Grenzwert bestimmen

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Timi Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bestimmen
Hallo !


Ich habe hier mal ein kleines Prob. mit folgender Grenzwertaufgabe. Und zwar weis ich jetzt nicht, welches der beiden Ergebnisse richtig ist.

Meine Lösung ist "1/2" und die Lösung im Buch ist "1/3"

Vielleicht könntet ihr das ja mal überprüfen, weil ich auch nicht weis, ob mein Rechenweg überhaupt richtig war. Der Taschenrechner errechnet nämlich auch die "1/2".



Ist ja meiner Meinung nach kein Spezialfall nach Bernoulli (unendl. "+" unendl.) Also habe ich das Ganze erstma auf einen Hauptnenner gebracht. Jetzt wieder durchgerechner und es enstand ein unbestimmter Ausdruck Null durch Null. Jetzt nochma abgeleitet -> wieder Null durch Null. Nochmal abgeleitet und dann auf "1/2" gekommen. (Zähler und Nenner jeweils unabhänigig voneinander abgeleitet)

Vielleicht liegts an meinem Rechenweg oder das Erg. im Buch ist flasch.
Wäre nett, wenn ihr das auchma für mich überprüfen könntet.

Danke
Timi
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen
Dann schreib doch mal deine Rechnung hin.
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Narf ich geh wieder ins Bett.
Also hier mal ein plot.

Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Hi !

Also jetzt den ganzen Rechenweg hinzuschreiben wäre zuviel. Die ganzen Ableitungen unglücklich . Ich habe ja meinen groben Rechenweg hingeschrieben. So wie ich vorgegangen bin. Das müste doch nachvollziehbar sein. Ihr müst es ja nicht nachrechnen. Eventl. nur ma sagen, ob ihr auf die selbe Art und Weise das Ganze gelöst hättet.

Habe es auch nochmal von Hand durchdifferenziert und komme auf "1/2". Wie auch der Taschenrechner. Wahrscheinlich doch nur ein Druckfehler. Tanzen

Habe nochma zu einer anderen Aufgabe ne Frage

Und zwar.
Kann ich hier jetzt so einfach die Potenzen kürzen oder geht das nicht. Denke mal schon, oda? denn sonst würde ich ja nie auf der Erg. = 0 kommen.

gruss
Timi
Marco_the_Chief Auf diesen Beitrag antworten »

Kürzen geht nicht, aber Du kannst nach dem dritten Potenzgesetz ein x aus dem Bruch herausziehen und dieses als Exponenten des gesameten Bruches schreiben - > ist dann also fast gekürzt *gg*

mfg,

Marco
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Timi
Habe es auch nochmal von Hand durchdifferenziert und komme auf "1/2". Wie auch der Taschenrechner. Wahrscheinlich doch nur ein Druckfehler. Tanzen

MuPAD und ich kommen auch auf . Es muss ein Druckfehler sein (wenn du den Term nicht falsch angegeben hast).


Zur zweiten Aufgabe:

Was willst du denn dort kürzen verwirrt Musst du das Ergebnis berechnen oder nur angeben?
 
 
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Muss es berechnen. Also mit Zwischenschritten.

Warum kann ich dort nicht kürzen. Sehe ich das jetzt falsch. Kann ich mir nicht im Zähler eine 1, also denken. Unten ist ja x² ?

Wenn das nicht so gehen sollte, wie gehe ich dann vor um den Grenzwert "0" zu berechnen? Durch Ableiten von Zähler und Nenner diff ich mich ja tot und komme nicht auf das richtige Erg.. Auf diese Weise habe ich es auch schon versucht.

Danke
Timi
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch aber verschiedene Basen!

Du musst erst umformen.

/edit:

Marco_the_Chief Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst nur subtrahieren, wenn die Basen gleich sind, aber oben steht 2 und unten 3, also unterschiedliche Basen!!

2^2/3^4 = 4/81

ist nicht dasselbe wie

2/3^2 = 2/9

sondern

2^2/3^4 = (2/3^2) = (2/9)^2 = 4/81

@iammvrip

3^(x^2) ist nicht 3^(2x) sondern (3^x)^x

edit: Doppelpost zusammengefügt, benutze die edit-Funktion! (MSS)
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Also wenn ich jetzt ein x herrausziehe, dann sieht das Ganze doch dann folgendermaßen aus

Damit habe ich jetzt einen Speziallfall nach Bernoulli Hospiltal -> 0 hoch unendlich.

wenn ich das jetzt nach diesem Fall umschreibe, dann würde das so aussehen.

