Stetigkeit von Funktionen |
| 22.03.2005, 15:30 | Azubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Stetigkeit von Funktionen ich muss mich mit dem Thema Stetigkeit auseinandersetzen insbesondere mit dem Nullstellensatz, Extremwertsatz und Zwischenwertsatz. Gerade beim Extremwert- und Nullstellensatz gibt es doch sicherlich eine Reihe von Funktionen die stetig sind aber diese Sätze nicht anwendbar sind oder? Der Nullstellensatz sagt doch aus, dass eine Funktion in einem Intervall, die sowohl negative als auch positve Werte annimmt mind. eine Nullstelle besitzt oder? Jetzt ist es doch aber so, dass z.b. die Funktion y=x² eine doppelte Nullstelle besitzt, obwohl keine neg. y-Werte angenommen werden! Kann man das irgendwie erklären? Genauso der Extremwertsatz wenn z.b. eine Funktion in diesem Intervall gegen eine senkrechte Asymptote läuft. Dann besitzt diese Funktion kein Max und kein Min mehr oder? Dem Lehrer geht es vorallem darum, dass ich auch Gegenbeispiele bringe wo das ganze nicht mehr erfüllt ist! Ich hoffe, dass ich das hier schon mal richtig erklärt habe anonsten bin ich froh wenn ihr mich verbessert. Vielen Dank Gruss Azubi |
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| 22.03.2005, 15:42 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Stetigkeit von Funktionen
Aufgepaßt! Was wird beim Nullstellensatz vorausgesetzt und was behauptet? Vorausgesetzt wird, das eine stetige Funktion negative als auch positve Werte annimmt. Dann hat sie eine Nullstelle. Die Umkehrung gilt nicht, wie du selbst an der Funktion y = x² merkst. Beim Extremwertsatz ist wichtig, dass ein abgeschlossenes Intervall betrachtet wird. Dort hat eine stetige Funktion immer ein Maximum bzw. Minimum. |
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| 22.03.2005, 15:52 | swerbe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
...was klarsoweit zum schluss meinte, ist dass das intervall durch seine (intervall-)Grenzen nach oben und unten bereits beschränkt wird, so dass die auch alleine durch diesen Sachverhalt bereits ein (relatives) Minimum bzw. Maximum (nämlich die Grenzen) besitzt! (siehe auch verallgemeinerung des satzes von rolle) gruß swerbe |
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| 22.03.2005, 16:29 | Azbubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@klarsoweit Achso ist das. Man muss also genau betrachten was vorausgesetzt wird und was damit behauptet wird. Kannst du mir noch genauer erklären was du mit der Umkehrung meinst? Gilt das für die anderen Sätze auch? @all Wie sieht es eigentlich mit dem Zwischenwertsatz aus, gibt es da irgendwelche Tücken oder allgemeine Tücken auf die ich achten sollte? Leider habe ich als Grundlage nur das Mathebuch und diverse Skripte aus den Internet wo die Beispiele und Gegenbeispiele einfach fehlen! Meint ihr der Lehrer meint mit gegenbeispielen die Umkehrung der Sätze? Gruss Azubi |
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| 22.03.2005, 22:05 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Az(b?)ubi, Im allgemeinen wird dein Lehrer nicht Umkehrungen als Gegenbeispiele meinen, Klarsoweit wollte dir nur klar machen in welche Richtung die Argumentation läuft, das du also ein Beispiel wie y=x^2 aussen vor lassen kannst. Ein Gegenbeispiel beim Extremwertsatz wäre z.B eine konstante Funktion... Beim Zwischenwertsatz wären konstante Funktionen auch gute Gegenbeispiele, da jeder Wert zwischen f(a) und f(b) der Gleiche wäre. Erwähnenswert wäre vielleicht noch das der Nullstellensatz eine Folgerung des Zwischenwertsatzes für ungerade Funktionen ist... toi,toi 
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| 23.03.2005, 08:36 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine konstante Funktion ist für mich kein Gegenbeispiel. Der Extremwertsatz besagt, daß eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall mindestens eine Stelle hat, wo sie das Maximum annimmt. Analog für Minimum. Und das ist auch bei einer konstanten Funktion der Fall. Jetzt die Sache mit Gegenbeispiel: Man könnte behaupten, daß eine stetige Funktion auch auf einem offenen Intervall ihr Maximum annimmt. Dies kann man durch ein Gegenbeispiel widerlegen, z.B.: f(x) = 1/x mit 0 < x < 1 Zur Umkehrung eines Satzes: Nicht jeder Satz läßt sich umkehren. Beim Nullstellensatz wäre das dann: Hat eine stetige Funktion eine Nullstelle x0, also f(x0) = 0, dann gibt es Stellen x1 und x2 mit f(x1) > 0 und f(x2) < 0 oder umgekehrt. Wie man an den Funktionen f(x) = 0 oder f(x) = x² (= Gegenbeispiele) sieht, ist diese Umkehrung offensichtlich falsch. |
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| 23.03.2005, 12:55 | n! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Azubi du sprichst von Lehrer.Heißt das,dass es hier um die Schule geht? Würde mich sehr verwundern,da man so was eigentlich nicht mehr in der Schule vornimmt Und was genau meinst du mit "auseinandersetzen"? Willst du das anschaulich klar machen,was die Sätze aussagen? Oder willst du gar Beweise führen? Vielleicht noch eine kleine Anregung: Der Extremwertsatz wird auch oft benutzt um den Hauptsatz der Differenzial und Integralrechnung zu beweisen. 
