Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis

Neue Frage »

Peon Auf diesen Beitrag antworten »
Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Hallo zusammen,

habe das Forum schon nach der Aufgabe durchsucht, aber nichts gefunden.
Im Prinzip ist es ja klar wie man EXW-Aufgaben löst, aber an dieser hier beiß ich mir die Zähne aus.

"Einem Halbkreis mit dem Radius r werden gleichschenklige Dreiecke einbeschrieben, deren Spitze aud dem Mittelpunkt des HK liegt(sihe Skizze). Wie ist die Basisseite x und die Höhe h (jeweils in Abhängigkeit von r) zu wählen, damit das Dreieck einen größtmöglichen Flächeninhalt hat?"

http://i3.photobucket.com/albums/y79/Isgrimnur/asd/NeuBitmap.bmp

Ich bin schon soweit gekommen, dass ich die Funktion aufgestellt habe.

Die Ableitung dazu habe ich ebenfalls, wenn sie richtig ist.


Aber wie bekomme ich jetzt dazu die Nullstellen, also die Werte, die ich für r einsetzten müsste, damit x,h und somit das Dreieck maximal wird?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Deine Ableitung kann nicht stimmen.

lg kiki

edit: Es gibt Tricks, wie man die Kettenregel und die Produktregel umgehen kann:

1. Jede Zahl, die für die komplette rechte Seite gilt - also die man ausklammern kann, kann man weglassen, weil die beim Ableiten erhalten bleibt, aber dann sofort beim Nullsetzen wegfällt - also kann man sie gleich weglassen.

Daher:



Nun müsstest du Produktregel anwenden, weil x * x.
Das kann man umgehen, indem man das x unter die Wurzel bringt und unter der Wurzel muss es x² gewesen sein.

daher:



dann ausmultiplizieren und auf gemeinsamen Nenner bringen:



Nun kann man aus dem Nenner die Wurzel ziehen - dann steht vor der Wurzel 1/2 - und das fällt dann ebenfalls als konstanter Faktor weg:

daher:



Nun quadriert man die Funktion - das geht aber nur bei den Extremwertaufgaben:



Und jetzt kannst ganz normal ableiten und Nullsetzen.
So umgeht man nämlich irre Ableitungsregeln.

lg kiki
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Zitat:
Original von kikira
Nun quadriert man die Funktion - das geht aber nur bei den Extremwertaufgaben:

Dieses Verfahren ist nicht ganz ungefährlich. Betrachte f(x) = x. Das hat keine Extrema. Aber g(x) = (f(x))² = x² hat eins. Das Verfahren funktioniert nur mit Einschränkungen, die man zur Vollständigkeit auch angeben sollte.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Ich hab wirklich schon viele Extremwertaufgaben gerechnet, aber noch nie hatte ich eine, in der nur x^1 war. Denn beim Ableiten würde x wegfallen und somit gäb es keinen Wert, bei dem etwas maximal oder minimal werden könnte, daher denk ich, kann er das gefahrlos anwenden. Aber eben nur bei Extremwertaufgaben.

lg kiki
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Das war ja auch nur ein relativ simples Beispiel. Mit f(x) = x³ hat man dieselbe Problematik. Ein Verfahren sollte nicht nur auf Grund von Erfahrung funktionieren, sondern auch mathematisch nachvollziehbar.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Wozu besteht denn hier die Notwendigkeit zu quadrieren? Quadrieren ist doch nur dazu da bei den Extremwertaufgaben, um einen Wurzelausdruck und somit Kettenregel zu umgehen.
Und bei den Schulbeispielen funktioniert das.
Aber eben nur bei den Extremwertaufgaben. Wieso soll ich von Dingen schwafeln, auf die der Schüler niemals stoßen wird, sondern nur durch solche Sachen verwirrt und verunsichert wird?

