Eulerwinkel aus Rotationsmatrix

25.09.2007, 11:34

itchy00

Eulerwinkel aus Rotationsmatrix

Hi,

ich hab folgendes Problem.

Ich habe so ein paar Vektoren gegeben (ist eigtl. nicht so wichtig) und aus denen berechne ich halt irgendwie ne Rotationsmatrix.
Die Matrix hat also erst einmal nichts mit Eulerwinkeln oder so zu tun, sondern entspricht erstmal einer Drehung zu einer beliebigen Raumachse.
Jetzt möchte ich gerne aus meiner Drehmatrix irgendwie drei Eulerwinkel herausbekommen, die dieselbe Drehung beschreiben (d.h. zumindest das gleiche Ergebnis). Man liest überall den Satz:

"das Ergebnis (Rotationsmatrix) ist abhängig von dem Weg den man benutzt, d.h. um welche Achsen man in welcher Reihenfolge dreht."

Warum das so ist ist mir schon klar. Jetzt kann ich mich ja auf eine Konvention festlegen (x-Konvention), d.h.

Zuerst Drehung um $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ um Z-Achse.
Dann Drehung um $\begin{eqnarray*} \Theta \end{eqnarray*}$ um neue x-Achse (X')
und dann Drehung um $\begin{eqnarray*} \Psi \end{eqnarray*}$ um die neue z-Achse (Z'').

Dann müsste ich doch irgendwie meine Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}m_{11} & m_{12} & m_{13}\\m_{21} & m_{22} & m_{23}\\m_{31} & m_{32} & m_{33}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

mit der Rotationsmatrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\cos\Psi\cos\Phi - \cos\Theta\sin\Phi\sin\Psi & -\sin\Psi\cos\Phi - \cos\Theta\sin\Phi\cos\Psi & \sin\Theta\sin\Phi\\\cos\Psi\sin\Phi + \cos\Theta\cos\Phi\sin\Psi & -\sin\Psi\sin\Phi + \cos\Theta\cos\Phi\cos\Psi & -\sin\Theta\cos\Phi\\\sin\Psi\sin\Theta & \cos\Psi\sin\Theta & \cos\Theta\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

identifizieren können. Also irgendwie auf die Eulerwinkel $\begin{eqnarray*} \Phi , \Theta , \text{und}\Psi \end{eqnarray*}$ kommen.

Aber wie ???, hab keine Ahnung.

thx

25.09.2007, 19:13

20_Cent

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Ich weiß zwar nicht genau, was Eulerwinkel sind, aber so wie das aussieht ist es einfach nur eine andere Darstellung der Drehung, d.h. die Matrix muss die gleiche sein, denn es kommt ja das gleiche heraus.
Ich würde also die Einträge der Matrizen vergleichen, also m_1=cos cos - cos sin sin usw....
Anfangen würde ich mit dem 3/3 Eintrag, weil du dann Theta direkt ausrechnen kannst.
Psi bekommst du dann durch die 3/1 oder 3/2 (hier kannst du schon überprüfen, ob da das gleiche herauskommt) und Phi dann beliebig aus einem der anderen.
Probier mal, ob das so schlüssig wird.
mfG 20

25.09.2007, 19:48

tigerbine

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Eulersche Winkel

Um nun konkret die Eulerwinkel zu einer gewählten Variante anzugeben, musst Du uns schon mehr als

Zitat:

Ich habe so ein paar Vektoren gegeben (ist eigtl. nicht so wichtig) und aus denen berechne ich halt irgendwie ne Rotationsmatrix.

verraten.

27.09.2007, 12:18

itchy00

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RE: Eulerwinkel aus Rotationsmatrix
nochmal etwas konkreter:

ich drehe praktisch einen Quader im Raum.
meine Matrix sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} (\vec{v}_x,\vec{v}_y,\vec{v}_z) \end{eqnarray*}$ , wobei die drei Spaltenvektoren jeweils die Einheitsvektoren des gedrehten Koordinatensystems (also der Kanten des Quaders) darstellen. Also, wenn ich z.B. habe

$\begin{eqnarray*} \vec{v}_x = \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{v}_y = \begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{v}_z = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was dann die Rotationsmatrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ergibt, dann ist mein Quader um 45 Grad um die Z-Achse gedreht.
Das würde ja den Eulerwinkeln (nach x-Konvention) $\begin{eqnarray*} \Phi=\pi /4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \Theta=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Psi=0 \end{eqnarray*}$ entsprechen.

