Kreise im Kreis { °°°ungelöst°°° }

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Poff Auf diesen Beitrag antworten »
Kreise im Kreis { °°°ungelöst°°° }
Eine klassische Konstruktionsaufgabe, NUR mit Zirkel und Lineal, KEIN
sonstiges Material ... (entstanden aus einer realen praktischen Anregung)

Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r. Konstruiere die
Mittelpunkte der drei gleichgroßen Kreise, die gerade noch (gleichzeitig)
in den Ausgangskreis hineinpassen ohne sich zu schneiden.

(Schwierigkeitsgrad eigene Einschätzung: mittel - mittelschwer)
. verwirrt
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ein Teil b) anhäng für alle die, die lieber rechnen als zeichnen *g*
.. auch weniger schwer ist

b) Berechne den Radius r' jener Kreise aus 'Teil a'.

Nun können die Trigonometrie's sich aber nicht mehr (ver)drücken Augenzwinkern
...
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möcht jetzt eigentlich nur mal antworten, damit ich weiß, ob es nicht auch noch einen anderen Weg gibt. Ich hab mir das folgendermaßen überlegt:

a)
Man zeichnet um den Mittelpunkt eine Kreis mit dem Radius r. Man nehme einen Punkt P auf der Peripherie des Kreises, steche dort mit dem Zirkel ein und zeichne einen Kreisbogen mit dem Radius r. Man erhält zwei Schnittpunkte mit dem ursprünglichen Kreis. Man sticht in einem der Schnittpunkte ein und zeichnet wieder einen Kreisbogen mit dem Radius r. Man erhält einen neuen Schnittpunkt mit der Peripherie des ursprünglichen Kreises. Dasselbe beim anderen Schnittpunkt. Nun noch in den "neuesten" Schnittpunkt einstechen und wieder einen Kreisbogen mit dem Radius r ziehen. Nun hat man sechs Schnittpunkte mit der Peripherie des Kreises. Man verbinde die gegenüberliegenden, sodass 3 Strecken entstehen, die alle Durchmesser des Kreises sind. Diese lassen sich aufteilen in sechs Radien.
Man verlängere all diese sechs Radien über die Schnittpunkte hinaus. Man zeichnet nun an dem Schnittpunkt eines Radius mit der Kreispripherie eine Senkrechte zu diesem Radius (die Tangente hat diesen Radius als Berührungsradius).
Zwei der fünf verlängerten Radien (außer dem Berührungsreadius selbst) haben jeweils einen Schnittpunkt mit der Tangente. Bezeichnet man diese beiden Punkte mit A und B, so heißt das entstandene gleichschenklige Dreieck ABM. Man konstruiere den Inkreismittelpunkt dieses Dreiecks (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden) und zeichnet den Inkreis. Nun hat man einen der drei gesuchten Kreise. Man wiederhole das Verfahren so, dass die Berührungsradien der Tangenten keine Nachbarradien sind.

Fertig!!!

b)
Die drei entstanden Kreise haben den gleichen Radius r'. Verbindet man die drei Mittelpunkte der Kreise miteinander, so entsteht ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 2r'. Man zeichnet nun alle Höhen des gleichseitigen Dreiecks ein und wird festellen, dass die jeweiligen Höhen mit einem Teil der am Anfang gezeichneten Verbindungsstrecken der sechs Punkte auf der Peripherie des großen Anfangskreises gleich sind (Höhen liegen auf Durchmesser). Der Schnittpunkt der Höhen ist gleich dem Schnittpunkt der Verbindungsstrecken. Da die Verbindungsstrecken Durchmesser sind, ist dieser Schnittpunkt der Mittelpunkt des Anfangskreises.
Für den Radius r des Anfangskreises gilt dann :



, wobei h die Höhe im gleichseitigen Dreieck, r' der Radius der drei kleinen Kreise und x der Teil der Höhe, der nicht zum Radius r gehört (also der Teil vom Mittelpunkt M zum Schnittpunkt der Höhe mit der Seite des gleichseitigen Dreiecks) ist.