Und das wäre jetzt unendlich * -unendlich. Und diesen Fall gibt es leider nicht. verwirrt

Irgendwie muss das doch gehen.

gruss
Timi
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Warum willst du denn immer irgendwelche Regeln anwenden?
Geht doch auch mit überlegen ganz einfach.
Überleg dir, wogegen geht! Dann kannst du nach oben abschätzen und bist schon fertig.
Oder du schätzt einfach direkt nach unten ab.
Timi Auf diesen Beitrag antworten »

Na weil schätzen in der Klausur nunmal keine Punkte bringt unglücklich


Da muss der Rechenweg dastehen, sonnst gibts zu Schluss die volle Hand geschockt

Und wenn ich Pech haben sollte, dann kommt so eine Aufgabe dran (ist ja meistens so) und dann sitze ich nämlich da und finde keinen gescheiten Ansatz.

gruss
Timi
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

hhhm, vielleicht solltest du einmal genau lesen. Wo habe ich etwas von "schätzen" gesagt? Ich habe "nach oben abschätzen" gesagt und das ist etwas mathematisch ganz korrektes!!
Einen Term a nach oben abzuschätzen, heißt eine Zahl oder einen Term, den wir mal b nennen, zu finden, so dass



ist. Jetzt in deinem Fall: Du sollst einen von x abhängigen Term c(x) (also eigentlich eine Funktion c(x)) finden, so dass



für genügend große x gilt! Geht nämlich die Funktion c(x) für x gegen unendlich gegen 0, so geht auch gegen 0 für x gegen unendlich, denn für genügend große x gilt ja die obere Abschätzung. Und dann hast du damit bewiesen, dass der Grenzwert 0 ist!
Oder im zweiten Fall: Einen Term a nach unten abzuschätzen, heißt eine Zahl oder einen Term b zu finden, so dass



ist. Du sollst also wieder einen von x abhängigen Term d(x) (also eigentlich wieder eine Funktion d(x)) finden, so dass



gilt. Und daraus kannst du auch folgern, dass gegen 0 geht!!! Wie du das machst, kannst du dir ja mal selbst überlegen.
So und jetzt versuchst du einmal, diese Abschätzungen zu finden!
Frooke Auf diesen Beitrag antworten »

@Timi
Ich möchte nochmals auf iammrvips Beitrag hinweisen.
Da offensichtlich viel weniger stark ansteigt als , «gewinnt der Term unter dem Bruchstrich» - wie jetzt mein Lehrer sagen würde - und das ganze geht gegen Null.

Und mit der Vereinfachung
ist es noch klarer: denn ist für positive x mal sicher kleiner als 1! Wird das nun noch zusätzlich mit einer grossen Zahl potenziert, wird die Zahl noch kleiner... Im unendlichen wird es null.

EDIT: Man sollte vorsichtig sein mit Sätzen wie diesem: «[…]positive x mal sicher kleiner als 1!» Ausrufezeichen hinter Zahlen können allzuleicht als Fakultät gedeutet werden Augenzwinkern .

Zum Glück ist 1!=1 Big Laugh
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Timi
Nur noch als Information (nichts gegen dich, Frooke Augenzwinkern ):
Frookes Erklärung ist eher eine anschauliche, ungenaue Erklärung, mit der du in deiner Klausur dann nicht ankommen darfst, auch wenn sie natürlich relativ plausibel ist.
Mein Tipp ist mathematisch genau und korrekt und den kannst du so in der Klausur benutzen. Man kann auch sagen:
Frookes Erklärung ist die anschauliche, einfache, aber unkorrekte Erklärung und mein Weg ist eigentlich nur Frookes Erklärung, allerdings mathematisch korrekt verfasst.
folgensucher Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS
Hallo Wink . Kannst du das Abschätzen mal an einem Beispiel erklären? Ich habe dieses Wort schon häufig im Forum gelesen, kann damit aber nichts anfangen. Diese Funktion d(x) kann doch theoretisch jede mögliche Funktion sein oder?? Das kann ich doch raten. Ich hoffe das hilft dann auch timi.
folgensucher Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss ja nicht so ein Beispiel sein. Sorry für den Doppelpost.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@folgensucher
Naja, natürlich kann man da jede beliebige Funktion benutzen, für die diese Abschätzung wirklich gilt. Aber im Allgemeinen macht man es so, dass man eine Funktion sucht, von der man schon weiß, dass sie (in diesem Fall) gegen 0 geht. Dann hat mans ja schon bewiesen. Und normalerweise sind das natürlich auch relativ einfache Funktionen, weil man bei denen ja auch am einfachsten erkennt, dass sie gegen 0 gehen.
Mit genug Erfahrung sieht man dann solche Abschätzungen schon. Leider fällt mir im Moment kein anderes Beispiel ein, aber warte doch einfach, bis Timi geantwortet hat. Augenzwinkern

PS: Willst du dich nicht mal registrieren, dann kannst du auch deine Beiträge editieren und hättest dir z.B. diesen Doppelpost erspart! Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Aufgabe mit Potenzreihenrechnung:




Übergang zu den Kehrwerten:





Summe:



Also ist

folgensucher Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS
Hallo Wink

Ich hätte nochmal die Frage, ob die das mit dem Abschätzen noch mal an diesem Beispiel erklären könntest verwirrt

Ich glaube Timi meldet sich nicht mehr unglücklich

Das wäre sehr nett von dir. Bitte Hilfe
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar. Ich hatte ja oben schon erwähnt, dass man zwei verschiedene (natürlich auch noch andere) Abschätzungen machen kann:

1. Da ist, gibt es ein , sodass für . Dann ist aber für genügend große x auch



und da die rechte Seite gegen 0 geht, muss auch gehen für .

2. Für x>1 ist , also und somit .
Dann hat man für x>1



und da wieder die rechte Seite gegen 0 geht, erhält man wieder für .

smile
folgensucher Auf diesen Beitrag antworten »

Super danke! So was lernt man ja leider in der Schule nicht traurig
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