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| 23.03.2005, 18:03 | Azubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ja, es geht um die Schule und ich soll ein Fachreferat (Dauer ca. 20 min) darüber vorbereiten. Wie meinst du das,dass man sich so etwas nicht mehr in der schule vornimmt n!? Ich will eigentlich nur anschaulich klar machen was die Sätze aussagen und wann man sie überhaupt gebrauchen kann? Wo setzt man die Sätze wirklich ein? |
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| 23.03.2005, 18:23 | n! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja,so weit ich weiß,wird das nur selten in Schulen vorgenommen.Aber um so besser,wenn ihr es macht.
die Sätze helfen überall in der Analysis.Wie ich sagte kann man mit dem Extremwertsatz den Hauptsatz beweisen. Der Nullstellensatz ist auch von Gebrauch.Sehr sogar: Wenn du eine Funktion hast,dessen Nullstellen nicht so auf weiteres zu bestimmen sind,sondern nur numerisch (Newtonverfahren etc),dann kannst du auf den Nullstellensatz zurückgreifen.Da du ihn ja nicht beweist,will ich dir kurz mal erklären,wie man das macht.Eventuell kannst du das ja dann erläutern.Damit hast du ein gutes Beispiel für den Nullstellensatz. Nehmen wir an wir suchen Nullstellen einer Funktion,die man aber nur durch annähern (also numerisch) finden kann.Dann suchst du dir ein Intervall,indem die Nullstelle liegen könnte und halbierst dieses Intervall solange bis deine Funktion einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten erfährt.Das heißt die Nullstelle liegt da sehr in der Nähe.Was macht man also: Man halbiert Intervalle und schaut sich die Funktionswerte an.Und wenn die Funktionswerte irgendwann nach der Halbierung ihre Vorzeichen ändern,dann impliziert dies eine Nullstelle. Ich hoffe,du kannst dir ein Bild davon machen. 
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| 27.03.2005, 14:40 | Azubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, erstmal danke für die Hilfe. Jetzt habe ich davon gelesen das es bei der Stetikeit funktionen gibt die zwar stetig sind aber nicht zeichnen lassen ohne den Bleistift abzusetzen! Kann mir das jemand erklären? Dazu zählt doch 1/sinx oder? Habt ihr davon ein paar Beispiele? |
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| 27.03.2005, 14:58 | hummma | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f(x)=1/x koenntest auch nicht ohne absetzen zeichnen oderm Sobal das Inervall in dem die Funktion definiert ist nicht abgeschlossen ist kannst du sie nicht mehr ohne absetzen zeichnen sie kann aber trozdem noch stetig sein. Was dein Lehrer mit Gegenbeispielen meint weiss ich auch nicht genau. Das ist ein Satz und der gilt immer. Ich denk auch du sollst da irgendwelche Funktionen nehmen bei der eine Bedingung nicht erfuellt ist. Wir ham des auch in der Schule gelernt allerdings ohne Beweis(zumindest kann ich mich an keinen erinnern) und wir baruchens eigentlich nie. Den HDI ham wir glaub ich damit beweisen. |
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| 27.03.2005, 17:27 | Frooke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@humm(m)a: Mein ich das nur oder ist in deinen Namen grad ein neues m reingerutscht??? Frohe Ostern |
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| 27.03.2005, 22:26 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nene, das ist da schon immer!
