Warum ist Pi eigentlich irrational?

24.03.2005, 08:44

Miraculix

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Warum ist Pi eigentlich irrational?

Ich interessiere mich seit kürzester Zeit für die Zahl Pi (Geschichte etc.)
Vermutlich werde ich dazu in nächster Zeit auch ein Referat halten.
Leider fehlt mir momentan der Beweis weshalb Pi irrational ist...
Es gilt ja unter anderem folgende Formel:

U = 2 * r * pi

Durch eine ganz simple Äquivalenzumformung gilt auch:

U/2r = pi

U und 2r stehen hier aber auf jedenfall für rationale Zahlen ohne jegliche Periode.
Nun ist U/2r ein Quotient und alles ließe sich also durch einen Bruch ausdrücken (wenn auch um es leicht zu halten mit Dezimalzahlen).

Nun haben wir gelernt das Bruchzahlen und alle die sich als eben diese zeigen lassen zu den rationalen Zahlen gehören...
U/2r ist ein eben solcher Bruch und das Ergebnis ist pi...

Wie kann das sein?

Im Forum habe ich nichts gefunden, weil "pi" als Suchwort zu kurz ist und im Internet ist das auch recht schwierig.
Meistens landet man auf irgendwelchen Pi-Verehrer-Seiten...

Schonmal Danke im vorraus!

PS: Ich habe erst jetzt entdeckt, dass dieser Beitrag besser in "Geometrie" aufgehoben wäre, oder nicht?

24.03.2005, 08:53

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Der Fehler liegt schon im Start begraben:

Zitat:

Original von Miraculix
U und 2r stehen hier aber auf jedenfall für rationale Zahlen ohne jegliche Periode.

Genauso könnte man auch anfangen:
Man nehme ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenlängen 1 und rationaler Hypotenusenlänge.
Daraus könnte man dann ableiten, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ rational ist! unglücklich

unglücklich

24.03.2005, 08:53

Egal

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Guck mal hier hier wird angedeutet wie man Pi "bestimmt" http://www.bsnu.nu.by.schule.de/rsv/itbu/m-10.htm
Ansonsten würd ich dir empfehlen statt nach pi nach Kreiszahl zu suchen.
Und hier hab ich sogar eine Facharbeit zum thema Pi
http://3pi.org/Mathematik/Facharbeit/NicoKramer.html

24.03.2005, 08:57

Miraculix

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Ach jetzt weiß ich, was der Lehrer meinte, als er sagte, ich solle mir die Trigonometrie nochmal anschauen...
Naja, da sich schon große Mathematiker darüber den Kopf zerbrochen haben und ich eh noch viel zu wenig über Mathe weiß,
werde ich das Referat einfach ohne Beweis führen.

Müssen sie es halt so hinnehmen verwirrt

verwirrt

Hätte der Lehrer bestimmt auch noch nicht erwartet... hoffe ich zumindest.

Und danke für die Seiten Egal, ich schau sie mir sofort mal an!

24.03.2005, 09:09

Leopold

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@ Miraculix

Es ist gerade umgekehrt. Eben weil $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ irrational ist und $\begin{eqnarray*} \frac{u}{2r} = \pi \end{eqnarray*}$ gilt, ist es nicht möglich, daß Umfang und Radius gleichzeitig rational sind. Mindestens eine der beiden Größen muß daher irrational sein.

Irrationalitätsbeweise von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ erfordern etwas Kenntnis von Analysis. Wenn ihr das in der Schule noch nicht hattet, so mußt du, wie von dir bereits angedeutet, letztlich ohne Beweis feststellen: " $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist irrational, wie berühmte Leute bewiesen haben."

24.03.2005, 20:42

PK

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Es wird dir deswegen auch niemand den Kopf abreißen. Man darf so etwas als gegeben nehmen. Die Lehrer sagen ja auch immer: $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ist irrational.

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24.03.2005, 20:46

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Ich schätze mal, dass auch die meisten Mathe-Lehrer nie einen Irrationalitätsbeweis von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ gesehen haben, ist ja auch keine Schande. Es können ja nicht alle Lehrer Leopold heißen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.03.2005, 20:55

PK

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hm... wenn ich mal intelligenter geworden bin, zieh ich mir den Beweis auch mal rein smile

smile

....OK, ich muss wirklich noch intelligenter werden smile

smile

24.03.2005, 22:42

Sciencefreak

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Zitat:

Original von PK
hm... wenn ich mal intelligenter geworden bin, zieh ich mir den Beweis auch mal rein smile

smile

....OK, ich muss wirklich noch intelligenter werden smile

smile

Heißt das, dass du einen Beweis gefunden hast?
Der würde mich mal interessieren, da ich mit meinen Überlgeungen gerade mal nicht weiter komme. Ich kenne zwar ein paar Bildungsvorschriften, aber wie ist Pi jetzt eigentlich definiert?

24.03.2005, 22:45

PK

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Jo, ich hab den Beweis gefunden:
http://www.theorie.physik.uni-wuppertal....ript/textpi.pdf

Ich schätze das mal als Beweis ein. Wenn das nicht der gesuchte ist, deckelt mich.

24.03.2005, 22:51

Sciencefreak

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Das sieht wirklich nach einem Beweis aus. Und wenn ich ehrlich bin, verstehe ich ihn auch nicht.
Also die beiden Funktionen gehen ja noch. Und dann hört es bei mir auf. Wieso kann man einfach behaupten, dass das und das gilt?

