Extremstellen von 3-Dimensionalen Funktionen

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27.03.2005, 17:39	florian_lennon	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremstellen von 3-Dimensionalen Funktionen Hallo, ich wollte wissen, wie man in einer dreidimensionalen Funktion die Extremstellen ausrechnet. Ich denke, es geht im Großen und Ganzen so, wie bei zweidimensionalen Funktionen (2. Ableitung glich null setzten), aber ich weiss nicht, wie man diese Funktionen ableitet. Vielleicht könnt ihr mir es anhand der folgenden Funktion zeigen: $\begin{eqnarray} z=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ Ich währe euch sehr dankbar für Tips. Gruß florian_lennon
27.03.2005, 17:44	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Es ist dem Bestimmen teilweise ähnlich, aber im Großteil aber sehr verschieden. Um dem Extremstellen zu bestimmen, kann man folgenden Ablauf immer wieder durchspielen: Grandient der Funktion f bilden Hesse-Matrix bilden Determinante der Hesse-Matrix ermitteln (wenn $\begin{eqnarray} {\rm det}(H_f) > 0 \Rightarrow \end{eqnarray}$ Extremstelle, wenn $\begin{eqnarray} {\rm det}(H_f) < 0 \Rightarrow \end{eqnarray}$ Sattelpunkt) wenn Extrema vorliegt, muss $\begin{eqnarray} f_{xx} > 0 \end{eqnarray}$ sein für Minimum, $\begin{eqnarray} f_{xx} < 0 \end{eqnarray}$ für Maximum den Funktionwert des stationären Punktes berechnen und angeben p = (...,...) Wir können das gerne für deine Funktion einmal durchspielen, wenn du willst
27.03.2005, 17:58	florian_lennon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, gerne, wenn DU willst.
27.03.2005, 17:59	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur eine Frage, wo hast du denn die Funktion her? Ist das ne Hausaufgabe oder sowas?? Habt ihr das in der Schule schon mal gemacht? Ich würde dir zum Einstieg aber noch eine andere Funktion empfehlen. Z.B. $\begin{eqnarray} f(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f : \mathbb R^2 \to \mathbb R_0^+ \end{eqnarray}$
27.03.2005, 19:10	florian_lennon	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne, ist auch OK. Die gesammte aufgabe besteht aus drei solchen Wurzeln. Wir haben das noch nicht direkt so gemacht. Ist teil einer Aufgabe, die ich präsentieren soll.
27.03.2005, 19:13	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
So siehst du erstmal wie es geht . Erst noch einige Definitionen und Bezeichnungen: Eine partielle Ableitung ist die Ableitungen nach eine Variable $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ der Funktion $\begin{eqnarray} f(x_1, x_2, x_3, ..., x_n) \end{eqnarray}$ . Dabei sieht man die andere abhängigen Variablen als "Konstanten" an. Wir schreiben z.b. für die Ableitung nach $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x_1} = f_{x_1} \end{eqnarray}$ Das heißt für deine Funktion: Sie ist von zwei Variablen $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ anhängig. Also können partiell nach x und y ableiten. Der Rest interessiert uns dabei nicht. ein Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x,y) = x^2 + y^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x} &= f_x = 2x \\ \frac{\partial f}{\partial y} &= f_y = 2y \end{eqnarray}$ wir können auch erst nach x, dann nach y ableiten: $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x\partial y} = f_{xy} = 2 \end{eqnarray}$ das ist meist immer gleich der Umkehrung (wenn die Funktionen stetig sind) $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x\partial y} = f_{xy} = 2 \end{eqnarray}$ Der Gradient einer Funktion f ist definiert als der Vektor aller partiellen Ableitungen der Funktion. Man schreibt: $\begin{eqnarray} {\rm grad}~f(x_1, \ldots , x_n) = \nabla f(x_1, \ldots , x_n) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In unserem Fall sind das wieder nur zwei. Deshalb kommen wir auf: $\begin{eqnarray} {\rm grad}~f(x,y) = \nabla f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f_x \\ f_y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Hesse-Matrix fasst alle partiellen zweiten Ableitungen zusammen: $\begin{eqnarray} \mathrm H(f)= \left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}\right)= \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1}& \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1}& \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In unserem Fall reduziert sie sich auch wieder nur auf die zwei abhängigen Variablen, also: $\begin{eqnarray} \mathrm H(f)= \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
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27.03.2005, 19:19	florian_lennon	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist der gesammte Term, von dem ich den Tiefpunkt ausrechnen will: $\begin{eqnarray} f(x,y)=\sqrt(x^2-16x+y^2+64)+\sqrt(x^2-10x+y^2)+\sqrt(x^2+y^2) \end{eqnarray}$ Ich kann, bzw muss doch die Wurzeln einzeln Ableiten, oder? edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)
27.03.2005, 19:26	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Jede Wurzel einzeln. Erst immer nach x, dann immer nach y.
27.03.2005, 22:45	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben
27.03.2005, 23:06	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal eine dumme Frage: Reicht es für das Bestimmen der Extremstellen in z-Richtung nicht, die Bedingungen dafür zu finden, dass die partiellen Ableitungen nach x und y jeweils gleich 0 sind?
27.03.2005, 23:51	iammrvip	Auf diesen Beitrag antworten »
Japp, dazu bildet man ja den Gradient auf f Dann weißt du aber erstmal nur, dass da mögliche Extremstellen sind. (ist wie im eindimensionalen) Danach musst auch prüfen, ob dort Extremstellen vorliegen oder nicht (Hesse-Matrix oder gleich $\begin{eqnarray} f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 > 0 \end{eqnarray}$ ). Wenn gefordet auch noch welcher Art.
27.03.2005, 23:57	4c1d	Auf diesen Beitrag antworten »
aso ok, hatte sich oben irgendwie so kompliziert angehört^^

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