Hauptachsen - Hauptachsenbasis

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Protector1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsen - Hauptachsenbasis
So und weiter geht es mit den Fragen, bin halt am Nachbereiten des Stoffes...

Bestimmen sie die Hauptachsen der quadratischen Form:

und geben sie die Form bezüglich der Hauptachsenbasis an.

Bei meiner Recherche bin ich nach dem dritten Buch, drauf gekommen, dass dies wohl durch einen Ortogonalen?Vektor funktionieren soll...

Kann mir dass jemand vielleicht auch anschaulicher und vor allem ausführlicher erklären?
Vielen Dank
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du aber oft in der Vorlesung gefehlt, was? Augenzwinkern Also hier mal die Hauptachsentransformation in der gerafften Kurzversion - ansonsten musst du googeln:

Für deine symmetrische Abbildungsmatrix gibt es eine aus Rechts-Eigenvektoren bestehende Orthogonalmatrix sowie eine Diagonalmatrix (mit den sämtlich reellen Eigenwerten von A auf der Hauptdiagonalen), so dass gilt. Und ist dann die Hauptachsentransformation, die einer Drehung (und eventueller Spiegelung) deines Koordinatensystems entspricht, aber keine Streckungen/Stauchungen oder Verzerrungen beinhaltet. Am Ende steht dann



für dieselbe Abbildung, nur eben im gedrehten Koordinatensystem.
Protector1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, ich war überhaupt nie dort!
Ich hatte im letzten Semester 7 Klausuren!
Die hatte ich geschoben...
Dehalb muss ich mir leider alles selber bebringen.
Leider steht nicht alles in den Büchern unglücklich

Wie bestimmte ich dann U?
Also besteht dann nur aus den Eigenwerten von A auf der Hauptdiagonalen und der rest sind nuller?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, das würde ich jetzt gerne abgeben...
Vielleicht will LOED ja, der ist ein As in linearer Algebra. Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

oh gott, welch vertrauen Augenzwinkern
das ist doch immer länger her... da müsste ich wohl mal wieder mein LA-Skript suchen (unterm bett oder so...)

würde das ganze jetzt in die welt von quadriken und sowas schieben...!? verwirrt



aber das geb ich wirklich mal gleich dazu:
@protector: bist du arthurs vorschlag denn überhaupt schon mal nachgegangen?
also das ausrechnen der eigenwerte hat bei mir gerade mal eine minute gedauert....
dann sollte es doch auch ein leichtes sein, die eigenvektoren (wegen mir auch rechtsEVen) zu bestimmen....

das mache ich aber heute abend nicht mehr, gehe jetzt kuscheln...





edit: na gott sei dank, sagt mir yetis beitrag, das wenigstens die denkrichtung "quadriken" richtig war...
sonst hätte mich das aber auch sehr gewurmt Augenzwinkern
Protector1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigenwerte und Eigenvektoren sind ja kein Problem...
Die Frage ist wie es weitergeht...
Dass raffe ich ja nicht...
Also was ich mit den Eigenvektoren / Eigenwerten dann genau mache...
 
 
yeti777 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Protector,

1. Du bestimmst alle Eigenwerte (EW) der Matrix A. Weil A symmetrisch ist, sind alle EW reell und verschieden (Satz der LA).

2. Zu den EW bestimmst du die Eigenvektoren (EV). Die EV normierst du auf die Länge 1.

3. Die EV stellst du zu einer Matrix U zusammen (ev1, ev2, ev3). Diese Matrix ist orthogonal (weil A symmetrisch ist), dh. , was gleichbedeutend ist mit . Die Vektoren von bilden jetzt eine Orthonormalbasis des .

4. Dann rechnest du und hast deine gewünschte Diagonalmatrix.

5. In deiner quadratischen Form hast du jetzt nur noch quadratische Glieder, keine gemischten mehr. Du bist "auf Hauptachse" smile .

Aber eigentlich steht das Alles schon in den Beiträgen von Arthur und LOED.

Gruss yeti

Nachtrag: Ich habe deine Aufgabe durchgerechnet. Wenn ich mich nicht vertan habe, besteht deine Quadrik aus zwei Ebenen, die sich im rechten Winkel schneiden. Nach der Hauptachsentransformation liegen dann die Ebenen so, dass die Schnittgerade mit der z-Achse zusammenfällt und die Schnitte der Ebenen mit der Ebene (x,y,0) unter 45 Grad verlaufen.
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