Gleichung nach Variable freistellen

26.09.2007, 19:42

matze2

Gleichung nach Variable freistellen

Hallo,

ich würde gerne wissen, wie man die Gleichung $\begin{eqnarray*} (n-1)!-nr = 0\mid n \in \mathbb N , r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ freistellen kann.

26.09.2007, 19:45

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gleichung nach Variable freistellen
Jetzt habe ich ganz vergessen mich anzumelden...

26.09.2007, 19:55

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerstmal möchte ich anmerken, dass die Gleichung für $\begin{eqnarray*} r\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ keine Lösung hat.

26.09.2007, 21:41

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt wo du es sagst, habe ich auch mal darüber nachgedacht und du hast Recht.

Also ist $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

27.09.2007, 00:41

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist in meinen Augen nicht, das $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ nicht aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sein darf, sondern dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ sein soll. Würde $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ allerdings $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ heissen und aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein, dann könnte man einfach mit der Gammafunktion draufklatschen und man würde immer für $\begin{eqnarray*} r>.49830165755 \end{eqnarray*}$ immer zwei Nullstellen finden können.
Das jedoch selbstverständlich nur Näherungsweise.

Für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ bleibt meines Erachtens nur die Triviallösung $\begin{eqnarray*} r=\frac{(n-1)!}{n} \end{eqnarray*}$ sowie natürlich für $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ die beiden anderen Triviallösungen $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ . Einige weitere kann man zwar nocht finden (für r=2 n=3 oder r=6 und n=4 oder r=24 und n=5...) [Erkennste du da einen Zusammenhang ? Augenzwinkern

] aber beweisen das das alle Lösungen für natürliche n sind, könnte ich nicht.
$\begin{eqnarray*} n=\frac{1}{r} \end{eqnarray*}$ muss man ja i.A. leider Ausschliessen.

27.09.2007, 17:11

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

bei $\begin{eqnarray*} r=\frac{(n-1)!}{n} \end{eqnarray*}$ ist ja nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , und nicht nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ freigestellt, sodass man damit noch nicht fertig wäre.

Für $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ komme ich auf
$\begin{eqnarray*} (2-1)!-2*1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-2 = -1 \neq 0 \end{eqnarray*}$

Für die anderen angegebenen Lösungen müsste die Gleichung meinen Berechnungen zufolge $\begin{eqnarray*} n! - nr = 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (n-1)! - r = 0 \end{eqnarray*}$ heißen.

Meinen Überlegungen zufolge sollte es unendlich viele Lösungen unter den angeben Bedingungen geben.

27.09.2007, 17:19

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von matze(2)
bei $\begin{eqnarray*} r=\frac{(n-1)!}{n} \end{eqnarray*}$ ist ja nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , und nicht nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ freigestellt, sodass man damit noch nicht fertig wäre.

Ja, er hat das nicht ganz korrekt ausgedrückt. Er meinte, dass es für die Gleichung nur eine Lösung gibt (und dann auch nur eine!), wenn r die Form $\begin{eqnarray*} r=\frac{(n-1)!}{n} \end{eqnarray*}$ hat mit irgendeiner natürlichen Zahl n. Hat r nicht diese Form, dann gibt es keine Lösung. Das ist im übrigen auch meine Vermutung.

27.09.2007, 17:42

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist "Triviallösung" ein Fachbegriff?

Was ist damit gemeint, dass r die Form $\begin{eqnarray*} r=\frac{(n-1)!}{n} \end{eqnarray*}$ hat?

Kann man nicht sagen, dass $\begin{eqnarray*} (n-1)!-nr = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=\frac{(n-1)!}{n} \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} (n-1)!-nr = 0 |+ nr \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (n-1)! = nr |:n \end{eqnarray*}$ //Fallunterscheidung nicht notwendig, da $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)!}{n}=r \end{eqnarray*}$

äquivalent sind?