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| 27.03.2005, 23:36 | Azubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi Hummma, also den Beweis brauchen wir zum glück auch nicht. 1/x ist doch für x=0 gar nicht definiert, von daher ist diese Funktion auch nicht im ganzen Intervall stetig oder? Sie ist jedoch für jede Stelle x ohne 0 stetig. Kann man dann diese Funktion als stetige Funktion bezeichnen? Bei der anderen Funktion weiß ich nicht was du meinst! Hast du noch ein paar andere stetige Funktionen auf Lager?Danke |
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| 27.03.2005, 23:41 | Frooke | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich würde sagen, dass in null weder stetig noch unstetig ist, da die Funktion dort gar nicht nicht definiert ist. ist aber stetig auf ganz ... Also an jeder Stelle des Definitionsbereichs! |
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| 29.03.2005, 12:25 | Azubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wenn laut Definitionsbereich etwas ausgeschlossen wird, wie hier die 0, dann kann man immer noch davon sprechen das die Funktion im ganzen Intervall stetig ist? Fallen euch vielleicht noch ein paar gute Beispiele für die Sätze ein, wäre echt von Vorteil. Vielen vielen Dank |
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| 29.03.2005, 12:34 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die ausdrucksweise ist seltsam... ein Intervall ist sowas: [a,b] oder (a,b] usw..... sag einfach: die funktion ist auf ganz D stetig (definitionsbereich), wie schon froojke vorgeschlagen hat! |
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| 30.03.2005, 13:41 | Azubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, also mir ist aufgefallen, dass ich beim zeichnen massive probleme bekomme. Von daher wollte ich euch mal fragen wie ihr diesen Vortrag gestalten würdet? Ich habe mir das so überlegt, dass ich die ganzen Sätze auf Folie schreibe und die Beispiele bzw. Gegenbeispiele auf die Tafel zeichne. Da kann man dann auch besser erklären oder? |
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| 01.04.2005, 18:18 | Azubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ich habe noch eine Frage zum Extremwertsatz und zwar ist es doch nicht immer so das eine Funktion ihr Max und ihr Min auf einem Intervall annimmt. Habt ihr da gute Funktionen wo man das belegen kann? Ansonsten eignet sich eigentlich jede Funktion mit Hoch- und Tiefpunkten um den satz zu veranschaulichen oder? |
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| 01.04.2005, 18:28 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, wenn es eine stetige Funktion ist, dann nimmt sie schon ihr Min und Max an! Das sagt der Extremal- oder auch "Extremwert"satz ja gerade aus! Ne geeignete unstetige Funktion ohne Max/Min fällt mir spontan nicht ein. |
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| 01.04.2005, 18:39 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vorsicht! Nicht vergessen! Das Intervall muß kompakt, also beschränkt und abgeschlossen sein. Die stetige Funktion nimmt auf dem Intervall weder Minimum noch Maximum an (Intervall ist beschränkt, aber nicht abgeschlossen). Die stetige Funktion nimmt auf dem Intervall kein Maximum an (Intervall ist abgeschlossen, aber nicht beschränkt). |
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| 01.04.2005, 18:49 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Leopold Ja, das ist klar. Ich dachte, Azubi wüsste das. |
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| 02.04.2005, 14:19 | Azubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was meint ihr genau mit beschränkt? Wann ist ein Intverall beschränkt? Bei dem Extremwertsatz wird doch vorrausgesetzt, dass Intverall abgeschlossen ist, heißt das wenn das Intverall bei der Tan-Funktionen zwischen -2/pi und 2/pi abgeschlossen wäre, dass dann der min und max wert angenommen wird? Danke |
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| 02.04.2005, 14:29 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Intervall ist beschränkt, wenn keine der Grenzen oder ist! In dem Fall mit dem tan ist das etwas anderes. Der Extremalsatz heißt ja: Ist eine Funktion f auf einer kompakten Menge (einfacher: auf einem kompakten Intervall) definiert und dort stetig, so nimmt sie dort ihr Min und Max an. Das Problem hier ist, dass der tan in und nicht definiert ist, deswegen kannst du den Satz darauf nicht anwenden! |
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| 07.04.2005, 19:04 | Azubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Ihr, sorry das ich mich länger nicht mehr gemeldet habe, jetzt habe ich noch folgendes Problem. Mir ist gerade aufgefallen das ich mit der Beschränktheit und Abgeschlossenheit nicht ganz klar komme. Beschränkt ist ein Intervall wenn keine der Grenzen minuns oder plus Unendlich ist. Richtig? Abgeschlossen ist ein Intervall mit diesen klammern [ ] oder? Offen wäre es wenn diese Klammern ] [ da wären?! Hoffe das ich habe ich jetzt gerafft 
