Funktionen und Topologische Räume

25.09.2007, 11:20

mr_endres

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Funktionen und Topologische Räume

Hallo,

ich kann fogende Aussage nicht nachvollziehen :

Seien $\begin{eqnarray*} (M,\tau_M) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (X,\tau_X) \end{eqnarray*}$ zwei topologische Räume.
Dann gelten folgende Aussagen :
1)Ist $\begin{eqnarray*} \tau_M \end{eqnarray*}$ die diskrete Topologie dann ist jede Abbildung $\begin{eqnarray*} f:M\rightarrow X \end{eqnarray*}$ stetig.
2)Ist $\begin{eqnarray*} \tau_M \end{eqnarray*}$ die indiskrete Topologie dann ist jede Abbildung $\begin{eqnarray*} f:X\rightarrow M \end{eqnarray*}$ stetig.
3)Ist $\begin{eqnarray*} \tau_M \end{eqnarray*}$ die diskrete Topologie dann ist jede stetige Abbildung $\begin{eqnarray*} f:X\rightarrow M \end{eqnarray*}$ (edit:lokal) konstant.

So zu 1) ist mir die Aussage eiigentlich klar, da es ja hier zu jeder offenen Menge in X immer eine offene Menge in M gibt, das ist ja gerade die Def. von Stetigkeit.

Zu 2) Hier wird doch nur eine Aussage über die Bildmenge gemacht, d.h. ich weiß nur das in X offene Mengen( bzw. hier ja nur zwei, nämlich die Menge selbst und die leere Menge) liegen. Um jetzt die Definition von Stetigkeit anwenden zu können, müsste ich aber wissen, dass auch jedes Urbild dazu offen ist. Das Urbild kann meiner Meinung nach doch aber auch abgeschlossene Mengen enthalten, oder. hmmm...

Zu 3) Bei einer konstanten Funktion dürfte ja nur ein Punkt im Bild liegen. Doch die diskrete Topologie kann doch auch mehere Punkte enthalten, welche eine offene Menge besitzen.

Wo liegen meine Denkfehler. Danke schon mal für Antworten.

25.09.2007, 11:24

Dual Space

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RE: Funktionen und Topologische Räume
Vielleicht solltest du erklären, was genau du mit diskreter bzw. indiskreter Topologie meinst.

25.09.2007, 11:43

mr_endres

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Ich meine : diskrete Topologie : Menge aller offenen Teilmengen
indiskrete Topologie : Nur die Menge selbst und die leere Menge. (auch chaotische Topol. genannt)

25.09.2007, 11:47

Dual Space

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OK. Noch eine Frage zur Notation:

Wenn du sagst, dass $\begin{eqnarray*} \tau_M \end{eqnarray*}$ die diskrete Topologie (über M) ist, meinst du damit, dass dann auch $\begin{eqnarray*} \tau_X \end{eqnarray*}$ die diskrete Topologie über X ist?

25.09.2007, 11:50

mr_endres

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nein $\begin{eqnarray*} \tau_X \end{eqnarray*}$ ist eine beliebige Topologie, in den Aussagen 1 bis 3 ändert sich nur die Topolgie auf M . Aber du hast Recht, es war etwas unverständlich aufgeschrieben.

25.09.2007, 11:52

Dual Space

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Dann stellen sich mir die selben Fragen, die du oben schon erörtert hast.

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25.09.2007, 12:03

mr_endres

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naja die ersten beiden Aussagen stammen so aus meinem Skript, die letzte aus wikipedia:

http://de.wikipedia.org/wiki/Lokal_konstante_Funktion

Zitat:

Eine Abbildung von einem topologischen Raum A in einen diskreten Raum B ist genau dann stetig, wenn sie lokal konstant ist.

edit: mir fällt gerade auf, dass zwar eine konstante Funktion lokal konstant ist, aber eine lokal konstante nicht unbedingt konstant, hmmm... daran könnte es womöglich liegen

25.09.2007, 15:22

WebFritzi

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Zitat:

Original von mr_endres
Ich meine : diskrete Topologie : Menge aller offenen Teilmengen

Hä? Auf welche Topologie bezieht sich "offenen"?

25.09.2007, 16:01

mr_endres

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ich meine die Menge aller offenenTeilmengen auf M, das ist doch die diskrete Topologie. Also ich verstehe deine Frage nicht.

nach wikipedia:

Zitat:

Es sei X eine Menge. Dann ist die diskrete Topologie auf X, die Topologie, in der alle Mengen offen sind. Ein Raum, der die diskrete Topologie trägt, heißt diskret.