Gilt nicht folgende Wertetabelle:

n r
1 1
2 0,5
3 0,666666667
4 1,5
5 4,8
6 20
7 102,8571429
8 630
9 4480
10 36288
11 329890,9091
12 3326400
13 36846276,92
14 444787200
15 5811886080
16 81729648000

?

27.09.2007, 17:52

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von matze(2)
Was ist damit gemeint, dass r die Form $\begin{eqnarray*} r=\frac{(n-1)!}{n} \end{eqnarray*}$ hat?

Damit ist gemeint, dass für irgendeine natürliche Zahl n gilt $\begin{eqnarray*} r=\frac{(n-1)!}{n}. \end{eqnarray*}$

27.09.2007, 17:54

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollte das für irgend ein natürliches n nicht gelten?

27.09.2007, 17:57

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Finde mir ein natürliches n, so dass r = 3326401 die obige Form hat. Du wirst keines finden.

27.09.2007, 18:02

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt. Aber für r = 3326400 gibt es ein n. Aber r muss ja nicht 3326401 sein, sondern ist ja einfach nur ein Element aus Q. Und die Frage war ja auch:
"Warum sollte das für irgend ein natürliches n nicht gelten?"

und nicht:
"Warum sollte das für irgend ein natürliches r nicht gelten?"

Oder habe ich etwas falsch verstanden verwirrt

EDITED: Ich glaube, weil wenn die Gleichung nicht für jedes r gültig ist, dies analog auch nicht für jedes n gehen kann?

27.09.2007, 18:10

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von matze(2)
Und die Frage war ja auch:
"Warum sollte das für irgend ein natürliches n nicht gelten?"

und nicht:
"Warum sollte das für irgend ein natürliches r nicht gelten?"

Dann verstehe ich die Frage nicht.

27.09.2007, 18:17

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, das Problem liegt darin, dass ich zur der Zeit, wo ich meine Antwort erstellt habe, noch nicht den den Zusammenhang dazwischen, dass wenn r nicht für jedes n definiert ist, auch umgekehrt n nicht für jedes r definiert ist. Ist also mein Fehler. Ich habe dies bei dem "EDITED" in meinem letzten Beitrag zu schildern versucht.

Kann man deshalb n nicht einfach so freistellen?

27.09.2007, 18:29

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, weil die Gleichung für kaum ein rationales r lösbar ist.

27.09.2007, 18:34

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Also gilt die erwähnte Wertetabelle

n r
1 1
2 0,5
3 0,666666667
4 1,5
5 4,8
6 20
7 102,8571429
8 630
9 4480
10 36288
11 329890,9091
12 3326400
13 36846276,92
14 444787200
15 5811886080
16 81729648000

nicht? (weil es sonst ja für jedes n von 1 bis 16 ein rationales r gäbe)

EDITED: oder ist das Problem, dass die verschiedenen r so weit auseinander liegen?

27.09.2007, 18:38

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, kann ich deine Frage jetzt so verstehen:

"Wenn man weiß, dass r die Form (k-1)!/k (mit irgendeinem natürlichen k) hat, kann man dann die Gleichung nach n auflösen?"

??

27.09.2007, 18:41

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Exakt. Tut mir Leid, dass es mir wohl scheinbar nicht so gut gelingt mich klar auszudrücken. Davon, dass (k-1)!/k=r ist, bin ich unbewusst ausgegangen.

11.10.2007, 16:29

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie stellt man die Stirling-Formel $\begin{eqnarray*} n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \end{eqnarray*}$ nach n frei ?

11.10.2007, 20:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von matze(2)
Wie stellt man die Stirling-Formel $\begin{eqnarray*} n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \end{eqnarray*}$ nach n frei ?

Du meinst
$\begin{eqnarray*} n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \end{eqnarray*}$

Das ist ziemlich schwer und ich habe es nie versucht. Vielleicht wissen es andere.

12.10.2007, 00:48

matze(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau das meine ich.

Versucht habe ich es zwar schon, aber nicht erfolgreich.

Neue Frage »

Antworten »

Gleichung nach Variable freistellen

Verwandte Themen