Schnitt dreier Kugeln

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hamster Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

ich möchte mal ein ähnliches problem aufgreifen. ich habe drei kugeln







und möchte den schnittpunkt berechnen. (gibt es evtl. mehrere?)

nun bilde ich:



und



nun habe ich 2 gleichungen.

meine frage: kann ich auch


bilden, um die dritte gleichung zu erhalten? damit ich 3 gleichungen für drei unbekannte habe?

danke
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Neuer Beitrag von

Kugeln, Schnittebenen und so…

abgetrennt. Bitte für eine neue Frage auch ein neues Thema erstellen und NICHT an einen Jahre alten Thread anhängen!!

Hinweis:
Zwei Kugeln schneiden einander - bei bestimmten Bedingungen - in einem Kreis, dessen Ebene durch Subtraktion der beiden Kugelgleichungen bestimmt ist.

Deine dritte Gleichung ist redundant (überflüssig), denn sie ergibt sich bereits aus den beiden ersten, sie sagt somit nichts Neues aus. Damit kann also das System nicht eindeutig (nach einem Punkt) gelöst werden.

mY+
 
 
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hamster
und möchte den schnittpunkt berechnen. (gibt es evtl. mehrere?)


Allgemein gibts, Null, Eins, Zwei und Unendlich viele Schnittpunkte.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Deine dritte Gleichung ist redundant (überflüssig), denn sie ergibt sich bereits aus den beiden ersten, sie sagt somit nichts Neues aus.


Das stimmt doch gar nicht. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

siehe auch hier
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von mYthos
Deine dritte Gleichung ist redundant (überflüssig), denn sie ergibt sich bereits aus den beiden ersten, sie sagt somit nichts Neues aus.


Das stimmt doch gar nicht. Augenzwinkern


k1 - k3 = 0
k2 - k3 = 0
-----------------
subtrahieren
->
k1 - k2 = 0

Nun möcht ich gerne wissen, was daran nicht stimmt, bzw. welche Neuigkeiten die dritte Gleichung aussagt geschockt .

P.S.: Ich habe nicht gesagt, das man eine/die linearen Gleichungen nicht in die Kugelgleichungen zurück einsetzen dürfte ....

mY+
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Wie folgerst du denn aus k1 - k2 = 0, dass k1 - k3 = 0 gilt?

Vielleicht liegst du auch richtig, und ich verstehe einfach nicht, was du meinst...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht doch um
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und? verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Aus den beiden ersten Gleichungen folgt doch zwangsläufig die dritte! Daher ist dritte redundant, ich sage es doch glatt noch einmal Big Laugh

mY+
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Aus den beiden ersten Gleichungen folgt doch zwangsläufig die dritte!


Du meinst also, dass ein Schnittpunkt der beiden ersten Kugeln zwangsläufig auf der dritten Kugel liegt? Das ist natürlich nur für genau ein positives reelles der Fall.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

Der Beweis stand doch schon dort oben!

k1 - k3 = 0
k2 - k3 = 0
-----------------
Gleichungen beiderseits subtrahieren
->
k1 - k2 = 0

verwirrt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
verwirrt

Der Beweis stand doch schon dort oben!

k1 - k3 = 0
k2 - k3 = 0
-----------------
Gleichungen beiderseits subtrahieren
->
k1 - k2 = 0

verwirrt


Das ist kein Beweis. Benutze bitte die Gleichungen aus dem ersten Post. Siehe auch mein Edit im letzten Beitrag.

EDIT: Du hast hier nur "bewiesen", dass ein Punkt, der gleichsam Schnittpunkt von k1 und k3 und Schnittpunkt von k2 und k3 ist, auch ein Schnittpunkt von k1 und k2 ist.
Elan Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das richtig sehe, meint Mythos einfach den Umstand, daß man in einem "normalen" (weder über- noch unterbestimmten) Gleichungssystem aus n Gleichungen mit n Unbek. n-1 Gleichungen mit n-1 Unbekannten machen kann. Es fällt also stets eine raus. Standardverfahren bei der Behandlung von Gleichungssystemen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die (auf 0 gebrachten) Kugelgleichungen lauten

k1(x,y,z) = 0
k2(x,y,z) = 0
k3(x,y,z) = 0

Nun betrachte ich rein nur die drei linearen Gleichungen, die durch die Subtraktion der Kugelgleichungen (nun in Kurzform: k1, k2, k3) entstehen, noch abseits von jeglichen geometrischen Schnitt-Verhältnissen.

Da diese lauten

k1 - k3 = 0
k2 - k3 = 0
k1 - k2 = 0
--------------------

ist für mich klar, dass die dritte Gleichung durch Subtraktion der beiden ersten entsteht, und somit nichts mehr aussagt, als es schon die beiden ersten tun.

Geometrisch repräsentieren die linearen Gleichungen Ebenen, in denen - bei bestimmter Lage der Kugeln - jeweils die Schnittkreise zweier Kugeln liegen. Potenzebenen sind sie jedenfalls.

mY+
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von mYthos
Aus den beiden ersten Gleichungen folgt doch zwangsläufig die dritte!


