ganzrationale Funktionen

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18.03.2005, 18:48

blondi

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ganzrationale Funktionen

heißt das es werden keine Komma-Zahlen für x eingesetzt?

18.03.2005, 19:11

Deakandy

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RE: ganzrationale Funktionen
Wiesowas??
was sagt denn google?

23.03.2005, 09:35

blondi

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äh f(0) existiert nicht, aber sonst alles?

23.03.2005, 09:45

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Keine Ahnung, was dir da im Kopf rumgeistert - für mich ist "ganzrationale Funktion" nur ein anderer Begriff für "Polynom".

EDIT: Mist, Schreibfehler - jetzt korrigiert.

23.03.2005, 09:50

blondi

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ich sollte das ja bei google eingeben da kam irgendwie keine definition dafür da stand nur irgendwas von f(0) gibts nich, was heißt denn jetz genau ganz rational? man darf da schon alles einsetzen?

23.03.2005, 10:07

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Dann wiederhole ich es halt nochmal, mit anderen Worten: Eine ganzrationale Funktion ist dasselbe wie eine Polynomfunktion, letzteres ist eine Funktion, die als Polynom des Arguments dargestellt werden kann.

Beispiel:

Polynom: $\begin{eqnarray*} x^4+3x^3-\pi x+\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

zugehörige Polynomfunktion bzw. ganzrationale Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^4+3x^3-\pi x+\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Und der Definitionsbereich sind die reellen Zahlen, ohne Einschränkung!

23.03.2005, 10:26

Leopold

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Zitat:

Original von Arthur Dent
für mich ist "ganzrationale Funktion" nur ein anderer Begriff für "Polynom".

Hier spricht der Praktiker!

Da gibt es nämlich schon feine Unterschiede. Aber für blondis Belange sind sie wahrlich von weniger Interesse. Lassen wir das also so stehen ... Augenzwinkern

23.03.2005, 10:38

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Zitat:

Original von Leopold
Hier spricht der Praktiker!

Etwas verfeinert habe ich es ja schon, indem ich in meinem zweiten Beitrag zwischen Polynom und Polynomfunktion unterscheide. Aber bei solchen begrifflichen "Feinheiten" habe ich immer mal meine Schwächen, gebe ich gern zu. Augenzwinkern

23.03.2005, 10:58

Leopold

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@ Arthur Dent

Ich erkläre den Begriff "ganzrational" meinen Schülern so:

rational von lat. ratio ~ Verhältnis, Bruch

Die Grundrechenarten $\begin{eqnarray*} +,-,\cdot,: \end{eqnarray*}$ bezeichnet man als rationale Operationen, die Operationen $\begin{eqnarray*} +,-,\cdot \end{eqnarray*}$ heißen ganzrationale Operationen.

1.
a) Wendet man nun die ganzrationalen Werkzeuge $\begin{eqnarray*} +,-,\cdot \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ endlich oft an, so erzeugt man damit die ganzrationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , meist kurz als ganze Zahlen bezeichnet.
b) Wendet man die rationalen Werkzeuge $\begin{eqnarray*} +,-,\cdot,: \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ endlich oft an, so erzeugt man entsprechend die rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Der Buchstabe $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ erinnert an "Quotient", denn jede rationale Zahl kann letztlich als Quotient zweier ganzer Zahlen geschrieben werden.

2.
a) Wendet man die ganzrationalen Werkzeuge $\begin{eqnarray*} +,-,\cdot \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und den Basisterm $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ endlich oft an, so erhält man die ganzrationalen Terme in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
b) Wendet man die rationalen Werkzeuge $\begin{eqnarray*} +,-,\cdot,: \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und den Basisterm $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ endlich oft an, so erhält man entsprechend die rationalen Terme in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Eine Funktion, die durch einen ganzrationalen (rationalen) Term definiert werden (!) kann (!), heißt ganzrationale (rationale) Funktion.

So ist z.B. die durch $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 + \sin^2{x} + \cos^2{x} \end{eqnarray*}$ definierte Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ganzrational in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Polynome sind nun ganzrationale Terme von einem formal ganz bestimmten Aussehen. Jede ganzrationale Funktion kann durch ein Polynom definiert werden. Deswegen sagt man gelegentlich auch Polynom(funktion) statt ganzrationale Funktion.

23.03.2005, 11:08

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Zitat:

Original von Leopold
So ist z.B. die durch $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 + \sin^2{x} + \cos^2{x} \end{eqnarray*}$ definierte Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ganzrational in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Richtiges, aber m.E. schlechtes Beispiel, weil es blondi nur auf falsche Gedanken bringt! unglücklich

Für mich ist dieses $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+1 \end{eqnarray*}$ übrigens ganz klar eine Polynomfunktion, ob man das nun kompliziert formuliert oder nicht.

23.03.2005, 13:20

Leopold

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Mein letzter Beitrag richtete sich ja auch nicht an blondi. Und das Beispiel ist mit Absicht gewählt, um den Unterschied zwischen Termen, also formalen Rechenausdrücken, und Funktionen klar hervorzuheben. Bei der Funktion im modernen Verständnis kommt es nur auf die Wirkungsweise an, nicht auf die Art der Definition (Extensionalitätsaxiom der Mengenlehre).

Natürlich definiere ich ganzrationale Funktionen sonst auch stets durch ganzrationale Terme. Augenzwinkern

27.04.2005, 22:30

Mathespezialschüler

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@Leopold
Durch welche ganzrationale Operation erzeugst du denn sin x und cos x??? verwirrt

27.04.2005, 22:39

JochenX

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es gilt doch sin²x+cos²x=1, also kannst du es über einen ganzrationalen term definieren.
ich glaube, das ist hier der witz.

mfg jochen

27.04.2005, 22:42

Mathespezialschüler

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Achso, hab ich im Moment grad gar nicht gesehen! Hammer

Danke.

28.04.2005, 07:01

Leopold

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
@Leopold
Durch welche ganzrationale Operation erzeugst du denn sin x und cos x??? verwirrt

Noch einmal zur Klarstellung: Mir geht es um das Wörtchen kann in der Definition.

Eine Funktion heißt (ganz)rational, wenn sie durch einen (ganz)rationalen Term definiert werden kann.

28.04.2005, 23:07

Mathespezialschüler

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Jaja, is schon klar. Hab nur grad den trigonometrischen Pythagoras gar nicht gesehen! Hammer

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