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| 07.04.2005, 19:27 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
beschränkt ist einfach von der vorstellung dass es eine obere und untere schranke gibt. das heißt es gibt einen reellen wert a (untere schranke), und einen reellen wert b (obere S), so dass alle x in deinem beschränkten bereich a<x<b gilt. [c,d] <- abgeschlossen, grenzen c, d sind enthalten ]c,d[ bzw. (c,d) <-- offen c, d sind nicht ausgehalten ]c,d] [c,d[ <-- halboffenes intervall |
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| 30.04.2005, 13:30 | Azubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ich habe jetzt mal wieder eine Frage und zwar geht es dieses mal um den Zwischenwertsatz. Die Bedingungen dieses Satzes besagen doch, dass das Intervall abgeschlossen ist also [a;b] und f(x) stetig sein muss. Das ist alles klar soweit. Als Gegensbeispiel habe ich schon eine abschnittsweise definierte Funktion die ja nicht überall stetig sein muss. also gilt dieser satz dann auch nicht. Was mir fehlt, ist ein Beispiel wo das Intervall offen ist und die Funktion auf diesem Intervall keinen wert y zwischen max f und min f annimmt! Kann mir jemand weiterhelfen? |
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| 30.04.2005, 13:39 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Abgeschlossenheit wird nur gefordert, damit man den Satz überhaupt formulieren kann! Bei einem offenen Intervall werden ja f(a) und f(b) nicht betrachtet bzw. müssen gar nicht definiert sein, weshalb man dazu keine Aussage machen kann. Eine Funktion auf einem offenen Intervall muss ja kein Maximum und Minimum annehmen, siehe weiter oben die Diskussion zum Extremalsatz! |
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| 30.04.2005, 13:59 | Azubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK, das leuchtet mir ein. Jetzt noch eine Frage zu den Schranken beim Extremwertsatz. Das Supremum ist nicht gleichzusetzen mit der oberen Schranke und umgekehrt das infimum nicht mit der unteren oder? z.b. die funktionen f(x)=1/x im Bereich ]0;1[ hat ja keine obere schranke aber das infimum bei 1 wird schon erreicht oder muss dazu das intervall folgendermaßen aussehen: ]0;1]??? |
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| 30.04.2005, 14:11 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, dafür muss das Intervall so aussehen: ]0,1] Du sagst, das Infinum 1 würde im Intervall ]0,1[ angenommen. Das heißt aber: Es gibt ein a mit , für das gilt! Du siehst, dass das nicht stimmt! |
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| 30.04.2005, 14:16 | Azubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Könnte man dann sagen das ein infinum existiert, was kleiner als 1 ist? Mir war eigentlich nur wichtig wie das Intervall auszusehen hat! PS: Studierst du Mathematik oder bist schon fertig? Was macht man als Diplommathematiker? Beabsichtige selbst ein Mathe-Studium zu machen... |
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| 30.04.2005, 14:21 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dass das Infinum 1 ist, stimmt doch. Ein kleineres kann es nicht geben! Es wird nur einfach von der Funktion nicht angenommen!
Nee, guck mal auf mein Alter! Bin Schüler der 11. Klasse und beschäftige mich hobbymäßig mit Mathematik!
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| 30.04.2005, 14:42 | Azubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na dann bin ich dir ja sogar etwas vorraus
Aber ist schon heftig, dass du dich mit 17 besser auskennst als ich mit 20! Respekt! Was willst du denn dann studieren? |
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| 30.04.2005, 15:47 | n! | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was willst du denn dann studieren? ich glaube MSS sehnt sich an das Mathestudium wie kein anderer hier.
(korrigiere mich,wenn ich falsch liege MSS) |
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| 30.04.2005, 18:26 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@n! Das kann ich wohl nicht dementieren
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| 16.10.2006, 20:01 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Geteilt Josis Anfrage wurde hierhin verschoben. Gruß MSS |
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| 23.10.2012, 23:52 | pcworld | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Off-Topic: Folgende Aufgabe findet man im "Lambacher Schweizer - Kursstufe - Baden-Württemberg" (1. Auflage, 2009), S. 44 Aufg. 5:
Auch nett, dass ein Forenbeitrag in einem Schulbuch landet
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