lg kiki
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Ich habe den Eindruck, du drehst mir das Wort um Munde rum. Ich will doch gar nicht quadrieren. Und wenn du dir die Funktion anschaust, dann findest du x=0 als weitere Extremstelle (Minimum). Da in diesem Fall nur Maximalstellen gesucht werden, ist das auch nicht weiter von Belang. Die Aufgabe hätte aber auch lauten können: Finde alle Extrema von:

Und auf einmal hast du Extremstellen drin, die von der ursprünglichen Funktion keine sind. Wie gesagt, ich habe nichts gegen das Quadrierungs-Verfahren. Man sollte aber wissen, unter welchen Randbedingungen das funktioniert und wann nicht. Einfach sagen "bisher hat es immer funktioniert, also stimmt's" gleicht jemandem, der aus dem Hochhaus fällt und bei jeder Etage sagt: "Bis hier ist es gut gegangen."
Peon Auf diesen Beitrag antworten »

Und wo liegen jetzt die EW, d.h was muss ich für Werte für x,h wählen, damit die Dreiecksfläche maximal wird?
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Ich habe in meiner Erklärung das Quadrieren als Umgehen der Kettenregel erwähnt und dass das nur bei Extremwertaufgaben möglich ist.
Diesen Satz hast du kopiert und mir erwidert, das würde nicht immer zutreffen, denn das gelte z.b. nicht für die Funktion f(x) = x.
Dies braucht hier aber auch nicht zu gelten, denn hier muss man beim Ableiten keine Kettenregel anwenden, daher besteht kein Bedarf an Umgehen.

Wann besteht denn Notwendigkeit, bei Extremwertaufgaben, zu quadrieren?
- Um die Kettenregel zu umgehen.
Deine Funktion: f(x) = x³ - die du mir als Beispiel gebracht hast, muss nicht quadriert werden, da man hier keine Kettenregel anzuwenden braucht und daher auch keinen "Trick" braucht, um sie umgehen zu können. Weiß nicht, wo ich dir da das Wort im Mund umgedreht haben soll.

Wenn ich die Ursprungsfunktion original ableite, dann kommt man auf:



Nun setz ich das Null:




Nun leite ich meine vereinfachte Funktion ab und setze sie Null:




Nochmal zur Verdeutlichung:

Die original abgeleitete Funktion beim Nullsetzen liefert die komplett gleichen Nullstellen wie die vereinfachte, da ja beim Nullsetzen der Nenner wegfällt und somit die gleiche Ausgangsgleichung da steht wie beim vereinfachten Term.

Siehe auch hier:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=14316

lg kiki
Peon Auf diesen Beitrag antworten »

Also hatte ich nur ein Fehler beim ableiten gemacht.
D.h. mit der richtigen Ableitung konnte ich es dann lösen, Danke!
kikira Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hab ich dir in meinem 1. Post doch geschrieben.

lg kiki
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Zitat:
Original von kikira
Wenn ich die Ursprungsfunktion original ableite, dann kommt man auf:


Nochmal zur Verdeutlichung:
Die original abgeleitete Funktion beim Nullsetzen liefert die komplett gleichen Nullstellen wie die vereinfachte, da ja beim Nullsetzen der Nenner wegfällt und somit die gleiche Ausgangsgleichung da steht wie beim vereinfachten Term.

Also bei mir war die ursprüngliche Funktion:

Davon die Ableitung ist:

Wie man sieht, hat das an der Stelle x = 0 keine Nullstelle.
Peon Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings muss da ein + zwischen die beiden großen Brüche und wenn man dann erweitert und anschließend kürzt, kommt genau das raus, was ich oben auch schon stehen habe!
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Dann kann dich aber das Quadrieren nicht stören, sondern höchstens, dass ich das x unter die Wurzel mit x² gebracht hab. Dann ist dein Einwand ebenfalls hinfällig.

