Betragsgleichung

17.03.2005, 23:20

Betragsgleichung

habe folgende Glechung vor mir liegen und bin am verzweifeln...

$\begin{eqnarray*} \mid x^{2} + 4x - 1 \mid = \mid x \mid \end{eqnarray*}$

würd mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich vorzugehen hätte..

17.03.2005, 23:50

Mathespezialschüler

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Naja, ich würde sagen Fallunterscheidungen!
Hast du's damit schonmal probiert?

17.03.2005, 23:53

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nicht wirklich....

dieses x^2 und diese Beträge stören mich etwas...

17.03.2005, 23:54

The_Lion

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ich würde versuche, die Regeln für Betragsrechnung anzuwenden. Du hast innen auf der linken Seite eine Summe. Versuche, das "umzuwandeln" und die Regeln anzuwenden.

edit:
@MSS:
wieso sollte man eine Fallunterscheidung machen ?

17.03.2005, 23:58

Mathespezialschüler

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@TheLion
Welche Regeln für Beträge denn?

17.03.2005, 23:59

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???

18.03.2005, 00:01

The_Lion

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Ich würde jetzt spontan erst einmal Faktorisieren. und die Regeln für Produkte innerhalb einer Betragsklammer ausnutzen.

18.03.2005, 00:02

Mathespezialschüler

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@TS
Mach erstmal ne quadrat. Ergänzung für $\begin{eqnarray*} x^2+4x-1 \end{eqnarray*}$ !!

@TheLion
Läuft dann aber auch auf die gleiche Fallunterscheidung hinaus!

18.03.2005, 00:23

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$\begin{eqnarray*} x_1=3 , x_2=-7 \end{eqnarray*}$ ?

18.03.2005, 03:13

papahuhn

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Mit einer Fallunterscheidung kommt man am Ende auf 4 Lösungen.
Nicht verzagen, wenn krumme Ergebnisse rauskommen, das ist leider so.

18.03.2005, 14:21

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ich verstehe nicht ganz wie ich jetzt mit diesen Werten weitermachen soll....

18.03.2005, 14:26

klarsoweit

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Dieser blöde Term muß faktorisiert werden. $\begin{eqnarray*} x^2+4x-1 \end{eqnarray*}$
Entweder bestimmts du die Nullstellen oder du machst quadratische Ergänzung.

18.03.2005, 14:29

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Habe doch die quadratische Ergänzung gemacht...
Sind $\begin{eqnarray*} x_1=3 , x_2=-7 \end{eqnarray*}$ nicht die Nullstellen?

18.03.2005, 14:31

klarsoweit

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Also ich weiß nicht. Wenn ich 3 einsetze, komme ich auf 20.

18.03.2005, 14:32

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Du kannst diese Aufgabe auf mehrere Arten angehen:

1.) Einmal die übliche Betragsauflösung mit mehreren zu untersuchenden Fällen.

2.) Oder aber einfach quadrieren, was hier dann sogar (im Gegensatz zur Gleichung ohne Beträge) eine äquivalente Umformung ist:
$\begin{eqnarray*} (x^2+4x-1)^2=x^2 \end{eqnarray*}$
Und dann Zerlegung mit Hilfe der binomischen Formel a²-b²=(a+b)(a-b):
$\begin{eqnarray*} 0=(x^2+4x-1)^2-x^2=(x^2+4x-1+x)(x^2+4x-1-x)=(x^2+5x-1)(x^2+3x-1) \end{eqnarray*}$

Vom Aufwand her sind 1.) und 2.) völlig gleich, es ist mehr eine Frage des persönlichen Geschmacks beim Aufschreiben. So oder so musst du jetzt noch die zwei quadratischen Gleichungen
$\begin{eqnarray*} 0=x^2+5x-1,\qquad 0=x^2+3x-1 \end{eqnarray*}$
(jede für sich) lösen.

18.03.2005, 15:15

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also ich setze $\begin{eqnarray*} x^2+4x-1=0 \end{eqnarray*}$ und löse mit der pq-Formel auf..
erhalte als Lösungen $\begin{eqnarray*} x_1,x_2=-2\pm \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

dasgleiche mit $\begin{eqnarray*} x^2+5x-1=0 \end{eqnarray*}$
Lösung $\begin{eqnarray*} x_1,x_2=-2,5\pm \sqrt{7,25} \end{eqnarray*}$

und nochmal mit $\begin{eqnarray*} x^2+3x-1=0 \end{eqnarray*}$
Lösung $\begin{eqnarray*} x_1,x_2=-1,5\pm \sqrt{3,25} \end{eqnarray*}$

aber verstehen tue ich das Ganze nicht wirklich...

18.03.2005, 15:32

klarsoweit

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Ich möchte Arthur Dent ja nicht weh tun, aber meines Erachtens wäre es besser gewesen, nur die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^2 + 4x - 1 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen und dann Fallunterscheidung zu machen. Die Nullstellen hast du ja jetzt. Also ist:
$\begin{eqnarray*} x^2 + 4x - 1 = (x + 2 - \sqrt{5}) \cdot (x + 2 + \sqrt{5}) \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du die Fälle unterscheiden, wann dieses Produkt positiv bzw. negativ ist.