24.03.2005, 22:53

PK

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ja... so weit wie du bin ich auch smile

smile

Zu dem ganzen gehört halt irgendwie Kreativität, Fantasie und Logik.... Mangelware bei mir.

24.03.2005, 23:52

pimaniac

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Ich schlag mal diesen Beweis vor, nicht dass er von mir wär, ich versteh ihn aber, könnt ihn ergo auch genau erklären.

Sei f(x) ein beliebiges Polynom mit reelen koeffizienten.
Es sei nun F(x)=f(x)-f''(x)+f''''(x)-f''''''(x) usw. Klarerweise ist F(x) ebenfalls ein Polynom mit reelen Koeffizienten, da ja nur endlich viele Ableitungen von einem Polynom ungleich null sind.

Berechne
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}(F'(x)*sin(x)-F(x)*cos(x))=f(x)*sin(x) \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~f(x)*sin(x)dx=F(0)+F( \pi ) \end{eqnarray*}$ [1]

Das gilt natürlich für jedes Polynom mit reelen Koeffizienten.
Annahme: pi ist rational d.h. pi=a/b mit a und b aus den natürlichen Zahlen.

Setzt man nun in [1] $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{b^{n}}{n!}x^{n}(\pi-x)^{n}=\frac{1}{n!}x^{n}(a-bx)^{n} \end{eqnarray*}$ wobei n eine beliebige hinreichend große natürliche Zahl ist.

Gezeigt wird nun dass [1] eine ganze Zahl ist und gleichzeitig 0<[1]<1 gilt was natürlich ein Widerspruch ist. Daraus würde die IRrationalität von pi natürlich folgen

Da im Intervall 0<x<pi natürlich f(x)*sin(x)>0 gilt, ist der erste Teil der Ungleichung trivial.

In diesem Intervall gilt außerdem $\begin{eqnarray*} x^{n}(\pi-x)^{n}\leq \pi^{2n} \end{eqnarray*}$ , daraus folgt im weiteren $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~f(x)sin(x)~dx \leq \frac{b^n\pi^{2n}}{n!}\int_{0}^{\pi}~sin(x)~dx=2\frac{C^{n}}{n!} \end{eqnarray*}$ mit C=a²/b. Bekanntlich gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{C^{n}}{n!}=0 \end{eqnarray*}$ für ein von n unabhängiges n. Daraus folgt dass es ein n geben muss mit [1]<1.

Für die ganzzahligkeit verwendet man nun dass $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi}~f(x)*sin(x)dx=F(0)+F( \pi ) \end{eqnarray*}$ gilt, also man zeigt dass F(0)+F(pi) ganzzahlig ist.

f(x) hat an 0 eine Nullstelle vom Grad n --> f(0)=f'(0)=f''(0)=...=0 bis zur n-1ten Ableitung. Bekanntlich sind alle Koeffizienten der k-ten Ableitung eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten durch k! teilbar. ergo hat f(x) für k>=n ganzzahlige Koeffizienten --> F(0) ist ganzzahlig. Außerdem gilt f(x)=f(pi-x) und $\begin{eqnarray*} f^{n}(x)=(-1)^{n}*f^{n}(\pi-x) \end{eqnarray*}$ vorraus natürlich die ganzzahligkeit von F(pi) folgt --> F(0)+F(pi) ganzzahlig --> Widerspruch zur Annahme pi sei rational.

Obiger BEweis wurde teilweise aus meinem Gedächtnsi rekonstruiert, also Arthur bitte checken obs halbwegs passt.

25.03.2005, 15:36

AD

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Als ob du Bestätigungs brauchst... smile

smile

Auf jeden Fall hast du ein bemerkenswertes Gedächtnis, ich musste denselben Beweis erst durch Nachblättern wieder in Erinnerung rufen.

29.03.2005, 11:30

micha

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ich hoffe ich verzapfe hier keine quatsch.....

zu den gleichungen im vorheringen thread geht es darum, das pi irrational sein muss..
genau das denke ich auch.
weil durch die krümmung um achse ein bruch entsteht. (die linie, - der kreis, die linie die sich um einen punkt krümmt)

durch integrieren kann man beweisen, das die fläche eines kreises NIEMALS rational gross ist, sondern immer irrational.

die fläche eines quadrates, eines rechteckes, eines dreieckes nicht.

die krümmung ist genau das problem.
die krümmung ist - so glaube ich *g* - verantwortlich für nicht konstant verlaufende neigungen (steigungen) sondern eben ständig verändernde.
was wieder durch ableitungen (wie der vorredner) beweisbar wäre

13.10.2009, 00:56

galactic32

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Warum ist Pi eigentlich irrational
Ziemlich anders siehts aus in der Naturkunde/Raumkunde.
Umgekehrt pi [ griechischer Buchstabe] entspricht der Kreiszahl und die wird von einigen so definiert ( umschrieben):
Die Kreiszahl ist das Verhaeltnis vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser (=2facher Halbmesser=2facher radius[lat. strahl]).
Und ein Kreis auf einer Kugel hat so nicht einen festgelegten Pi-Wert, wenn einige werte durchgespielt werden.
Also wenn die Geometrie des Raumes oder der zugrundeliegenden Mathematik eben nicht euklidisch ist.
Oder anders gefragt: Wenn der Raum in dem wir Mathe machen euklidisch ist muss ich dann auf den Unsinn kommen das PI eben ganz genau die Zahl ist die bisher so rumgeplappert wird.
In der Naturwissenschaft (Physik) würden sich dann Fragen stellen lassen :Wie wird in einer Welt ein Kreis geformt ?...

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