Denn von dieser Funktion bin ich ausgegangen:



Und dennoch tut dieser weitere Extremwert dem gesuchten Wert keinen Abbruch. Wie gesagt - bei den Extremwertaufgaben!!!!!!!!!!!

lg kiki
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Ich finde das auch weniger 'dramatisch'.

Allerdings zeigt sich hier auch die Zweischneidigkeit von diesen
'Vereinfachungen'. Dazu brauchts nämlich mitunter mehr Sicherheit
und HG-Verständnis als für stumpfsinniges Vorgehen.

Der oder diejenige mit dem mathematischen Gespür wird ziemlich
zielsicher 'falsche' Lösungen auszusondern vermögen.


Nur die, für die diese Vereinfachungfen eigentlich gedacht sind
sind mit den Randbedingungen oft überfordert, sodass sich
der Vorteil nur dort zeigen kann wo es problemlos passt und in
echten Problemfällen zum Nachteil wird.
.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Vielen Dank, dass mich wenigstens einer versteht. Augenzwinkern

Ich habe nichts gegen Vereinfachungen und auch prinzipiell nichts gegen das Quadrierungsverfahren bei Extremwertaufgaben. Aber man sollte wenigstens die Randbedingungen nennen, unter denen das Verfahren gültig ist. Und da hat sich kikira bislang standhaft geweigert, weil das Verfahren angeblich bei der Bestimmung von Extremwerten immer richtig wäre oder weil - wie durch Zauberhand - man trotzdem immer die richtige Extremstelle treffen würde.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
@klarsoweit

Dann bitte nenn die Randbedingungen. Vielleicht könntest du sogar ein Beispiel nennen, das für Schüler relevant ist.
Ich weiß sie nämlich nicht, da sie mir beim Durchrechnen so ziemlich aller Extremwertbeispiele von 3 gängigen Mathebüchern an Gymnasien noch nicht untergekommen sind und in einem davon diese Umformungen sogar als Musterlösung im Buch vorgerechnet stehen und ich auch an meinen Nachhilfeschülern sehe, dass die Lehrer diese Umformungen in der Schule machen. Ich verstehe sehr wohl, dass es zu Grenzfällen kommen kann dadurch. Aber wenn ein Schüler niemals damit konfrontiert ist, wieso soll ich ihm dann diese Grenzfälle aufzeigen?
Du siehst doch, dass er Probleme mit dem Ableiten hat, weil man hier zugleich Produkt und Kettenregel anwenden muss. Also wollt ich ihm einen Trick sagen.
DAss x = 0 nicht zum Maximum führt, ist doch wohl klar, denn somit wäre ja der Flächeninhalt 0. Bei Extremwertaufgaben muss man sich doch immer überlegen, welche Lösung richtig ist und welche nicht. Im Zweifelsfall muss man in die 2. Ableitung einsetzen.
Wenn ich x unter die Wurzel bringe, so kommt eben eine weitere Stelle mit x = 0 raus, die kein Extremwert der Funktion ist, aber dennoch sowieso nicht in Frage kommt.
Also in welchem für einen Schüler relevanten Fall kommt man auf z.b 2 Maximumwerte oder Minimumwerte (wenn danach gefragt ist), bei denen man dann nicht mehr unterscheiden kann, was stimmt und was nicht stimmt?

lg kiki
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
OK, die Randbedingung ist im Grunde banal, aber trotzdem nötig:
Die Funktion f(x) wird nur auf dem Intervall 0 < x < 2r betrachtet.
Auf diesem Intervall ist f(x) > 0. Dann hat g(x) := (f(x))² dieselben Extremstellen, denn es ist: g'(x) = 2 * f(x) * f'(x) und daher ist g'(x) = 0 äquivalent mit f'(x) = 0. Desweiteren ist g''(x) = 2 * (f'(x))² + 2 * f(x) * f''(x) Wegen f'(x) = 0 und f(x) > 0 folgt, daß g''(x) dasselbe Vorzeichen wie f''(x) hat. Vielleicht sollte man das als Satz über die "Gleichartigkeit von Extremstellen" zusammenfassen (wenn es nicht schon gemacht wurde).

