{eqnarray*}$

19.03.2005, 23:46

etzwane

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Zitat:

Original von MisterMagister
$\begin{eqnarray*} c := 0,2440296496 \end{eqnarray*}$
...
Schließlich:
$\begin{eqnarray*} f(x_3) = 829.382563654564... \end{eqnarray*}$

Mein Ergebnis, etwas genauer gerechnet: 829,3825637 (mit Taschenrechnergenauigkeit)

Interessant. Wenn das nicht ein ganz großer Zufall ist, dann sollten sich also die Formeln ineinander überführen lassen. Mal sehen, vielleicht schaffe ich das morgen ja.

20.03.2005, 12:42

jovi

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RE: Wachstumsmodelle

Zitat:

Original von liebe-elfi

Warum die doppelte Schülerzahl 850*2=1700
Desweiteren warum 2+848 * 0,244...^x wie kommt man auf diese Zahlen?

DAnke

Ja es scheint so zu sein, dass die verwendeten Konstanten 850, 2, 848, 0,244.. schlichtweg willkürlich sind,
wenn keine weiteren Bedingungen bzgl. Zeitachse gegeben sind.
Ich vermute es muss für folgende verallgemeinerte Wachstums-Formel

$\begin{eqnarray*} F(t) = \frac{A}{B+C*D^{t}} \end{eqnarray*}$

für dieses Beispiel nur $\begin{eqnarray*} \frac{A}{B} = 850 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 < D < 1, 0 < A,B,C \end{eqnarray*}$ gelten -
und es kommt hübscherweise immer das gleiche Ergebnis raus verwirrt

. Das sollte man genauer untersuchen. Forum Kloppe

20.03.2005, 13:37

etzwane

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Der Plot zeigt schon mal, dass die Kurven beider Lösungen übereinanderliegen:

Vergleicht man jetzt die rechnerischen Ergebnisse $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{850}{1+849\cdot (\frac{850-8}{849\cdot 8})^x} \end{eqnarray*}$ ,
könnte man ja einen allgemeinen Ansatz versuchen: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{A\cdot 850}{A+B\cdot k^{C+Dx}} \end{eqnarray*}$ ,
wobei f(x_max)=850 schon berücksichtigt ist, und die Einheit für x auf 1 Stunde umgerechnet ist.
Zum Vergleich die Zahlen von MisterMagister: A=2, B=648, C=-0,682977..., D=1,480164..., k=0,2440...

Für die Beziehung der Werte A,B,C,D und k untereinander erhält man nach Kürzung durch A und Übergang zu den Kehrwerten:
$\begin{eqnarray*} 849\cdot (\frac{842}{8\cdot 849})^x=\frac{B}{A}^\cdot k^C\cdot (k^D)^x \end{eqnarray*}$

und daraus: $\begin{eqnarray*} k^D=\frac{842}{8\cdot 849} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{B}{A}\cdot k^C=849 \end{eqnarray*}$

Das sind 2 Gleichungen für die 5 Unbekannten A , B, C, D und k.

Für A=1, B=849 folgt wegen k^C=1 sofort C=0, und es bleibt $\begin{eqnarray*} k^D=\frac{842}{8\cdot 849}=0,12397... \end{eqnarray*}$

Für A=2, B=648 folgt $\begin{eqnarray*} k^C=849\frac{2}{648}=2,62037... \end{eqnarray*}$
und genauso wie eben $\begin{eqnarray*} k^D=\frac{842}{8\cdot 849}=0,12397... \end{eqnarray*}$
Jetzt kann man von den verbleibenden 3 Variablen eine vorgeben und die anderen daraus ermitteln,
z.B. sei k=0,244, daraus C=-0,683... und D=1,48...

20.03.2005, 13:44

mYthos

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Die zuletzt angegebene allgemeine Formel ist die des logistischen Wachsums.

Wie dies aussieht und die Differentialgleichung dazu findet man bei

http://sites.inka.de/picasso/Notheis/Herleitung.htm

Es ist

$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{G}{1 + b.e^{-G.k.t}} \end{eqnarray*}$

wobei G ein Grenzwert ist, der in endlicher Zeit nicht erreicht wird (die Population kann nie mehr als G erreichen).

Durch Normierung der von jovi angegebenen A,B,C,D - Funktion (Division durch B ungleich 0), und Setzen von A/B = G, C/B = b und ln(D) = -Ak/B erreichen wir o.a. logistische Wachstumsfunktion, die im Gegensatz zur A,B,C,D - Funktion mit nur 3 Parametern auskommt.

Gr
mYthos

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