Aber wie bekomme ich jetzt aus ner komplizierteren Matrix wie z.B.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}9.9999999975723\cdot 10^{-1} & 1.0339999996834 \cdot 10^{-5}& -1.9457999991399\cdot 10^{-5}\\-1.034043743855\cdot 10^{-5} & 9.999999996938\cdot 10^{-1} & -2.24813636264\cdot 10^{-5}\\1.945776752814\cdot 10^{-5} & 2.24815648252\cdot 10^{-5} & 9.9999999955798\cdot 10^{-1}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

meine Winkel?

27.09.2007, 13:04

therisen

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Aus der Darstellung folgt $\begin{eqnarray*} \cos\Theta=9.9999999955798\cdot 10^{-1} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \Theta\approx0.0017^\circ \end{eqnarray*}$ . Daraus kannst du dann die restlichen Werte folgern.

Gruß, therisen

27.09.2007, 13:27

itchy00

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tja, also Mathematica bekommt das nicht hin.

ich glaub das wird so nix.

27.09.2007, 13:34

therisen

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Nicht immer blind auf ein CAS vertrauen. Mathematica bekommt es auch hin, wenn du die richtigen Gleichungen eingibst. Ich mach mal noch einen Wert (ganz allgemein).

Aus meinem letzten Beitrag haben wir $\begin{eqnarray*} \Theta=\arccos(x) \end{eqnarray*}$ erhalten. Aus Position (3,2) der Matrix folgt somit

$\begin{eqnarray*} \cos\Psi \sin\Theta = y \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \Psi = \arccos\left( \frac y{\sin\Theta} \right) = \arccos\left( \frac y{\sqrt{1-x^2}} \right) \end{eqnarray*}$

27.09.2007, 17:55

20_Cent

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Das ist eigentlich genau das, was ich mit meinem Beitrag versucht habe zu erklären.
Du vergleichst die Einträge der beiden Matrizen.
Du brauchst aber nur 3, die restlichen 6 kannste dann zur Kontrolle nachher nochmal einsetzen.

mfG 20

27.06.2013, 19:06

Opossum11

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Das stimmt nicht ganz was hier erzählt wird. arcsin, arccos sind Funktionen, die im Bereich von 0 bis 360° immer zwei Lösungen haben.

Zum Beispiel arccos 0.99999999587 =0.0017° ist nicht die einzige Lösung. es ist nämlich auch arccos 0.99999999587=-0.0017°.
genauso ist z.B. arcsin 0.7071068 = 45° und gleichzeitig 135°

Abhängig davon welche Lösung richtig ist, ergeben sich entsprechend auch andere Werte für die nächsten Winkel. Es reichen also definitiv nicht 3 Werte aus der Rotationsmatrix um die Winkel eindeutig zu bestimmen. Es müssen alle 9 Werte in die Berechnung mit einfließen. Und dann wird es echt kompliziert.... Hab auch noch keine Lösung gefunden und finde auch im Internet nichts -_-

18.01.2017, 11:50

Moedn

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Zur Wiederbelebung des alten Themas:
Habe soeben ein Uni-Skript gefunden, welches die Formeln zur direkten Errechnung der Eulerwinkel aus einer Drehmatrix herleitet. Das ganze geschieht anhand eines Kreisels. Infolgedessen werden die Eulerwinkel aus dem Vektor der Winkelgeschwindigkeit errechnet, was sich jedoch auf Drehmatrizen übertragen lässt.

th.physik.uni-frankfurt.de /~maruhn/ Mechanik2 /SS25.pdf

(Link zerstückelt, damit er veröffentlicht werden kann)

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