Goniometrische Gleichungen

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helpless_pupil Auf diesen Beitrag antworten »
Goniometrische Gleichungen
Hallo!

Ich sitze bestimmt schon seit zwei Stunden an einer Hausaufgabe und komme einfach nicht weiter. Es geht um goniometrische Gleichungen. Die Aufgabe besteht darin, immer alle x im BOGENMAß zu finden.

Hier eine Aufgabe:

cos (2x)=0.5

Kann mir das vielleicht jemand anhand dieser Gleichung erklären? Ich komme wirklich nicht weiter und im Tafelwerk etc. findet man nichts.

Vielen vielen Dank schonmal!
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

hast du schon die periode dieser cosinusfunktion?
wenn ja, dann berechne alle lösungen innerhalb von [0,a) (periode: a) und addiere auf diese lösungen vielfache deiner periode drauf.

also erst mal die periode berechnen.
helpless_pupil Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja...

Ich versuchs mal:

Also die kleinste Periode müsste ja Pi sein, oder nicht? (normalerweise ja zwei Pi, aber jetzt muss ich ja 2*Pi/2 rechnen, oder?)

Denn wäre x1= 0,52, x2=3,66, x3=6,08 oder wie?

Ach ich raffs einfach nicht.
para Auf diesen Beitrag antworten »

Am besten kommst du eigentlich meist mit Substitution:







Damit kannst du alle z innerhalb einer Periode bestimmen, für die sin(z) Null ist. Dann kannst du einfach auf x schließen mit:

JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

aber die periode [0,pi) ist erstmal richtig.
für gewöhnlich haben solche gleichungen 2 lösungen im periodeintervall.
also überleg dir nun erst mal, für welche werte der cosinus 1/2 ist.
nachher dann umdeuten und k-fache der periode zuaddieren.

wenn du es so nicht siehst kannst du natrülcih paras substitution anwenden!
helpless_pupil Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Substitution weiß ich.
Deshalb weiß ich ja auch, dass bei meiner Gleichung cos(2x)=0,5 x1=0,52 ist. Aber es gibt doch noch mehr Lösungen. Wie komme ich denn auf die?
Mittlerweile habe ich neue Ergebnisse:
x1=0,52
x2=2,62 (Pi-x1)
x3=3,66 (Pi+x1)

Ist das richtig?

Danke schonmal
 
 
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

0,52 ist falsch, weil ungenau....

richtig wäre pi/6...
deinje andere lösung mit pi-pi/6 ist dann richtig....

rest der lösungen: zu deinen beiden gefundenen werten k*periode dazuaddieren, für alle k aus Z
helpless_pupil Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
Jetzt habe ich wenigstens schon eine Lösung.
Aber eine Frage habe ich doch noch: Bei der Gleichung sin^2 x = 0,25 weiß ich nicht, wie ich substituieren soll. Kann mir bitte nochmal jemand helfen?

Danke danke danke
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

wozu substituieren?
sin²(x)=0,25, dann ist sin(x)=+/- WURZEL(0,25)
wo ist das problem?


edit: das 0,5 die wurzel aus 0,25 ist, könnte man auch gerade noch so sehen Augenzwinkern
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch einfach erstmal die Wurzel ziehen Augenzwinkern .

Achte aber darauf, dass es dabei immer zwei Lösungen gibt.

/edit:
Wenn du statt 0.25 den gemeinen Bruch nimmst erleichtert dir das vielleicht das Wurzelziehen.

AD Auf diesen Beitrag antworten »

Bei entsprechender Beherrschung der Additionstheoreme kann man auch sin²(x)=(1-cos(2x))/2 nutzen, dann ist

sin²(x)=0,25

äquivalent zu (1-cos(2x))/2=0,25, also umgeformt

cos(2x)=0,5

Es gibt eben viele Wege nach Rom. Augenzwinkern
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