25.09.2007, 16:10

WebFritzi

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Deine Formulierung ist einfach Quatsch. "Die Menge aller offenen Mengen" impliziert doch, dass du schon eine Topologie hast, auf die sich das "offen" bezieht. Solange du keine Topologie hast, gibt es die Menge aller offenen Mengen nicht, da du mangels Topologie nicht von Offenheit reden kannst.

Wikipedia: "Dann ist die diskrete Topologie auf X die Topologie, in der alle Mengen offen sind."

Da ist ein Unterschied in der Formulierung. Siehst du ihn?

25.09.2007, 16:17

mr_endres

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das stimmt auf den Unterschied habe ich nicht geachtet, aber wie hilft mir das bei meiner ursprünglichen Fragestellung weiter

25.09.2007, 16:27

romanwwweeeeeee

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Ich schätz mal die diskrete Topologie ist die Potenzmenge. Damit ist 1) klar.

Bei 2) muss man sich nur überlegen wie

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\emptyset) \end{eqnarray*}$ bzw.

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(M) \end{eqnarray*}$ aussehen und warum diese offen sind.

3) versteh ich selber nicht

25.09.2007, 16:44

WebFritzi

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RE: Funktionen und Topologische Räume

Zitat:

Original von mr_endres
3)Ist $\begin{eqnarray*} \tau_M \end{eqnarray*}$ die diskrete Topologie dann ist jede stetige Abbildung $\begin{eqnarray*} f:X\rightarrow M \end{eqnarray*}$ konstant.

ist Quatsch. Man versehe auch X mit der diskreten Topologie. Dann ist jede Abbildung von X nach M stetig. Also wäre nach (3) jede Abbildung von X nach M konstant, was natürlich nicht stimmt.

25.09.2007, 16:58

mr_endres

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@romanwwweeeeeee: das ist mir schon klar, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\emptyset) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(M) \end{eqnarray*}$ offen sein müssen, aber darüber habe ich doch gar keine Information. Denn ich kann doch auch argumentiern, dass ich in X einfach eine abgeschlossene Menge in dieser Topologie wähle und dann funktioniert das schon nicht mehr oder ??

@WebFritzi:
Ich hab oben schon korrigiert, dass es nicht konstant sondern lokal konstant heißen muss, ich hatte das falsch abgeschrieben.

25.09.2007, 17:06

WebFritzi

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Zitat:

Original von mr_endres
@WebFritzi:
Ich hab oben schon korrigiert, dass es nicht konstant sondern lokal konstant heißen muss, ich hatte das falsch abgeschrieben.

Dann korrigiere das doch auch bitte in deinem Ausgangspost.

Was heißt denn "lokal konstant"? Dass es zu jedem x aus X eine offene Umgebung gibt, auf der f konstant ist? Wahrscheinlich, denn dann stimmt die Aussage. Der Beweis ist wieder ziemlich trivial.

25.09.2007, 17:12

romanweee

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Zitat:

Original von mr_endres
@romanwwweeeeeee: das ist mir schon klar, dass $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\emptyset) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{-1}(M) \end{eqnarray*}$ offen sein müssen, aber darüber habe ich doch gar keine Information. Denn ich kann doch auch argumentiern, dass ich in X einfach eine abgeschlossene Menge in dieser Topologie wähle und dann funktioniert das schon nicht mehr oder ??

Überleg doch mal, was ist denn $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\emptyset) \end{eqnarray*}$

Diese Menge kann man ganz konkret angeben, ebenso

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(M) \end{eqnarray*}$

25.09.2007, 17:13

mr_endres

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ok, hab das editiert, die Aussage habe ich inzwischen auch verstanden, das einzige was ich jetzt noch nicht verstehe ist die zweite Aussage , kann mir da jmd. noch ein paar mehr Tipps geben ??

25.09.2007, 17:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von mr_endres
ok, hab das editiert, die Aussage habe ich inzwischen auch verstanden, das einzige was ich jetzt noch nicht verstehe ist die zweite Aussage , kann mir da jmd. noch ein paar mehr Tipps geben ??

Siehe den letzten Tipp von Dortmunds Torwart.

25.09.2007, 17:29

mr_endres

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sorry den Tipp hatte ich überlesen.

Zitat:

Überleg doch mal, was ist denn $\begin{eqnarray*} f^{-1}(\emptyset) \end{eqnarray*}$

Diese Menge kann man ganz konkret angeben, ebenso

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(M) \end{eqnarray*}$

ja klar :

Hammer

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(\emptyset)=\emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(M)=X \end{eqnarray*}$

Hammer

Hammer

dann sollte alles klar sein. Danke nochmal für eure Geduld!

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