Da im gleichseitigen Dreieck die Höhen, Winkelhalbierenden, Mittelsenkrechten, und vor allem Seitenhalbierenden aufeinander liegen (zusammen fallen), ist der Mittelpunkt des Anfangskreises auch Schwerpunkt und Höhenschnittpunkt des gleichseitigen Dreiecks. Da der Schwerpunkt und somit auch der Mittelpunkt die Seitenhalbierende und somit hier auch die Höhe im Verhältnis 2:1 teilt, gilt für die Strecke x:









Somit gilt für den Radius r des Anfangskreises:





Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks steht senkrecht auf einer Seite (deswegen ist es die Höhe) und halbiert diese, da sie auch Seitenhalbierende ist. Für die Höhe und somit auch die Seitenhalbierende gilt, da die Seiten des gleichseitigen Dreiecks 2r' betragen, folgendes:









Dann gilt für den Radius r des Anfangskreises:







-------------------------------------------------------Edit-----------------------------------------------------
Die Umformung, die jetzt kommt, ist natürlich falsch. Da hab ich mir wirklich mal einen großen Bock einegfangen. Summen in Nenner kann man natürlich nicht aufteilen!! Die richtige Lösung ist also:



Das, was also jetzt kommt, ist falsch!!!!!!
--------------------------------------Edit Ende------------------------------------------









Fertig!!!. smile Schläfer

Was willst du denn bei b) mit Trigonometrie anfangen???
Und gibt es noch eine andere Möglichkeit, a) zu "lösen", also die Kreise zu konstruieren??
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathespezialschüler

.. du bist einfach 'irre' .... smile smile

beinahe hättest du dir eine 1 mit Sternchen eingeheimscht,
aber du hast 'freundlicher Weise' 'nen ABARTIGEN Bock
reingebaut .... Gott


Sowas darf DIR nicht passieren, das passt nämlich ganz und
garnicht zum Rest *gg*

Sieh mal zu, dass du den Bock selbst findest,
aaber nicht weglöschen, sondern am Ende das in einer Edit-
anmerkung berichtigen.

Wenn du das erledigt hast geh ich nochmal näher drauf ein
auch auf deine Fragen smile


Wink
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
Kreise im Kreis
Ich möchte mich in eure Unterhaltung einmal einmischen.


@Mathespezialschüler

Es ist offensichtlich, daß r'<r sein muß. Bei dir ist aber ganz zuletzt der Term in der Klammer >1, sogar fast 2! Also muß dein Ergebnis falsch sein. Und der Bock, den du geschossen ist, ist so gewaltig! Mehr will ich aber nicht sagen, damit ich Poff nicht ins Handwerk pfusche.


@Poff/Mathespezialschüler

Vor einiger Zeit habe ich mich mit dem folgenden Problem beschäftigt:
Gegeben drei Kreise, deren je zwei sich von außen berühren. Dann gibt es zwei weitere Kreise, die jeden dieser drei Kreise berühren.
Sind die Radien der drei Kreise und ist der Inkreisradius des Dreiecks, das durch die Mittelpunkte der drei Kreise gebildet wird, so gilt für die Radien r,R der beiden diese drei Kreise berührenden Kreise (r für den kleinen Kreis und R für den großen):




Die zweite Formel ist folgendermaßen zu lesen: Ergibt die rechte Seite 0, so setze man , der Kreis wird zu einer Tangenten, die die drei gegebenen Kreise berührt. Ergibt sich rechts ein positiver Wert, so fällt auch R positiv aus, und der Kreis umschließt die drei gegebenen Kreise. Ergibt sich rechts ein negativer Wert, so fällt R negativ aus (der gesuchte Radius ist also eigentlich |R|), und der Kreis berührt die drei gegebenen Kreise von außen.

Über dasselbe Problem ist auch vor einiger Zeit ein Beitrag in der Zeitschrift WURZEL erschienen (Heft 7/02, Oleg Faynshteyn, "Berührende Kreise und Kugeln", http://www.wurzel.org), der das Problem auf den n-dimensionalen Fall ausdehnt.

Jetzt zurück zum konkreten Problem. Dieses ist nämlich nur ein Spezialfall meiner Formel. Ich verwende die zweite Formel von oben, schreibe aber r statt R, damit der Anschluß an die Bezeichnungen von mathespezialschüler erhalten bleibt. Es ist . Die drei Mittelpunkte der inneren Kreise bilden ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge und somit der Höhe(=Seitenhalbierende) . Davon ein Drittel ergibt den Inkreisradius . Jetzt muß man nur in die Formel einsetzen und erhält:

Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich glaub ich hab ihn gefunden. Is mir natürlich sehr peinlich, aber ich war auch schon ziemlich müde, was aber eigentlich keine Ausrede sein darf.
Der Fehler war hier:

Zitat:
Original von Mathespezialschüler




Dann wäre das wohl das Ergebnis:









Danke euch für die aufmerksame Hilfe!!!