Du meinst also, dass ein Schnittpunkt der beiden ersten Kugeln zwangsläufig auf der dritten Kugel liegt? Das ist natürlich nur für genau ein positives reelles der Fall.



Nein, die dritte Gleichung folgt immer auch wenn sich nichts schneidet.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elan
Wenn ich das richtig sehe, meint Mythos einfach den Umstand, daß man in einem "normalen" (weder über- noch unterbestimmten) Gleichungssystem aus n Gleichungen mit n Unbek. n-1 Gleichungen mit n-1 Unbekannten machen kann.
...


Nein, das meine ich NICHT so! Big Laugh Das kann man auch machen, wenn alle drei Gleichungen nicht voneinander abhängig sind. Hier ist es aber so, dass ein abhängiges Gleichungssystem vorliegt.

mY+
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von mYthos
Aus den beiden ersten Gleichungen folgt doch zwangsläufig die dritte!


Du meinst also, dass ein Schnittpunkt der beiden ersten Kugeln zwangsläufig auf der dritten Kugel liegt? Das ist natürlich nur für genau ein positives reelles der Fall.



Nein, die dritte Gleichung folgt immer auch wenn sich nichts schneidet.


Da liegst du leider falsch.


@mYthos:

Zitat:
Original von mYthos
Da diese lauten

k1 - k3 = 0
k2 - k3 = 0
k1 - k2 = 0
--------------------

ist für mich klar, dass die dritte Gleichung durch Subtraktion der beiden ersten entsteht, und somit nichts mehr aussagt, als es schon die beiden ersten tun.


Das ist - wie ich auch schon schrieb - natürlich richtig. Die dritte lineare Gleichung ist redundant. Damit ist aber die dritte Kugelgleichung nicht redundant, denn du benutzt sie ja in den beiden ersten linearen Gleichungen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte verändere jetzt nicht die Tasachen. Ich sehe nicht, dass du etwas derartiges geschrieben hast. Nirgends steht von mir, dass die Kugelgleichungen redundant sind, sondern nur die drei aus der Subtraktion deren Gleichungen entstehenden linearen Gleichungen.

Auf das habe ich auch extra hingewiesen (Zurückeinsetzen in die Kugelgleichungen ist ja etwas anderes), das hast du scheinbar überlesen ..:

Zitat:
Original von mYthos
Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von mYthos
Deine dritte Gleichung ist redundant (überflüssig), denn sie ergibt sich bereits aus den beiden ersten, sie sagt somit nichts Neues aus.


Das stimmt doch gar nicht. Augenzwinkern


k1 - k3 = 0
k2 - k3 = 0
-----------------
subtrahieren
->
k1 - k2 = 0

Nun möcht ich gerne wissen, was daran nicht stimmt, bzw. welche Neuigkeiten die dritte Gleichung aussagt geschockt .

P.S.: Ich habe nicht gesagt, das man eine/die linearen Gleichungen nicht in die Kugelgleichungen zurück einsetzen dürfte ....

mY+
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Bitte verändere jetzt nicht die Tasachen. Ich sehe nicht, dass du etwas derartiges geschrieben hast.


Doch, das habe ich:

Zitat:
Original von mYthos
Du hast hier nur "bewiesen", dass ein Punkt, der gleichsam Schnittpunkt von k1 und k3 und Schnittpunkt von k2 und k3 ist, auch ein Schnittpunkt von k1 und k2 ist.


Das war wahrscheinlich missverständlich ausgedrückt. Die Anführungsstriche sollen bedeuten, dass die Aussage trivial ist und dass ich natürlich nichts dagegen einzuwenden habe.



Zitat:
Original von mYthos
Nirgends steht von mir, dass die Kugelgleichungen redundant sind, sondern nur die drei aus der Subtraktion deren Gleichungen entstehenden linearen Gleichungen.


So habe ich es aber verstanden, und das war auch das Missverständnis. Wir haben wahrscheinlich beide nicht klar ausgedrückt, was wir meinen. Ich hatte halt verstanden, dass du mit "Deine dritte Gleichung" die dritte Kugelgleichung meinst. Ich finde, das konnte man auch so verstehen. Allerdings gebe ich zu, dass ich evtl. früher hätte merken müssen, was du wirklich meinst. Ich habe allerdings eine Ausrede: der Kater. Augenzwinkern
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Die dritte lineare Gleichung ist redundant. Damit ist aber die dritte Kugelgleichung nicht redundant, denn du benutzt sie ja in den beiden ersten linearen Gleichungen.


Wie auch sollte bei einem Schnitt dreier verschiedener Kugeln, eine der drei Kugelgleichungen redundant sein können?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Zitat:
Original von WebFritzi
Die dritte lineare Gleichung ist redundant. Damit ist aber die dritte Kugelgleichung nicht redundant, denn du benutzt sie ja in den beiden ersten linearen Gleichungen.


Wie auch sollte bei einem Schnitt dreier verschiedener Kugeln, eine der drei Kugelgleichungen redundant sein können?


Nun, genau das hast du in deinem letzten Post behauptet - auch, wenn du es vielleicht nicht wolltest und anders gemeint hast.
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