18.03.2005, 15:40

MisterMagister

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$\begin{eqnarray*} p(x)=x^{2}+4x-1 \end{eqnarray*}$
ist ein Polynom 2. Grades. Das kannst du als Funktion in x auffassen für die gilt:
$\begin{eqnarray*} p(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \geq -2+\sqrt{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} x \leq -2-\sqrt{5} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(x) < 0 \end{eqnarray*}$ sonst
Mit diesem Wissen kannst du eine Fallunterscheidung machen und bekomst so den Betrag auf der linken Seite weg.
Aber es bleibt der Betrag auf der rechten Seite, was eine weitere Falunterscheidung nach sich zeiht.

Deshalb finde ich persönlich den 2. Weg eleganter. Hierbei nutzt du folgendes aus:

Für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} \mid x \mid = \sqrt{x^{2}} \end{eqnarray*}$

Damit bekommst du die Beträge auf beiden Seiten weg und "erkaufst" das quasi damit, dass du nun Wurzelterme auf beiden Seiten stehen hast. Aber das ist ja gar kein Problem, denn durch Quadrierung der Gleichung kannst du dich dieser entledigen.
Dann nur noch umformen und du erhälst die Form von Arthur Dent.
Die Nulstellen die du dabei berechnet hast ist deine Lösung.

edit: Zu spät.

Aber sie / er hat die Lösung doch bereits, warum soll man sie / ihn noch durch 'ne Fallunterscheidung jagen?

18.03.2005, 15:48

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@klarsoweit

Was mir höchstens weh tut ist, dass die Lösung von
$\begin{eqnarray*} x^2+4x-1=0 \end{eqnarray*}$
zwecks Fallunterscheidung für
$\begin{eqnarray*} |x^2+4x-1|=|x| \end{eqnarray*}$
der reinste Overkill ist:
$\begin{eqnarray*} x^2+4x-1=x \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} x^2+4x-1=-x \end{eqnarray*}$
sind die beiden denkbaren Fälle nach direkter und unmittelbarer Betragsauflösung, und da brauche ich keine Fallunterscheidung gemäß
$\begin{eqnarray*} x^2+4x-1 >0, =0, <0 \end{eqnarray*}$ .

Ich würde dir daher höchstens recht geben, wenn die Gleichung komplizierter wäre, wie etwa

$\begin{eqnarray*} |x^2+4x-1|=|x|+1 \end{eqnarray*}$

oder ähnlich.

18.03.2005, 16:41

etzwane

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Ein Bild von f(x)=|x²+4x-1| und g(x)=|x|

18.03.2005, 18:16

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Verstehe ich das jetzt richtig ?

Die Lösungsmenge ist
$\begin{eqnarray*} x_1=-2,5 + \sqrt{7,25} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=-2,5 - \sqrt{7,25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=-1,5 + \sqrt{3,25} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4=-1,5 - \sqrt{3,25} \end{eqnarray*}$

Kann mir denn auch jemand mal den anderen "üblichen" Weg erklären, falls denn dieser überhaupt richtig war.....

edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)

18.03.2005, 21:17

etzwane

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Dein Ergebnis ist doch richtig, zumindest habe ich das gleiche raus und zu dem Bild der Funktionen oben passt es auch, wenn du die Zahlenwerte ausrechnest.

Was meinst du mit "anderen üblichen Weg"?

Wenn du eine Betragsgleichung hast wie |a|=|b|, dann gibt es 4 Möglichkeiten, von denen hier jeweils 2 gleich sind:
a = b
a =-b
-a = b
-a =-b

Jetzt setzt du für a und b die Funktionen zwischen den Betragsstrichen ein und löst die entstehenden Gleichungen für x.

18.03.2005, 21:38

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Du kannst diese Aufgabe auf mehrere Arten angehen:

1.) Einmal die übliche Betragsauflösung mit mehreren zu untersuchenden Fällen.

2.) Oder aber einfach quadrieren[...]

Mit der üblichen Methode meinte ich die Betragsauflösung mit den zu untersuchenden Fällen....
Habe noch mehrere solcher Aufgaben und ich glaube da ist das mit dem quadrieren nicht immer anwendbar (z.B. auf einer Seite Betrag auf der anderen nicht) bzw. wohl komplizierter als die "übliche" Variante...

18.03.2005, 21:45

etzwane

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Ich denke, es kommt auch immer auf die Art der Aufgabe an.

Wenn du alle dir vorliegenden Aufgaben durchgerechnet hast, weißt du auch, wie man an eine neue Aufgabe am besten herangeht ....

18.03.2005, 21:54

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hab sie ja noch nicht alle durchgerechnet bzw bisher kaum welche, daher auch meine Frage, wie ich vorzugehen habe, wenn ich nicht auf beiden Seiten einen Betrag stehen habe...

13.01.2010, 15:05

Nödliii

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Betragsgleichungen
Geh folgendermassen vor!

1. Betrag isolieren
2. Versch. Fälle
(x<0, x>0, x=0)
3. Auflösen

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Betragsgleichung

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