@Leopold

Wo ist denn jetzt dein Problem bzw. die Fragestellung der Aufgabe???
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist kein Problem, sondern die Lösung eines (allgemein gehalteneren) Problems.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
Kreise im Kreis { °°°gelöst°°° }
@Mathespezialschüler

vorweg: Wenn schon, denn schon ... !!!

r' = 3*r/(3+2*sqrt(3)) :-oo



So, nun hab ich etwas Zeit.

Also nochmal zurück.


Deine Lösung ist ganz und gar VORBILDLICH,
gut verständlich beschrieben und fehlerfrei wenn man den
Bolzer mal weglässt.

Dieser Rechenfehler an sich wäre ebenfalls geschenkt
(kann mir auch passieren), aaber in Verbindung mit deinem
Endresultat

r' = r * ( 1 + .....)

ist er nicht mehr entschuldbar, so 'nen Hammer musst du sehen.



Was deine Lösung an sich angeht, die war mir garnicht bekannt,
bzw. es ist mir dadurch wieder eingefallen dass ich sie doch kannte.

Damit ist auch deine Frage schon angekrazt ob es noch andere
Lösungen gibt. Ja die gibt es, ich kenne zumindest 2 weitere.



Zitat:
Was willst du denn bei b) mit Trigonometrie anfangen???

mit Trigonometrie wollte ich nicht unbedingt was anfangen,
sollte 'ne Brücke sein für die, die's mehr mit 'Rechnen' haben.


Wo du's soo schön präzise und genau gemacht hast, will ich denn
auch den einen 'MiniSchwachpunkt' aussprechen der noch drin ist.


Zitat:
. Man zeichnet nun alle Höhen des gleichseitigen Dreiecks ein und wird festellen, dass die jeweiligen Höhen mit einem Teil der am Anfang gezeichneten Verbindungsstrecken der sechs Punkte auf der Peripherie des großen Anfangskreises gleich sind (Höhen liegen auf Durchmesser)


und wird feststellen .... das ist keine wirkliche Begründung.
Entweder geschickter formulieren oder bessere Begründung
anbringen.


smile



@Leopold,
du bist doch nicht aus Osterode . Augenzwinkern
.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Anspielung verstehe ich nicht. Aber es sei dir gesagt: Ich bin weder aus Oster- noch Norderode und auch nicht aus Westerede oder Süderüde.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold,

das war keine Anspielung und wenn doch, dann zumindest eine
völlig harmlose Augenzwinkern


Ich meine eine Beziehung mit '1/Inkreisradius' ....
schon einmal gelesen zu haben. Um welchen ganz genauen
Zusammenhang es dabei ging kann ich mich leider nicht erinnern,
nur noch dass das wahrscheinlich mit dem 'Ort Osterode'
zusammenhing ....

Deswegen diese Anmerkung ....


smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sind denn die beiden anderen Lösungen bei a)??
Ich hab jetzt noch nicht drüber nachgedacht, aber vielleicht kannst mir ja mal sagen, welche Eigenschaften (der Kreise) man da ausnutzt. Ich hab ja z.B. die Tangenten als Eigenschaft ausgenutzt.
Und zu b): Ich habs mir zwar noch nicht angeguckt, aber wie willst du denn mit Trigonometrie den Radius der kleinen Kreise in Abhängigkeit des Radius des großen Kreises darstellen??? Willst du auch wieder das gleichseitige Dreieck zeichnen und dann mit da mit den Höhen rechtwinklige Dreiecke bekommen oder Sinussatz oder Kosinussatz oder was genau??
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Und zu b): Ich habs mir zwar noch nicht angeguckt, aber wie willst du denn mit Trigonometrie den Radius der kleinen Kreise in Abhängigkeit des Radius des großen Kreises darstellen???...


Kann ich dir die Sekunde garnicht sagen.
Hab die Aufgabe ja vor fast 3 Monaten hier eingstellt, weiß
im Moment selbst nicht mehr was da genau gedacht war. :-oo


Zu den anderen Lösungen sag ich mal noch nichts ....
du weißt ja nun, dass sie existieren, so weißt du zumindest,
dass du KEINEM Phantom hinterherjagst wenn du drüber
nachdenkst.
Muss mal sehen ob ich einen passenden Tipp finde der dennoch
nicht zuviel verrät.


Aaber ich sag mal was dazu wie's überhaupt entstanden ist:

Also das war so, ich suchte nach einem Weg den Durchmesser
einer isolierten Ader eines dreiadrigen dickeren runden Kabels
von dem ich nur den Außendurchmesser wusste und in etwa
die Stärke des äußeren Mantels schätzen konnte, zu ermitteln.

Das war letztendlich nur eine Rechnung aber daraus ist dann
diese Aufgabe entstanden ....


smile
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