Mir ging es nur darum, dass nicht einfach gesagt wird: "Ich habe eine blöde Funktion, von der ich Extremstellen bestimmen soll, die sich aber nur blöd ableiten läßt. Also nehme ich einfach das Quadrat, das funktioniert immer." Wie gesagt: wenn man ein Verfahren verwendet, sollte man auch die inneren Mechanismen kennen, wann und warum dieses Verfahren funktioniert. Am Ende könnte es sonst passieren, daß Peon das Verfahren für alle möglichen Funktionen benutzt und nicht nur bei Extremwertaufgaben, wo es um die Bestimmung von maximalen Flächen oder Volumina geht und die betrachtete Funktion typischerweise immer positiv ist.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Ok...dann weiß ich jetzt, was du unter Randbedingung gemeint hast. Die waren mir eigentlich immer klar. Nur kenn ich den Begriff eben nicht. Das heißt,man gibt eine Definitionsmenge bekannt. Man untersucht die Funktion, WENN man sie umformt und somit Gefahr läuft eine weitere Nullstelle rauszukriegen. Und eigentlich erklärt ja der Begriff schon alles.
Ich hab aber immer an Grenzfall gedacht. Dass es ein Beispiel geben könnte, das ein Grenzfall ist. (Gibts sicher, aber mir ist eben noch nie eins untergekommen, außer eben mit Randextrema- aber das ist auch was anderes und da erkennt man auch bei den Extremstellen, dass die unsinnig sind).
Muss man die Definition bei euch beim Beispiel dazuschreiben? Bei uns in Ö nämlich nicht.

Zitat:
Mir ging es nur darum, dass nicht einfach gesagt wird: "Ich habe eine blöde Funktion, von der ich Extremstellen bestimmen soll, die sich aber nur blöd ableiten läßt.


Deswegen hab ich ja dazu gesagt, dass man das nur bei den Extremwertaufgaben darf, eben deswegen, damit keiner auf die Idee kommt, das könnt er z.b. bei der Kurvendiskussion auch so machen. Und auch nur, um Produkt/Kettenregel zu umgehen.

Noch eine Frage: Aber immer muss nicht gelten x > 0, oder? Nämlich sobald x keine Länge oder "Hauptvariable" bezeichnet. Als Hilfsvariable kann sie doch auch 0 sein und für f(x) kann dann doch trotzdem ein reelles Maximum oder Minimum rauskommen.

lg kiki
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Ich weiß jetzt nicht, was du unter Hauptvariable bzw. Hilfsvariable verstehst. Prinzipiell geht es doch um eine Funktion f, die nur von der Variable x abhängig ist. Andere Variablen oder Parameter werden als konstant betrachtet. Für das Quadrierungsverfahren darf sich das x nur in einem Bereich bewegen, wo f(x) > 0 ist. Prinzipiell kann dann das x auch negativ sein, wenn es für die Aufgabe einen Sinn ergibt. In dieser Aufgabe macht nur x > 0 einen Sinn und da ist dann auch f(x) > 0 und damit ist auch die Voraussetzung für das Quadrierungsverfahren erfüllt.

Mag sein, daß die ganze Diskussion etwas kleinlich ausschaut. Für mich ist wichtig, daß ich eine mathematische Umformung mit Verweis auf Regeln, Sätze, etc. solide begründen kann, damit sie auch nachvollzogen und verstanden werden kann.
kikira Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exremwertaufgabe: Dreieck im Halbkreis
Ach, die Frage war völlig unsinnig, weil x = 0 dann sowieso keine Extremstelle ist.
Und ja, x kann jeden beliebigen Wert annehmen, kommt eben immer auf das Beispiel drauf an.

lg kiki
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »